第4章 第8节 正弦定理、余弦定理(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四章　三角函数与解三角形 第八节　正弦定理、余弦定理 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 b2＋c2－2bc cos A c2＋a2－2ca cos B a2＋b2－2ab cos C 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 2R sin B 2R sin C sin A∶sin B∶sin C 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 × √ × × 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （三十三） 点击进入word 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝2R a2＝___________________； b2＝_____________________； c2＝____________________ 定理 正弦定理 余弦定理 变形形式 (1)a＝2R sin A，b＝_____________， c＝______________； (2)sin A＝ eq \f(a,2R) ，sin B＝ eq \f(b,2R) ， sin C＝ eq \f(c,2R) ； a∶b∶c＝ cos A＝_____________； cos B＝_____________； cos C＝______________ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(c2＋a2－b2,2ac) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ eq \f(1,2)aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(1,2)bc sin A； (3)S＝ eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径). 【常用结论】 　在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin eq \f(A＋B,2)＝cos eq \f(C,2)；cos eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2). (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B. (6)三角形中的面积S＝ eq \r(p(p－a)(p－b)(p－c)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)(a＋b＋c))).　 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比．(　 　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b.(　 　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　 　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　 　) 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝ eq \f(π,3)，a＝ eq \r(3)，b＝1，则c等于(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C． eq \r(3)－1 D． eq \r(3) 答案　B 解析　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，将A＝ eq \f(π,3)，a＝ eq \r(3)，b＝1，代入得3＝12＋c2－2c cos eq \f(π,3)， 则有c2－c－2＝0，且c>0，解得c＝2.故选B. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，a＝2 eq \r(3)，b＝2，则B＝________． 答案　 eq \f(π,6) 解析　在△ABC中，A＝60°，a＝2 eq \r(3)，b＝2， 因为a>b，所以A>B，因为 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)， 所以sin B＝ eq \f(b sin A,a)＝ eq \f(1,2)，所以B＝ eq \f(π,6). 4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2 eq \r(3)，c＝8，A＝30°，则△ABC的面积为________． 答案　4 eq \r(3) 解析　由题意可得△ABC的面积为S＝ eq \f(1,2)bc sin A＝ eq \f(1,2)×2 eq \r(3)×8× eq \f(1,2)＝4 eq \r(3). 题型一　利用正弦定理解三角形 [例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝ eq \r(2)cos B，a2＋b2－c2＝ eq \r(2)ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋ eq \r(3)，求c. 解：(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，对比已知a2＋b2－c2＝ eq \r(2)ab， 可得cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(\r(2)ab,2ab)＝ eq \f(\r(2),2)， 因为C∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，所以sin C >0， 从而sin C＝ eq \r(1－cos 2C)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝ eq \f(\r(2),2)， 又因为sin C＝ eq \r(2)cos B，即cos B＝ eq \f(1,2)， 注意到B∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，所以B＝ eq \f(π,3). (2)由(1)可得B＝ eq \f(π,3)，cos C＝ eq \f(\r(2),2)，C∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，从而C＝ eq \f(π,4)，A＝π－ eq \f(π,3)－ eq \f(π,4)＝ eq \f(5π,12)， 而sin A＝sin eq \f(5π,12)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,6)))＝ eq \f(\r(2),2)× eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(\r(2),2)× eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4)， 由正弦定理有 eq \f(a,sin \f(5π,12))＝ eq \f(b,sin \f(π,3))＝ eq \f(c,sin \f(π,4))， 从而a＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4)· eq \r(2)c＝ eq \f(\r(3)＋1,2)c，b＝ eq \f(\r(3),2)· eq \r(2)c＝ eq \f(\r(6),2)c， 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 S△ABC＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)· eq \f(\r(3)＋1,2)c· eq \f(\r(6),2)c· eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(3＋\r(3),8)c2， 由已知△ABC的面积为3＋ eq \r(3)，可得 eq \f(3＋\r(3),8)c2＝3＋ eq \r(3)， 所以c＝2 eq \r(2). eq \a\vs4\al([思维升华]) 利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角．　 　[即时训练] (1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝ eq \f(\r(6),2)，A＝45°，则C等于(　　) A．30°　　　　　　　　B．60° C．120° D．60°或120° 答案　D 解析　因为a＝1，c＝ eq \f(\r(6),2)，A＝45°， 所以由正弦定理可得sin C＝ eq \f(c sin A,a)＝ eq \f(\f(\r(6),2)×\f(\r(2),2),1) ＝ eq \f(\r(3),2)， 又因为0°<C<180°，c>a，A＝45°， 所以C＝60°或120°. (2)(2025·上海模拟)在△ABC中，设角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若a＝3，c＝5，B＝2A，则边长b＝________． 