第5章 第1节 平面向量的概念及线性运算(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第五章　平面向量与复数 　第一节　平面向量的概念及线性运算 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 长度 方向 模 1个单位长度 相反 平行 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 相同 相反 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 相同 相反 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 × × √ √ 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （三十七） 点击进入word 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第五章 平面向量与复数 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的 (或称 ). (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于 的向量． (4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量 ． (5)相等向量：长度相等且方向 的向量． (6)相反向量：长度相等且方向 的向量． 3.向量的线性运算 向量 运算 法则(或 几何意义) 运算律 加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 向量 运算 法则(或 几何意义) 运算律 减法 a－b＝a＋(－b) 向量 运算 法则(或 几何意义) 运算律 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【常用结论】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即 eq \o(A1A2,\s\up15(→))＋ eq \o(A2A3,\s\up15(→))＋ eq \o(A3A4,\s\up15(→))＋…＋An－1An＝ eq \o(A1An,\s\up15(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．在△ABC中，D为BC的中点，则 eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AC,\s\up15(→))). 3．在△ABC中，点P满足 eq \o(PA,\s\up15(→))＋ eq \o(PB,\s\up15(→))＋ eq \o(PC,\s\up15(→))＝0⇔P为△ABC的重心， eq \o(AP,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3)( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AC,\s\up15(→))). 4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　 　) (2)单位向量都相等．(　 　) (3)任一非零向量都可以平行移动．(　 　) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　 　) 2．下列说法正确的是(　　) A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 答案　C 解析　对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误．故选C. 3．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则 eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(DO,\s\up15(→)) 等于(　　) A． eq \o(CD,\s\up15(→))　　　　　B． eq \o(DC,\s\up15(→)) C． eq \o(DA,\s\up15(→)) D． eq \o(DO,\s\up15(→)) 答案　B 解析　 eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(DO,\s\up15(→))＝ eq \o(DO,\s\up15(→))＋ eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→)).故选B. 4．已知a，b是两非零向量，且a与b共线，若非零向量c与a共线，则c与b必定_________． 答案　共线 解析　因为a，b是两非零向量，且a与b共线，所以∃λ1，使得a＝λ1b. 又因为非零向量c与a共线，所以∃λ2，使得c＝λ2a. 所以c＝λ2a＝λ1λ2b. 所以c与b必定共线． 题型一　平面向量的基本概念 [例1]　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若a＝b，b＝c，则a＝c B．若四边形ABCD满足 eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))，则四边形ABCD是平行四边形 C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．与非零向量a共线的单位向量为± eq \f(a,|a|) 答案　ABD 解析　对于A，由相等向量的定义知，A正确； 对于B，因为 eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))，所以AB∥DC且AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形，故B正确； 对于C，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c，故C错误； 对于D，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a共线的单位向量为± eq \f(a,|a|)，故D正确． (2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与 eq \o(BC,\s\up6(→))相等的向量为(　　) A. eq \o(BA,\s\up15(→))　　　　　B． eq \o(CD,\s\up15(→)) C． eq \o(AD,\s\up15(→)) D． eq \o(OD,\s\up15(→)) 答案　D 解析　A，B选项均与 eq \o(BC,\s\up15(→))方向不同，C选项与 eq \o(BC,\s\up15(→))长度不相等，故A，B，C错误；D选项与 eq \o(BC,\s\up15(→))方向相同，长度相等，故D正确． eq \a\vs4\al([思维升华]) 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4) eq \f(a,|a|)是与非零向量a同方向的单位向量．　 　[即时训练] (1)(多选)(2025·咸阳模拟)下列命题的判断正确的是(　　) A．若向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与向量 eq \o(CD,\s\up15(→))共线，则A，B，C，D四点在一条直线上 B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与向量 eq \o(CD,\s\up15(→))共线 C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与向量 eq \o(CD,\s\up15(→))不共线 D．