第4章 第11节 解三角形应用举例(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四章　三角函数与解三角形 第十一节　解三角形应用举例 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 √ × √ × 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （三十六） 点击进入word 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 测量中的几个有关术语 术语 名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 术语 名称 术语意义 图形表示 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例： 术语 名称 术语意义 图形表示 坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝ eq \f(h,l)＝tan θ 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例： 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)西南方向与南偏西45°方向相同．(　 　) (2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).( 　) (3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(　　) (4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　) 2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B(　　 ) A．北偏东10°方向　　　B．北偏西10°方向 C．南偏东80°方向 D．南偏西80°方向 答案　D 解析　由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°， 又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°， 所以∠DBA＝10°， 因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向． 3．如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　 ) A．(30 eq \r(3)＋30)m B．(15 eq \r(3)＋30)m C．(30 eq \r(3)＋15)m D．(15 eq \r(3)＋15)m 答案　A 解析　在△ABP中，∠APB＝45°－30°＝15°， 所以sin ∠APB＝sin 15°＝ eq \f(\r(2),2)× eq \f(\r(3),2)－ eq \f(\r(2),2)× eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(6)－\r(2),4)， 由正弦定理得PB＝ eq \f(AB sin 30°,sin ∠APB)＝ eq \f(60×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝30( eq \r(6)＋ eq \r(2))m， 所以该树的高度为30( eq \r(6)＋ eq \r(2))sin 45°＝(30 eq \r(3)＋30)m. 4．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5 eq \r(3)海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里． 答案　5 eq \r(2) 解析　由题意可知∠ACB＝60°， 由正弦定理 eq \f(AB,sin ∠ACB)＝ eq \f(BC,sin ∠BAC)， 即 eq \f(5\r(3),sin 60°)＝ eq \f(BC,sin 45°)， 得BC＝5 eq \r(2). 题型一　测量距离问题 [例1]　(1)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10 eq \r(3) km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为(　　 ) A．10 eq \r(6) km　　　　　B．30( eq \r(3)－1)km C．30( eq \r(2)－1)km D．10 eq \r(5) km 答案　D 解析　在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°， 所以∠BDC＝45°，∠CAD＝30°，∠ACD＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝10 eq \r(3)， 在△BCD中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°， 由正弦定理得BD＝ eq \f(CD sin ∠BCD,sin ∠CBD)＝ eq \f(10\r(3)sin 75°,sin 60°)＝5 eq \r(2)＋5 eq \r(6)， 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝(10 eq \r(3))2＋(5 eq \r(2)＋5 eq \r(6))2－2×10 eq \r(3)×(5 eq \r(2)＋5 eq \r(6))cos 75°＝500， 所以AB＝10 eq \r(5)，即基站A，B之间的距离为10 eq \r(5) km. (2)(2025·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10 eq \r(2) 海里 B．10 eq \r(3) 海里 C．20 eq \r(2) 海里 D．20 eq \r(3) 海里 答案　A 解析　依题意，如图，在△ABC中， ∠BAC＝50°－20°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，AB＝40× eq \f(30,60)＝20(海里)， 由正弦定理得 eq \f(BC,sin ∠BAC)＝ eq \f(AB,sin ∠ACB)， 即 eq \f(BC,sin 30°)＝ eq \f(20,sin 45°)， 因此BC＝ eq \f(20×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝10 eq \r(2)(海里)， 所以B，C两点间的距离是10 eq \r(2) 海里． eq \a\vs4\al([思维升华]) 距离问题的解题思路：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．　 　[即时训练] (2025·绥化模拟)安邦河，在黑龙江省内有两条．一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川3个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江．