第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第五章　平面向量与复数 第二节　平面向量基本定理及坐标表示 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 不共线 有且只有 基底 互相垂直 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) 终点 (x2－x1，y2－y1) 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 x1y2－x2y1＝0 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 × × × √ 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （三十八） 点击进入word 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 ． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝2,1) eq \r(x＋y eq \o\al(2,1)) . (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \o(AB,\s\up15(→))＝ ，| eq \o(AB,\s\up15(→))|＝ eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2). 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔ ． 【常用结论】 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))). 3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))). 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.(　 　) (2)基底中可以含有零向量．(　 　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成 eq \f(x1,x2)＝ eq \f(y1,y2).(　 　) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(　 　) 2．已知向量e1，e2不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2　　B．4e1－2e2和6e1－3e2 C．2e1－e2和e2 D．e1－e2和2e2＋e1 答案　B 解析　对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误．故选C. 3．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则 eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(DO,\s\up15(→)) 等于(　　) A． eq \o(CD,\s\up15(→))　　　　　B． eq \o(DC,\s\up15(→)) C． eq \o(DA,\s\up15(→)) D． eq \o(DO,\s\up15(→)) 答案　B 解析　 eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(DO,\s\up15(→))＝ eq \o(DO,\s\up15(→))＋ eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→)).故选B. 4．已知a，b是两非零向量，且a与b共线，若非零向量c与a共线，则c与b必定_________． 答案　共线 解析　因为a，b是两非零向量，且a与b共线，所以∃λ1，使得a＝λ1b. 又因为非零向量c与a共线，所以∃λ2，使得c＝λ2a. 所以c＝λ2a＝λ1λ2b. 所以c与b必定共线． 题型一　平面向量的基本概念 [例1]　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若a＝b，b＝c，则a＝c B．若四边形ABCD满足 eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))，则四边形ABCD是平行四边形 C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．与非零向量a共线的单位向量为± eq \f(a,|a|) 答案　ABD 解析　A选项，设e1＋e2＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1－e2))，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,a＝－1，))无解，故e1＋e2和e1－e2是不共线的向量，可作为一组基底，A错误； B选项，∵4e1－2e2＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6e1－3e2))， ∴4e1－2e2和6e1－3e2共线，不能作为一组基底，故B正确； C选项，设2e1－e2＝be2，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＝0，,b＝－1，))无解，故2e1－e2和e2不共线， 故可作为一组基底，C错误； D选项，设e1－e2＝c eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2e2＋e1))，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2c＝－1，,c＝1，))无解，e1－e2和2e2＋e1不共线，可作为一组基底，D错误．故选B. 3．已知向量a，b满足a＋b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1))，则a－2b＝________． 答案　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，0)) 解析　因为a＋b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1))， 两式相加得2a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4))，即a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))，b＝a＋b－a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))， 所以a－2b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，0)). 4．过P1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，P2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，6))的直线与x轴交于点P，设 eq \o(P1P,\s\up15(→))＝t eq \o(PP2,\s\up15(→))，则t＝__________． 答案　－ eq \f(1,3) 解析　设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，0))，则 eq \o(P1P,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1，－2))， eq \o(PP2,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－x，6))， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1＝t\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－x))，,－2＝6t，))得t＝－ eq \f(1,3)，x＝－4. 题型一　平面向量基本定理的应用 [例1]　(1)设{e1，e2}为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．4e1＋2e2和2e2－4e1 C．2e1＋e2和e1＋ eq \f(1,2)e2 D．e1－2e2和4e2＋2e1 答案　C 解析　平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，2e1＋e2＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，即2e1＋e2和e1＋ eq \f(1,2)e2为共线向量，所以它们不能作为基底．