第10章 第2节 排列、组合(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 　第二节　排列、组合 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 一定的顺序 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 不同排列 不同组合 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 1 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 × √ × × 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （七十七） 点击进入word 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题． 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照 排成一列 组合 作为一组 2.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示． A eq \o\al(m,n) C eq \o\al(m,n) 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A eq \o\al(m,n)＝ ＝ eq \f(n！,(n－m)！)(n，m∈N*，且m≤n). (2)C eq \o\al(m,n)＝m,n) eq \f(A,A eq \o\al(m,m)) ＝ eq \f(n！,m！(n－m)！) (n，m∈N*，且m≤n) 性质 (1)0！＝ ；A eq \o\al(n,n)＝ ． (2)C eq \o\al(0,n)＝1；C eq \o\al(m,n)＝C eq \o\al(n－m,n)；C eq \o\al(m,n＋1)＝ n！ C eq \o\al(m,n)＋C eq \o\al(m-1,n) 【常用结论】 1．排列数、组合数常用公式 (1)A eq \o\al(m,n)＝(n－m＋1)A eq \o\al(m-1,n). (2)A eq \o\al(m,n)＝nA eq \o\al(m-1,n－1). (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC eq \o\al(k,n)＝nC eq \o\al(k-1,n－1). (5)C eq \o\al(m,n)＋C eq \o\al(m,n－1)＋…＋C eq \o\al(m,m＋1)＋C eq \o\al(m,m)＝C eq \o\al(m+1,n＋1). 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　 　) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　 　) (3)若组合式C eq \o\al(x,n)＝C eq \o\al(m,n)，则x＝m成立．(　 　) (4)A eq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m).(　 　) 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．3×4×5＝A eq \o\al(3,5) B．C eq \o\al(2,5)＋C eq \o\al(3,5)＝C eq \o\al(2,6) C．若C eq \o\al(x,10)＝C eq \o\al(2x-2,10)，则x＝3 D．C eq \o\al(0,7)＋C eq \o\al(2,7)＋C eq \o\al(4,7)＋C eq \o\al(6,7)＝64 答案　AD 解析　3×4×5＝A eq \o\al(3,5)，故A正确； C eq \o\al(2,5)＋C eq \o\al(3,5)＝2C eq \o\al(2,5)＝2× eq \f(4×5,2)＝20，C eq \o\al(2,6)＝ eq \f(6×5,2)＝15，故C eq \o\al(2,5)＋C eq \o\al(3,5)≠C eq \o\al(2,6)，故B错误； 若C eq \o\al(x,10)＝C eq \o\al(2x-2,10)，则x＝2x－2或x＋2x－2＝10，解得x＝2 或x＝4，故C错误； C eq \o\al(0,7)＋C eq \o\al(2,7)＋C eq \o\al(4,7)＋C eq \o\al(6,7)＝C eq \o\al(0,7)＋C eq \o\al(2,7)＋C eq \o\al(3,7)＋C eq \o\al(1,7)＝1＋ eq \f(7×6,2)＋ eq \f(7×6×5,3×2)＋7＝64，故D正确． 3．将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训(每个项目都有志愿者参加)，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有(　　) A．12种　　　　　　　　B．24种 C．18种 D．48种 答案　C 解析　由题意，4名志愿者任意分配共有A eq \o\al(4,4)＝24种分法， 若志愿者小王去文艺文化项目，其它3名任意分配有A eq \o\al(3,3)＝6种分法， 所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有24－6＝18种．故选C. 4．已知C eq \o\al(7,n＋1)＝C eq \o\al(7,n)＋C eq \o\al(8,n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))，则n＝(　　) A．14 B．15 C．13 D．12 答案　A 解析　由组合数性质知，C eq \o\al(7,n)＋C eq \o\al(8,n)＝C eq \o\al(8,n＋1)， 所以C eq \o\al(7,n＋1)＝C eq \o\al(8,n＋1)， 所以7＋8＝n＋1，得n＝14.故选A. 题型一　排列问题 [例1]　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)男生顺序已定，女生顺序不定． 