安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点A，B并测得AB＝a，选取对岸一目标点C并测得∠ABC＝α，∠BAC＝β，则该段河流的宽度为(　　 ) A． eq \f(\a\vs4\al(a sin αsin β),sin (α＋β)) B． eq \f(\a\vs4\al(a sin αcos β),sin (α＋β)) C． eq \f(a sin αcos α,sin (α＋β)) D． eq \f(a sin2α,sin(α＋β)) 答案　A 解析　在△ABC中，由正弦定理得 BC＝ eq \f(AB sin ∠BAC,sin ∠ACB)＝ eq \f(\a\vs4\al(a sin β),sin (α＋β))， ∴河流的宽度d＝BC sin ∠ABC＝ eq \f(\a\vs4\al(a sin αsin β),sin (α＋β)). 题型二　测量高度问题 [例2]　(1)首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A(如图2)距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A点的仰角为30°；在赛道与建 筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点，P点的仰角分别为75°和30°(其中B，M，Q三点共线)，该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为(参考数据： eq \r(2)≈1.41， eq \r(3)≈1.73， eq \r(6)≈2.45)(　　 ) A．58米 B．60米 C．66米 D．68米 答案　B 解析　由题意得∠AMB＝75°，∠PMQ＝30°，∠AMP＝75°，∠APM＝60°，∠PAM＝45°， 在△PMQ中，PM＝ eq \f(PQ,sin ∠PMQ)＝50.8(米)， 在△PAM中，由正弦定理得 eq \f(AM,sin ∠APM)＝ eq \f(PM,sin ∠PAM)， 所以AM＝25.4× eq \r(6)(米)， 在△ABM中，AB＝AM·sin ∠AMB＝25.4× eq \r(6)× eq \f(\r(2)＋\r(6),4)≈60(米). (2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m. 答案　100 eq \r(6) 解析　由题设可知在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°， 由此可得∠ACB＝45°， 由正弦定理可得 eq \f(CB,sin 30°)＝ eq \f(600,sin 45°)， 解得CB＝300 eq \r(2) m， 又因为∠CBD＝30°， 所以CD＝CB tan 30°＝100 eq \r(6)(m). eq \a\vs4\al([思维升华]) 高度问题的易错点 (1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错． (2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错． 　[即时训练] 如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为37°，沿坡角为23°的斜坡向上走28 m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为53°，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度约为(参考数据：sin 37°≈0.6)(　　 ) A．30 m B．32 m C．34 m D．36 m 答案　A 解析　∠BAQ＝23°，∠BPA＝∠QPA－∠BPC＝53°－37°＝16°，∠PAB＝∠PAQ－∠BAQ＝37°－23°＝14°，∠PBA＝180°－16°－14°＝150°. 由正弦定理得 eq \f(PA,sin ∠PBA)＝ eq \f(AB,sin ∠APB)， 即 eq \f(AP,sin 150°)＝ eq \f(28,sin (53°－37°))， 可得AP＝ eq \f(14,sin 53°cos 37°－cos 53°sin 37°) ≈ eq \f(14,0.82－0.62)＝50(m). 所以山的高度约为PQ＝AP·sin 37°＝50×0.6＝30(m). 题型三　测量角度问题 [例3]　已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘救援艇．岛A处的一艘故障船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问救援艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船？ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：sin 38°取\f(5\r(3),14)，sin 22°取\f(3\r(3),14))) 解　如图，设救援艇在C处追赶上故障船，D为岛A正南方向上一点，救援艇的速度为x海里/小时， 结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°. 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°＝9＋25－2×3×5× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝49， 所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得sin ∠ABC＝ eq \f(AC·sin ∠BAC,BC)＝ eq \f(5×\f(\r(3),2),7)＝ eq \f(5\r(3),14)， 所以∠ABC＝38°， 又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故救援艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船． eq \a\vs4\al([思维升华]) 角度问题的解题方法 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.　 　[即时训练] 甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的 eq \r(3) 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝________． 答案　30° 解析　如图，设两船在C处相遇， 则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且 eq \f(AC,BC)＝ eq \r(3)， 由正弦定理得 eq \f(AC,BC)＝ eq \f(sin 120°,sin ∠BAC)＝ eq \r(3)， 所以sin ∠BAC＝ eq \f(1,2). 又因为0°<∠BAC<60°， 所以∠BAC＝30°，所以θ＝60°－30°＝30°. $$