其他选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底． (2)(2025·西安模拟)如图，在平行四边形ABCD中， eq \o(AE,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up15(→))， eq \o(CF,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(CD,\s\up15(→))，则 eq \o(BA,\s\up15(→))等于(　　) A． eq \f(6,5) eq \o(AF,\s\up15(→))－ eq \f(9,5) eq \o(CE,\s\up15(→))　　　　B． eq \f(2,5) eq \o(AF,\s\up15(→))－ eq \f(3,5) eq \o(CE,\s\up15(→)) C． eq \f(6,5) eq \o(AF,\s\up15(→))＋ eq \f(9,5) eq \o(CE,\s\up15(→)) D． eq \f(2,5) eq \o(AF,\s\up15(→))＋ eq \f(3,5) eq \o(CE,\s\up15(→)) 答案　C 解析　设 eq \o(AB,\s\up15(→))＝a， eq \o(AD,\s\up15(→))＝b， 因为 eq \o(AE,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up15(→))，所以 eq \o(CE,\s\up15(→))＝ eq \o(CD,\s\up15(→))＋ eq \o(DE,\s\up15(→))＝－a－ eq \f(2,3)b， 因为 eq \o(CF,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(CD,\s\up15(→))，所以 eq \o(AF,\s\up15(→))＝ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(DF,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3)a＋b， 设 eq \o(BA,\s\up15(→))＝m eq \o(AF,\s\up15(→))＋n eq \o(CE,\s\up15(→))， 则－a＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋b))＋n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a－\f(2,3)b))， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2,3)m－n＝－1，,m－\f(2,3)n＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(6,5)，,n＝\f(9,5)，)) 即 eq \o(BA,\s\up15(→))＝ eq \f(6,5) eq \o(AF,\s\up15(→))＋ eq \f(9,5) eq \o(CE,\s\up15(→)). eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　 　[即时训练] (1)(2025·天津南开中学质检)△ABC是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若 eq \o(AF,\s\up15(→))＝3 eq \o(EF,\s\up15(→))， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up15(→))))＝3，且 eq \o(AF,\s\up15(→))＝λ eq \o(AB,\s\up15(→))＋μ eq \o(AC,\s\up15(→))，则λ＋μ＝(　　) A． eq \f(15,19) B． eq \f(6,19) C． eq \f(9,19) D． eq \f(4\r(19),19) 答案　A 解析　由题设 eq \o(AF,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BF,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(BD,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3)( eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(CD,\s\up15(→)))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3)( eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(CE,\s\up15(→)))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \f(4,9)( eq \o(CA,\s\up15(→))＋ eq \o(AE,\s\up15(→)))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \f(4,9) eq \o(CA,\s\up15(→))＋ eq \f(8,27) eq \o(AF,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3)( eq \o(AC,\s\up15(→))－ eq \o(AB,\s\up15(→)))－ eq \f(4,9) eq \o(AC,\s\up15(→))＋ eq \f(8,27) eq \o(AF,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,9) eq \o(AC,\s\up15(→))＋ eq \f(8,27) eq \o(AF,\s\up15(→))， 所以 eq \f(19,27) eq \o(AF,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,9) eq \o(AC,\s\up15(→))，即 eq \o(AF,\s\up15(→))＝ eq \f(9,19) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(6,19) eq \o(AC,\s\up15(→))， 又 eq \o(AF,\s\up15(→))＝λ eq \o(AB,\s\up15(→))＋μ eq \o(AC,\s\up15(→))，故λ＋μ＝ eq \f(15,19).故选A. (2)(2025·广东汕头一模)在平行四边形ABCD中，G为△ABC的重心，满足 eq \o(AG,\s\up15(→))＝x eq \o(AB,\s\up15(→))＋y eq \o(AD,\s\up15(→)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y∈R))，则x＋2y＝(　　) A． eq \f(4,3) B． eq \f(5,3) C．0 D．－1 答案　A 解析　如图，设AC与BD相交于点O，G为△ABC的重心， 可得O为BD的中点，BG＝2GO， 所以 eq \o(AG,\s\up15(→))＝ eq \o(AO,\s\up15(→))＋ eq \o(OG,\s\up15(→))＝ eq \o(AO,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up15(→))＝ eq \o(AO,\s\up15(→))＋ eq \f(1,6) eq \o(DB,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up15(→))＋\o(AD,\s\up15(→))))＋ eq \f(1,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up15(→))－\o(AD,\s\up15(→)))) ＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up15(→))， 因为 eq \o(AG,\s\up15(→))＝x eq \o(AB,\s\up15(→))＋y eq \o(AD,\s\up15(→)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y∈R))， 所以x＝ eq \f(2,3)，y＝ eq \f(1,3)，则x＋2y＝ eq \f(2,3)＋2× eq \f(1,3)＝ eq \f(4,3).故选A. 题型二　平面向量的坐标运算 [例2]　(1)已知A(－1，2)，B(3，0)，点P在直线AB上且| eq \o(AP,\s\up15(→))|＝2| eq \o(PB,\s\up15(→))|，则点P的坐标为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3))) B．(7，2) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3)))或(7，－2) D．