解　(1)从7人中选5人排列，排法有A eq \o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2 520(种). (2)分两步完成，先选3人站前排，有A eq \o\al(3,7)种排法，余下4人站后排，有A eq \o\al(4,4)种排法， 故排法共有A eq \o\al(3,7)A eq \o\al(4,4)＝5 040(种). (3)法一：(特殊元素优先法) 先排甲，有5种方法，其余6人有A eq \o\al(6,6)种排列方法，故排法共有5×A eq \o\al(6,6)＝3 600(种). 法二：(特殊位置优先法) 首尾位置可安排另6人中的两人，有A eq \o\al(2,6)种排法，其他有A eq \o\al(5,5)种排法，故排法共有A eq \o\al(2,6)A eq \o\al(5,5)＝3 600(种). (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A eq \o\al(4,4)种排法，再将女生全排列，有A eq \o\al(4,4)种排法，故排法共有A eq \o\al(4,4)A eq \o\al(4,4)＝576(种). (5)(插空法)先排女生，有A eq \o\al(4,4)种排法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A eq \o\al(3,5)种排法，故排法共有A eq \o\al(4,4)A eq \o\al(3,5)＝1 440(种). (6)(定序问题)7名学生站成一排，有A eq \o\al(7,7)种排法，其中3名男生的排法有A eq \o\al(3,3)种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有7,7) eq \f(A,A eq \o\al(3,3)) ＝840(种). eq \a\vs4\al([思维升华]) 求解排列问题的6种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 　[即时训练] (多选)(2025·齐齐哈尔模拟)5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是(　　) A．A eq \o\al(3,3)A eq \o\al(2,4)　　　　　　　B．A eq \o\al(5,5)－2A eq \o\al(4,4) C．84 D． eq \f(1,2)A eq \o\al(5,5) 答案　AB 解析　先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共A eq \o\al(3,3)＝3×2×1＝6种不同的排法， 再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共A eq \o\al(2,4)＝12种不同的排法， 所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，不同的排法种数是A eq \o\al(3,3)A eq \o\al(2,4)＝6×12＝72； 5人并排站成一行有A eq \o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120种不同的排法， 若甲、乙两个人相邻，利用捆绑法，有2A eq \o\al(4,4)＝2×4×3×2×1＝48种不同的排法， 所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是A eq \o\al(5,5)－2A eq \o\al(4,4)＝72.故选AB. 题型二　组合问题 [例2]　从含有A，B的7名男生、5名女生中选取5名，分别求符合下列条件的不同选法种数． (1)A，B必须当选； (2)至少有2名女生当选； (3)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任． 解　(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可， 所以有C eq \o\al(3,10)＝120(种)选法． (2)注意到“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”， 故可用间接法进行选取， 所以有C eq \o\al(5,12)－C eq \o\al(1,5)C eq \o\al(4,7)－C eq \o\al(5,7)＝596(种)选法． (3)分三步进行， 第一步：选1名男生、1名女生分别担任体育委员和班长两个职务有C eq \o\al(1,7)C eq \o\al(1,5)种选法； 第二步：选2名男生、1名女生补足5人有C eq \o\al(2,6)C eq \o\al(1,4)种选法； 第三步：为这3人安排职务有A eq \o\al(3,3)种选法． 由分步乘法计数原理， 得共有C eq \o\al(1,7)C eq \o\al(1,5)C eq \o\al(2,6)C eq \o\al(1,4)A eq \o\al(3,3)＝12 600(种)选法． eq \a\vs4\al([思维升华]) 组合问题常有以下两类题型 (1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． (2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法；分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 　[即时训练] (1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有(　　) A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法 C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法 答案　CD 解析　如果4人全部为男生，选法有C eq \o\al(4,6)＝15(种)，故A错误； 如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C eq \o\al(2,6)＝15(种)，女生的选法有C eq \o\al(2,4)＝6(种)，则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90(种)，故B错误； 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C eq \o\al(2,8)＝28(种)选法，故C正确； 在10人中任选4人，有C eq \o\al(4,10)＝210(种)选法，甲、乙都不在其中的选法有 C eq \o\al(4,8)＝70(种)， 故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140(种)，故D正确． (2)某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________． 