若向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与向量 eq \o(BC,\s\up15(→))共线，则A，B，C三点在一条直线上 答案　BD 解析　对于A，平行四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))，满足向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与 eq \o(CD,\s\up15(→))共线，而A，B，C，D四点不共线，A错误； 对于B，A，B，C，D四点在一条直线上，则向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与 eq \o(CD,\s\up15(→))方向相同或相反，即向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与 eq \o(CD,\s\up15(→))共线，B正确； 对于C，平行四边形ABCD中，满足A，B，C，D四点不共线，有 eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))，即向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与 eq \o(CD,\s\up15(→))共线，C错误； 对于D，向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与 eq \o(BC,\s\up15(→))共线，而向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与 eq \o(BC,\s\up15(→))有公共点B，因此A，B， C三点在一条直线上，D正确．故选BD. (2)(多选) 如图，在四边形ABCD中，若 eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))，则图中相等的向量是(　　) A． eq \o(AD,\s\up15(→))与 eq \o(CB,\s\up15(→)) B． eq \o(OB,\s\up15(→))与 eq \o(OD,\s\up15(→)) C． eq \o(AO,\s\up15(→))与 eq \o(OC,\s\up15(→)) D． eq \o(AC,\s\up15(→))与 eq \o(BD,\s\up15(→)) 答案　C 解析　因为 eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以 eq \o(AD,\s\up15(→))＝－ eq \o(CB,\s\up15(→))， eq \o(OB,\s\up15(→))＝－ eq \o(OD,\s\up15(→))， eq \o(AO,\s\up15(→))＝ eq \o(OC,\s\up15(→))， eq \o(AC,\s\up15(→))≠ eq \o(BD,\s\up15(→))，故ABD错误，C正确．故选C. 题型二　平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 [例2]　若|a|＝4，|b|＝7，则|a＋b|的取值范围是________． 答案　[3，11] 解析　对于任意向量a，b， 必有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|， 即|4－7|≤|a＋b|≤|4＋7|， 即3≤|a＋b|≤11. 题型二　平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 [例2]　若|a|＝4，|b|＝7，则|a＋b|的取值范围是________． 答案　[3，11] 解析　对于任意向量a，b， 必有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|， 即|4－7|≤|a＋b|≤|4＋7|， 即3≤|a＋b|≤11. 命题点2　向量的线性运算 [例3]　(2025·大理质检)若四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则 eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))等于(　　) A． eq \o(CD,\s\up15(→)) B． eq \o(OC,\s\up15(→)) C． eq \o(DA,\s\up15(→)) D． eq \o(CO,\s\up15(→)) 答案　B 解析　 eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＝ eq \o(OB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＝ eq \o(OC,\s\up15(→)).故选B. 命题点3　根据向量线性运算求参数 [例4]　(2025·山西运城质检)已知向量a，b不共线，且向量λa＋b与a＋(2λ－1)b方向相同，则实数λ的值为(　　) A．1 B．－ eq \f(1,2) C．1或－ eq \f(1,2) D．1或－ eq \f(1,3) 答案　A 解析　因为向量λa＋b与a＋(2λ－1)b方向相同， 所以存在唯一实数k(k>0)，使a＋(2λ－1)b＝k(λa＋b)， 因为向量a，b不共线， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kλ＝1，,2λ－1＝k，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝1，,k＝1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－2))(舍去).故选A. eq \a\vs4\al([思维升华]) 平面向量线性运算的解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值．　 　[即时训练] (1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若 eq \o(AB,\s\up15(→))＝a， eq \o(AD,\s\up15(→))＝b，则 eq \o(AF,\s\up15(→))等于(　　) A. eq \f(1,4)a＋b B． eq \f(1,3)a＋b C． eq \f(1,4)a＋ eq \f(1,3)b D． eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b 答案　B 解析　在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于点F， 则△DEF∽△BEA，所以 eq \f(DF,BA)＝ eq \f(DE,BE)＝ eq \f(1,3)， 则 eq \f(DF,BA)＝ eq \f(DF,DC)＝ eq \f(1,3)， 所以 eq \o(DF,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up15(→))， 则 eq \o(AF,\s\up15(→))＝ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(DF,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3)a＋b. (2)在△ABC中，D为AC的中点，连接BD，若 eq \o(BE,\s\up15(→))＝2 eq \o(ED,\s\up15(→))， eq \o(AE,\s\up15(→))＝x eq \o(AB,\s\up15(→))＋y eq \o(AC,\s\up15(→))，则x＋y的值为(　　) A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,3) C． eq \f(2,3) D．