(2，1)或(7，－2) 答案　C 解析　设点P的坐标为(x，y)， ∵A(－1，2)，B(3，0)， ∴ eq \o(AP,\s\up15(→))＝(x＋1，y－2)， eq \o(PB,\s\up15(→))＝(3－x，－y). 由点P在直线AB上且| eq \o(AP,\s\up15(→))|＝2| eq \o(PB,\s\up15(→))|， 得 eq \o(AP,\s\up15(→))＝2 eq \o(PB,\s\up15(→))或 eq \o(AP,\s\up15(→))＝－2 eq \o(PB,\s\up15(→)). ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1＝2(3－x)，,y－2＝2(－y)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2(3－x)，,y－2＝－2(－y).)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(2,3)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－2.)) ∴点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(2,3)))或(7，－2). (2)(2025·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若 eq \o(AC,\s\up15(→))＝λ eq \o(AM,\s\up15(→))＋μ eq \o(BD,\s\up15(→))，则λ＋μ的值为(　　) A． eq \f(4,3) B． eq \f(5,3) C． eq \f(15,8) D．2 答案　B 解析　在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 令AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)， eq \o(AC,\s\up15(→))＝(2，2)， eq \o(AM,\s\up15(→))＝(2，1)， eq \o(BD,\s\up15(→))＝(－2，2)， λ eq \o(AM,\s\up15(→))＋μ eq \o(BD,\s\up15(→))＝(2λ－2μ，λ＋2μ)， 因为 eq \o(AC,\s\up15(→))＝λ eq \o(AM,\s\up15(→))＋μ eq \o(BD,\s\up15(→))， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2λ－2μ＝2，,λ＋2μ＝2，)) 解得λ＝ eq \f(4,3)，μ＝ eq \f(1,3)，λ＋μ＝ eq \f(5,3)， 所以λ＋μ的值为 eq \f(5,3). eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解． (2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算． 　[即时训练] (1)(2025·河南济源第四中学质检)平行四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，7))， eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3))，则 eq \o(AC,\s\up15(→))的坐标为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，5)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，4)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，10)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，7)) 答案　C 解析　根据向量加法的平行四边形法则 eq \o(AC,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，7))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，10)).故选C. (2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(　　) A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b 答案　D 解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，a＝ eq \o(AB,\s\up15(→))，b＝ eq \o(BC,\s\up15(→))，c＝ eq \o(CD,\s\up15(→))， 则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)， 所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)， 设向量c＝ma＋nb， 则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－2n＝7，,m＋3n＝－3，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－2，))所以c＝3a－2b. 题型三　向量共线的坐标表示 [例3]　(1)(2025·济宁模拟)已知平面向量a＝(－1，2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m＝________． 答案　 eq \f(3,2) 解析　a＝(－1，2)，b＝(m，－3)， 则a＋2b＝(－1＋2m，－4)， 由题意得(a＋2b)∥a， 故4＝2(－1＋2m)，解得m＝ eq \f(3,2). (2)已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，P1(3，1)，P2(－1，3)，P1，P2，P3三点共线且向量 eq \o(OP3,\s\up15(→))与向量a＝(1，－1)共线，若 eq \o(OP3,\s\up15(→))＝λ eq \o(OP1,\s\up15(→))＋(1－λ) eq \o(OP2,\s\up15(→))，则λ等于(　　) A．－3 B．3 C．1 D．－1 答案　D 解析　设 eq \o(OP3,\s\up15(→))＝(x，y)， 则由 eq \o(OP3,\s\up15(→))∥a知x＋y＝0， 所以 eq \o(OP3,\s\up15(→))＝(x，－x). 若 eq \o(OP3,\s\up15(→))＝λ eq \o(OP1,\s\up15(→))＋(1－λ) eq \o(OP2,\s\up15(→))，则(x，－x)＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)＝(4λ－1，3－2λ)， 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4λ－1＝x，,3－2λ＝－x，))所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1. eq \a\vs4\al([思维升华]) 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R). 　[即时训练] (1)(2025·江西赣州质检)已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1))，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k，\r(3)k))，若a－kb与c共线，则k＝(　　) A．2或－2 B．2或1 C．－2或0 D．0或2 答案　D 解析　由a＝( eq \r(3)，1)，b＝(0，－1)，得a－kb＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1＋k))， 因为a－kb与c共线， 所以k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋k))－3k＝0，即k2－2k＝0，解得k＝0或k＝2.故选D. (2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 答案　(2，4) 解析　∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD， ∴ eq \o(DC,\s\up15(→))＝2 eq \o(AB,\s\up15(→))， 设点D的坐标为(x，y)， 则 eq \o(DC,\s\up15(→))＝(4－x，2－y)， 又 eq \o(AB,\s\up15(→))＝(1，－1)， ∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)， 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，)) ∴点D的坐标为(2，4). $$