答案　96 解析　由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程， 则有：C eq \o\al(2,4)＝6种情况． 剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有： ①2名同学选择1个学科竞赛则有：C eq \o\al(1,4)＝4种情况， ②2名同学各选择1个学科竞赛则有C eq \o\al(1,4)C eq \o\al(1,3)＝12种情况， 所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：6× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋4))＝96种情况． 题型三　排列组合的综合问题 命题点1　不等分问题 [例3]　6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 答案　C 解析　先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C eq \o\al(1,6)种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C eq \o\al(2,5)种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C eq \o\al(3,3)种选法，由分步乘法计数原理知，共有C eq \o\al(1,6)C eq \o\al(2,5)C eq \o\al(3,3)＝60(种)不同的安排方法． 命题点2　整体均分问题 [例4]　(2025·徐州模拟)六名教师随机分配到三所学校任教，每个学校分配两名教师，则甲、乙被分配到同一所学校的概率为(　　) A． eq \f(1,5) B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,2) 答案　A 解析　六名教师随机分配到三所学校任教，每个学校分配两名教师，则有2,6) eq \f(CC eq \o\al(2,4)C eq \o\al(2,2),A eq \o\al(3,3)) ×A eq \o\al(3,3)＝90(种)分配方法， 甲、乙被分配到同一所学校有2,4) eq \f(CC eq \o\al(2,2),A eq \o\al(2,2)) ×A eq \o\al(3,3)＝18(种)分配方法，则甲、乙被分配到同一所学校的概率为 eq \f(18,90)＝ eq \f(1,5). 命题点3　部分均分问题 [例5]　(2025·聊城模拟)某综合性大学数学科学学院为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有________种不同的选修方式(用数字作答). 答案　54 解析　由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门， 则四门学科可按2，1，1和2，2，0两种情况分成三组， 若按2，1，1分成三组，有C eq \o\al(2,4)＝6(种)分组方法， 若按2，2，0分成三组，有2,4) eq \f(CC eq \o\al(2,2),A eq \o\al(2,2)) ＝3(种)分组方法， 所以每位学生共有(6＋3)A eq \o\al(3,3)＝54(种)不同的选修方式． eq \a\vs4\al([思维升华]) 对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘；对于部分均分，即若有m组元素个数相同，则分组时应除以m！. 　[即时训练] (1)(2025·石家庄模拟)为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量，丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为(　　) A．96 B．120 C．144 D．240 答案　D 解析　由题意可知，将甲乙捆绑在一起，当成一个元素，则是5个不同的教练分配到4个不同的中学指导体育教学， 由于每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练， 则分4组有C eq \o\al(2,5)种方法，再将4组人分配到4所学校有A eq \o\al(4,4)种方法， 则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为C eq \o\al(2,5)A eq \o\al(4,4)＝10×24＝240. (2)(2025·锦州模拟)《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算(即算筹)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了之算、成数算、把头算、龟算、珠算、和计数．某学习小组有甲、乙、丙3人，该小组要收集九宫算、运筹算、了之算、成数算、把头算、珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为(　　) A．240 B．300 C．420 D．540 答案　D 解析　将6种算法分成3组，有1，1，4一组，有1，2，3一组，以及2，2，2一组， 然后将这3组分配给甲乙丙三个人， 所以不同的分配方案有4,6) eq \f(CC eq \o\al(1,2)C eq \o\al(1,1),A eq \o\al(2,2)) A eq \o\al(3,3)＋C eq \o\al(1,6)C eq \o\al(2,5)C eq \o\al(3,3)A eq \o\al(3,3)＋2,6) eq \f(CC eq \o\al(2,4)C eq \o\al(2,2),A eq \o\al(3,3)) A eq \o\al(3,3)＝90＋360＋90＝540.故选D. $$