答案　2 eq \r(6) 解析　由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)＝ eq \f(c,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋B)))，即 eq \f(3,sin A)＝ eq \f(5,sin 3A)， 5sin A＝3sin 3A＝3sin A cos 2A＋3cos A sin 2A ＝3sin A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos 2A－1))＋6sin Acos 2A ＝12sin Acos 2A－3sin A， 由于B＝2A，所以A为锐角，sin A>0， 所以12cos 2A＝8，cos A＝ eq \f(\r(6),3)， 由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(b,sin 2A)＝ eq \f(b,2sin A cos A)， 则a＝ eq \f(b,2cos A)，b＝2a cos A＝2×3× eq \f(\r(6),3)＝2 eq \r(6). 题型二　利用余弦定理解三角形 [例2]　(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2 eq \r(17)，b＝5 eq \r(2)，cos A＝ eq \f(4,5)，则△ABC的面积为(　　) A．36 eq \r(2) B．18 eq \r(3) C．27 D．36 答案　C 解析　∵a＝2 eq \r(17)，b＝5 eq \r(2)，cos A＝ eq \f(4,5)， ∴由a2＝b2＋c2－2bc cos A， 可得c2－8 eq \r(2)c－18＝(c－9 eq \r(2))(c＋ eq \r(2))＝0， 解得c＝9 eq \r(2)(负值舍去). ∵cos A＝ eq \f(4,5)， ∴sin A＝ eq \r(1－cos2A)＝ eq \f(3,5)， ∴△ABC的面积为 eq \f(1,2)bc sinA＝ eq \f(1,2)×5 eq \r(2)×9 eq \r(2)× eq \f(3,5)＝27. (2)(2025·宝鸡统考)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC等于(　　) A．2 eq \r(3) B．4 eq \r(3) C．2 eq \r(2) D．4 eq \r(2) 答案　B 解析　法一：设BC＝2x，则BD＝CD＝x. 在△ACD中，由余弦定理的推论可得， cos ∠ADC＝ eq \f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)＝ eq \f(25＋x2－49,10x). 在△ABD中，由余弦定理的推论可得， cos ∠ADB＝ eq \f(AD2＋BD2－AB2,2AD·BD)＝ eq \f(25＋x2－25,10x). 又∠ADC＋∠ADB＝π， 所以cos ∠ADC＝－cos ∠ADB， 所以有 eq \f(25＋x2－49,10x)＝－ eq \f(25＋x2－25,10x)， 整理可得x2＝12，解得x＝2 eq \r(3)，所以BC＝4 eq \r(3). 法二： eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AC,\s\up15(→)))， 则 eq \o(AD,\s\up15(→))2＝ eq \f(1,4)( eq \o(AB,\s\up15(→))2＋ eq \o(AC,\s\up15(→))2＋2 eq \o(AB,\s\up15(→))· eq \o(AC,\s\up15(→)))，即25＝ eq \f(1,4)(25＋49＋2×5×7×cos ∠BAC)，解得cos ∠BAC＝ eq \f(13,35)， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC ＝25＋49－2×5×7× eq \f(13,35)＝48， 所以BC＝4 eq \r(3). eq \a\vs4\al([思维升华]) 利用余弦定理可解决两类三角形问题 (1)已知两边和它们的夹角，求其他边或角． (2)已知三边求角． 由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． 　[即时训练] (1)(2025·江苏扬州质检)已知锐角三角形边长分别为1，2，x，则x的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，5)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\r(5))) D．不确定 答案　C 解析　由题意，设三角形为△ABC，b＝1，c＝2， 由三角形的几何性质c－b<a<c＋b， ∴1<a<3， ∵三角形是锐角三角形，a>b，c>b， ∴只需要A，C为锐角， ∵cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)>0，即5－a2>0， cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)>0，即a2－3>0，联立解得： eq \r(3)<a< eq \r(5).故选C. (2)(2025·红河模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为 eq \f(1,2)b(b sin B－a sin A－c sin C)，则B等于(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(5π,6) C． eq \f(π,3) D． eq \f(2π,3) 答案　D 解析　由题知，△ABC的面积为 eq \f(1,2)b(b sin B－a sin A－c sin C)， 所以 eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)b(b sin B－a sin A－c sin C)， 即a sin C＝b sin B－a sin A－c sin C， 所以由正弦定理得ac＝b2－a2－c2， 即a2＋c2－b2＝－ac， 所以cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝－ eq \f(1,2)，因为B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(2π,3). 题型三　三角形的形状判断 [例3]　(2025·临沂模拟)在△ABC中，已知 eq \f(sin A＋sin C,sin B)＝ eq \f(b＋c,a)且满足条件①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②b cos A＋a cos B＝c sin C 中的一个，试判断△ABC的形状，并写出推理过程． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解　由 eq \f(sin A＋sin C,sin B)＝ eq \f(b＋c,a)及正弦定理得 eq \f(a＋c,b)＝ eq \f(b＋c,a)，即a2＋ac＝b2＋bc， ∴a2－b2＋ac－bc＝0， ∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b. 若选①，则△ABC为等边三角形．推理如下： 由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab. ∴由余弦定理得cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(1,2)， 又C∈(0，π)，∴C＝ eq \f(π,3). ∴△ABC为等边三角形． 若选②，则△ABC为等腰直角三角形．推理如下： ∵b cos A＋a cos B＝b· eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋a· eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝ eq \f(2c2,2c)＝c＝c sin C， ∴sin C＝1，∴C＝ eq \f(π,2)，∴△ABC为等腰直角三角形． eq \a\vs4\al([思维升华]) 判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．　 　[即时训练] (1)(2025·黑龙江哈尔滨质检)在△ABC中，若C＝60°，c2＝ab，则△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案　D 解析　由余弦定理知cos C＝ eq \f(b2＋a2－c2,2ab)， 因为c2＝ab，C＝60°， 所以cos 60°＝ eq \f(b2＋a2－ab,2ab)＝ eq \f(1,2)， 所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))2＝0，所以b＝a， 因此B＝A，所以B＝A＝C＝60°， 即△ABC是等边三角形．故选D. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 eq \f(cos A,cos B)＝ eq \f(b,a)＝ eq \r(2)，则该三角形的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 答案　A 解析　因为 eq \f(cos A,cos B)＝ eq \f(b,a)， 由正弦定理得 eq \f(cos A,cos B)＝ eq \f(sin B,sin A)， 所以sin A cos A＝sin B cos B， 即sin 2A＝sin 2B. 由 eq \f(b,a)＝ eq \r(2)，可得a≠b，所以A≠B. 又A，B∈(0，π)，A＋B<π， 所以2A＝π－2B，即A＋B＝ eq \f(π,2)， 所以C＝ eq \f(π,2)，故△ABC是直角三角形． $$