1 答案　C 解析　因为D为AC的中点， 所以 eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up15(→))， eq \o(BD,\s\up15(→))＝ eq \o(AD,\s\up15(→))－ eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up15(→))－ eq \o(AB,\s\up15(→))， 因为 eq \o(BE,\s\up15(→))＝2 eq \o(ED,\s\up15(→))，所以 eq \o(ED,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(BD,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up15(→))－\o(AB,\s\up15(→))))＝ eq \f(1,6) eq \o(AC,\s\up15(→))－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up15(→))， 所以 eq \o(AE,\s\up15(→))＝ eq \o(AD,\s\up15(→))－ eq \o(ED,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up15(→))－ eq \f(1,6) eq \o(AC,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up15(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up15(→))， 又 eq \o(AE,\s\up15(→))＝x eq \o(AB,\s\up15(→))＋y eq \o(AC,\s\up15(→))，因此有x＝y＝ eq \f(1,3)， 则x＋y＝ eq \f(2,3). 题型三　共线定理及其应用 [例5]　(1)(2025·徐州模拟)已知向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，则k＝______． 答案　±2 eq \r(2) 解析　因为向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线， 所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R， 故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8＝－kt，,－k＝t，))解得k＝±2 eq \r(2). (2)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N满足 eq \o(AN,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up15(→))，AM与CN交于点D，若 eq \o(AD,\s\up15(→))＝λ eq \o(AM,\s\up15(→))，则λ等于(　　) A． eq \f(2,3) B． eq \f(3,4) C． eq \f(4,5) D． eq \f(5,6) 答案　C 解析　在△ABC中，因为点M是BC的中点，所以 eq \o(AM,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up15(→))， 则 eq \o(AD,\s\up15(→))＝λ eq \o(AM,\s\up15(→))＝ eq \f(λ,2) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(λ,2) eq \o(AC,\s\up15(→))， 又 eq \o(AN,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up15(→))，于是得 eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \f(3λ,4) eq \o(AN,\s\up15(→))＋ eq \f(λ,2) eq \o(AC,\s\up15(→))， 因为点C，D，N共线，则有 eq \f(3λ,4)＋ eq \f(λ,2)＝1，解得λ＝ eq \f(4,5). eq \a\vs4\al([思维升华]) 利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)已知O，A，B是不共线的三点，且 eq \o(OP,\s\up15(→))＝m eq \o(OA,\s\up15(→))＋n eq \o(OB,\s\up15(→))(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.　 　[即时训练] (1)(2025·绵阳模拟)已知平面向量a，b不共线， eq \o(AB,\s\up15(→))＝4a＋6b， eq \o(BC,\s\up15(→))＝－a＋3b， eq \o(CD,\s\up15(→))＝a＋3b，则(　　) A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 答案　D 解析　对于A， eq \o(BD,\s\up15(→))＝ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(CD,\s\up15(→))＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，则 eq \o(AB,\s\up15(→))， eq \o(BD,\s\up15(→))不共线，故A不正确； 对于B， eq \o(AB,\s\up15(→))与 eq \o(BC,\s\up15(→))不共线，故B不正确； 对于C， eq \o(BC,\s\up15(→))与 eq \o(CD,\s\up15(→))不共线，故C不正确； 对于D， eq \o(AC,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3 eq \o(CD,\s\up15(→))，即 eq \o(AC,\s\up15(→))∥ eq \o(CD,\s\up15(→))， 又 eq \o(AC,\s\up15(→))与 eq \o(CD,\s\up15(→))有公共点C，则A，C，D三点共线，故D正确． (2)(2025·北京质检)在△ABC中， eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \f(3,2) eq \o(DC,\s\up15(→))，P是直线BD上的一点，若 eq \o(AP,\s\up15(→))＝t eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,5) eq \o(AC,\s\up15(→))，则实数t的值为(　　) A．－ eq \f(1,3) B． eq \f(1,3) C．－ eq \f(2,3) D． eq \f(2,3) 答案　B 解析　因为 eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \f(3,2) eq \o(DC,\s\up15(→))，所以 eq \o(AC,\s\up15(→))＝ eq \f(5,3) eq \o(AD,\s\up15(→))， 又P是直线BD上的一点，所以 eq \o(AP,\s\up15(→))＝x eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x)) eq \o(AD,\s\up15(→))， 又 eq \o(AP,\s\up15(→))＝t eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,5) eq \o(AC,\s\up15(→))＝t eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up15(→))， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝t，,1－x＝\f(2,3)，))所以x＝t＝ eq \f(1,3).故选B. $$