第10章 必刷小题19 计数原理与概率双(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 　必刷小题19　计数原理与概率 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考总复习 数学 返回目录 一、单项选择题 1．现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币两张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是(　　) A．15　　　　　 　 　　B．31 C．24 D．23 答案　D 解析　除100元人民币以外的三张人民币中，每张均有取和不取2种情况， 两张100元人民币的取法有不取、取一张和取两张3种情况， 再减去五张人民币全不取的1种情况，所以共有23×3－1＝24－1＝23(种). 2．(2025·马鞍山模拟)据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具．算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空．如图所示． 如：10记为 INCLUDEPICTURE "A895.TIF" ，26记为，71记为．现有4 根算筹，可表示出两位数的个数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 答案　C 解析　由题意知，共有4根算筹． 当十位1根，个位3根，共有2个两位数； 当十位2根，个位2根，共有4个两位数； 当十位3根，个位1根，共有2个两位数； 当十位4根，个位0根，共有2个两位数， 所以一共有10个两位数． 3．(2025·桂林模拟)甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是(　　) A．0.32 B．0.56 C．0.44 D．0.68 答案　B 解析　恰好有1人击中，表示甲击中乙没有击中或甲没有击中乙击中，这两个是互斥事件， 根据相互独立事件和互斥事件的概率公式可得P＝0.8×0.6＋0.2×0.4＝0.56. 4．某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为(　　) A． eq \f(3,7) B． eq \f(3,8) C． eq \f(2,7) D． eq \f(3,16) 答案　A 解析　从4双不同花色的袜子中，随机任取3只，共有C eq \o\al(3,8)＝56(种)不同的选取方法， 其中恰有2只花色相同有C eq \o\al(1,4)C eq \o\al(1,6)＝24(种)不同的选取方法，所以概率为P＝ eq \f(24,56)＝ eq \f(3,7). 5．(2025·潍坊模拟) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))7＝a0＋a1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))＋a2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋…＋a7 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))7，则 eq \i\su(i＝1,7,a)i＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．－1 答案　B 解析　令x＝2，可得a0＋…＋a7＝0，令x＝1，可得a0＝－1， 故a1＋…＋a7＝1，即 eq \i\su(i＝1,7,a)i＝1.故选B. 6．黄金分割最早见于古希腊和古埃及．黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不相等的a，b两段，使得长线段a与原线段a＋b的比等于短线段b与长线段a的比，即a∶(a＋b)＝b∶a，其比值约为0.618 339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机的开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为(　　) A．180 B．210 C．240 D．360 答案　C 解析　先把6，1，8，9排列，然后选两个空档插入3，总方法的个数为A eq \o\al(4,4)C eq \o\al(2,5)＝240. 7．某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为 eq \f(4,15)，出现Y性状的概率为 eq \f(2,15)，X，Y两种性状都不出现的概率为 eq \f(7,10)，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为(　　) A． eq \f(1,15) B． eq \f(1,10) C． eq \f(2,15) D． eq \f(4,15) 答案　B 解析　设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B， 则X，Y两种性状都不出现为事件 eq \o(A,\s\up15(－)) eq \o(B,\s\up15(－))，两种性状都出现为事件AB， 所以P(A)＝ eq \f(4,15)，P(B)＝ eq \f(2,15)，P( eq \o(A,\s\up15(－)) eq \o(B,\s\up15(－)))＝ eq \f(7,10)， 所以P(A∪B)＝1－P( eq \o(A,\s\up15(－)) eq \o(B,\s\up15(－)))＝ eq \f(3,10)， 又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝ eq \f(1,10). 8．某中学进行数学竞赛选拔考试，A，B，C，D，E共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次．A和B去向教练询问比赛结果，教练对A说：“你和B都没有得到冠军．”对B说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有(　　) A．54种 B．72种 C．96种 D．120种 答案　A 解析　根据题意可知A和B都没有得到冠军，且B不是最后一名，分两种情况： ①A是最后一名，则B可以为第二、三、四名，即B有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A eq \o\al(3,3)＝6种情况，此时有3×6＝18种名次排列情况； ②A不是最后一名，A，B需要排在第二、三、四名，有A eq \o\al(2,3)＝6种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A eq \o\al(3,3)＝6种情况，此时有6×6＝36种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有18＋36＝54种．故选A. 二、多项选择题 9．一个袋子中有3个红球，m个黑球，采用不放回方式从中依次取球，每次取1个，每个球被取出的可能性相等，已知取出的2个球都是黑球的概率为 eq \f(1,10)，则下列说法正确的是(　　) A．m＝2 B．若取出2球，颜色为一红一黑的概率为 eq \f(3,10) C．若取出2球，颜色相同的概率为 eq \f(2,5) D．若直到所有颜色的球全部被取出，最后取出的球是红球的概率为 eq \f(3,5) C．若取出2球，颜色相同的概率为 eq \f(2,5) D．若直到所有颜色的球全部被取出，最后取出的球是红球的概率为 eq \f(3,5) 答案　ACD 解析　对A，由题意得m≥2，则 eq \f(m,m＋3)· eq \f(m－1,m＋2)＝ eq \f(1,10)，解得m＝2，故A正确；对B，设事件A为取出2球，2球颜色为一红一黑，则P(A)＝ eq \f(3,5)× eq \f(2,4)＋ eq \f(2,5)× eq \f(3,4) ＝ eq \f(3,5)，故B错误；对C，设事件B为取出2球，2球颜色相同， 则P(B)＝ eq \f(3,5)× eq \f(2,4)＋ eq \f(2,5)× eq \f(1,4)＝ eq \f(2,5)，故C正确； 对D，5个球全部被取出的方式有C eq \o\al(3,5)＝10(种)，前4次取球，将两个黑球全部被取出的方式有C eq \o\al(2,4)＝6(种)，故所求概率为 eq \f(6,10)＝ eq \f(3,5)，故D正确． 10．(2025·武汉模拟)中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页．而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示(其中n是行数，r是列数，r≤n)，下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是(　　) A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致 B．第10行从左边数第三个数为 eq \f(1,360) C．1,n) eq \f(1,(n＋1)C) ＝0,n) eq \f(1,(n＋1)C) ·0,n－1) eq \f(1,nC) D．1,n＋1) eq \f(1,CC eq \o\al(r,n)) ＝1,n＋2) eq \f(1,CC eq \o\al(r,n＋1)) ＋1,n＋2) eq \f(1,CC eq \o\al(r+1,n＋1)) 答案　BCD 解析　对于A，“杨辉三角”每行数左右对称，由1开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形” 每行数左右对称，从第3行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A不正确； 对于B，“莱布尼茨三角形”的一个数是它脚下两数的和，则第9行的第二个数为 eq \f(1,8)－ eq \f(1,9)＝ eq \f(1,72)，第10行的第二个数为 eq \f(1,9)－ eq \f(1,10)＝ eq \f(1,90)， 于是得第10行的第三个数为 eq \f(1,72)－ eq \f(1,90)＝ eq \f(1,360)，B正确； 对于C，1,n) eq \f(1,(n＋1)C) ＝ eq \f(1,n(n＋1))，0,n) eq \f(1,(n＋1)C) ·0,n－1) eq \f(1,nC) ＝ eq \f(1,(n＋1)·1)· eq \f(1,n·1)＝ eq \f(1,n(n＋1))，C正确； 对于D，1,n＋2) eq \f(1,CC eq \o\al(r,n＋1)) ＋1,n＋2) eq \f(1,CC eq \o\al(r+1,n＋1)) ＝ eq \f(1,n＋2)· eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(r！·(n＋1－r)！,(n＋1)！)＋\f((r＋1)！·(n－r)！,(n＋1)！)))＝ eq \f(1,n＋2)· eq \f(r！·(n－r)！·[(n＋1－r)＋(r＋1)],(n＋1)！)＝ eq \f(r！·(n－r)！,(n＋1)！)＝ eq \f(1,n＋1)· eq \f(r！·(n－r)！,n！)＝1,n＋1) eq \f(1,CC eq \o\al(r,n)) ，D正确．故选BCD. 11．(2025·岳阳模拟)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，事件B为“只有甲同学一人报名‘关怀老人’项目”，则(　　) A．四名同学的报名情况共有34种 B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种 C．“四名同学最终只报名了两个项目”的概率是 eq \f(14,27) D．P(B|A)＝ eq \f(1,6) 答案　ACD 解析　由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择， 则报名情况共有3×3×3×3＝34(种)，故A正确； “每个项目都有人报名”，则必有两人报名同一个项目，故此时报名情况有C eq \o\al(2,4)C eq \o\al(1,3)A eq \o\al(2,2)＝36(种)，故B错误； “四名同学最终只报名了两个项目”，此时可先选出两个项目，报名情况为分别有两人报名这两个项目，或者一人报名其中一个，另三人报名 另一个项目，故共有C eq \o\al(2,3)(C eq \o\al(2,4)＋C eq \o\al(1,4)A eq \o\al(2,2))＝42(种)报名情况， 则“四名同学最终只报名了两个项目”的概率是 eq \f(42,34)＝ eq \f(14,27)，故C正确； 事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，有C eq \o\al(2,4)A eq \o\al(3,3)＝36(种)报名方法， 则 P(A)＝ eq \f(36,34)＝ eq \f(4,9)， 事件B为“只有甲同学一人报名‘关怀老人’项目”， 若A，B同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”项目， 则有C eq \o\al(2,3)A eq \o\al(2,2)＝6(种)报名方法，则P(AB)＝ eq \f(6,34)＝ eq \f(2,27)，故P(B|A)＝ eq \f(P(AB),P(A))＝ eq \f(\f(2,27),\f(4,9))＝ eq \f(1,6)，故D正确． 三、填空题 12．已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x))) eq \s\up12(n)的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是________． 答案　60 解析　由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x))) eq \s\up12(n)的展开式的二项式系数之和为64，可得2n＝64，解得n＝6，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x))) eq \s\up12(6)，则展开式第三项为C eq \o\al(2,6)(x2)4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x))) eq \s\up12(2)＝(－2)2C eq \o\al(2,6)x6＝60x6，所以展开式的三项式系数是60. 13．若从集合{1，2，3，4，5}中任取3个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足3个元素中恰好含有2个连续整数的概率等于________． 答案　 eq \f(3,5) 解析　从{1，2，3，4，5}中任取3个元素形成的子集共有C eq \o\al(3,5)＝10(个)， 当连续整数为1，2时，此时符合条件的子集有2个；当连续整数为2，3时，此时符合条件的子集有1个；当连续整数为3，4时，此时符合条件的子集有1个；当连续整数为4，5时，此时符合条件的子集有2个， 故有6个子集中恰好含有两个连续整数．故所求概率为 eq \f(6,10)＝ eq \f(3,5). 14．(2025·怀化模拟)信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势，为了了解学生利用学习机学习的情况，某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机，并安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)，则不同的安排方法有________种． 答案　1 560 解析　由题意可知6种主流的学习机安排给4人进行相关数据统计， 每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)， 则学习机的分配方法有3，1，1，1和2，2，1，1两类情况，则按3，1，1，1分组再分配给4人，共有C eq \o\al(3,6)A eq \o\al(4,4)＝20×24＝480(种)安排方法， 按2，2，1，1分组再分配给4人，共有2,6) eq \f(CC eq \o\al(2,4),A eq \o\al(2,2)) ·A eq \o\al(4,4)＝ eq \f(15×6,2)×24＝1 080(种)安排方法，故共有480＋1 080＝1 560(种)不同的安排方法． $$