第4章 第7节 三角函数中有关ω的范围问题(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四章　三角函数与解三角形 第七节　三角函数中有关ω的范围问题 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （三十二） 点击进入word 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 [重点解读]　在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点． 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 [例1]　(2025·梅河口模拟)已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω∈N*，0<φ≤π)是R上的奇函数，且f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,22)，\f(π,11)))上是单调函数，则ω的最大值为(　　) A．3　　　　　　B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　因为f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω∈N*，0<φ≤π)是R上的奇函数， 所以φ＝kπ，k∈Z，当k＝1时，φ＝π. 所以f(x)＝sin (ωx＋π)＝－sin ωx， 又x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,22)，\f(π,11)))，可得ωx∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(ωπ,22)，\f(ωπ,11)))， 因为f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,22)，\f(π,11)))上是单调函数， 所以f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,11)，\f(π,11)))上是单调函数， 故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,11)≤\f(π,2)，,\f(ωπ,11)≥－\f(π,2)，))可得ω≤ eq \f(11,2)， 由ω∈N*，可得ω的最大值为5. eq \a\vs4\al([思维升华]) 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围．　 　[即时训练] (2025·南京模拟)已知函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(5,3))) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，1)) 答案　B 解析　令2kπ＋ eq \f(π,2)≤ωx－ eq \f(π,6)≤2kπ＋ eq \f(3π,2)，k∈Z，ω>0，得 eq \f(2kπ＋\f(2π,3),ω)≤x≤ eq \f(2kπ＋\f(5π,3),ω)，k∈Z. 可得，4k＋ eq \f(4,3)≤ω≤2k＋ eq \f(5,3)，k∈Z. 因为4k＋ eq \f(4,3)≤2k＋ eq \f(5,3)，k∈Z，所以k≤ eq \f(1,6)，k∈Z，所以k≤0，k∈Z； 又2k＋ eq \f(5,3)≥0，k∈Z，所以k≥－ eq \f(5,6)，k∈Z， 所以k≥0，k∈Z. 所以k＝0，此时有 eq \f(4,3)≤ω≤ eq \f(5,3).故选B. 题型二　三角函数的对称性与ω的关系 [例2]　(2025·杭州模拟)已知函数f(x)＝cos ωx－ eq \r(3)sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，则ω的取值范围是________． 答案　 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，\f(4,3))) 解析　函数f(x)＝cos ωx－ eq \r(3)sin ωx ＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos ωx－\f(\r(3),2)sin ωx))＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))， 因为x∈(0，2π)，ω>0， 所以ωx＋ eq \f(π,3)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2πω＋\f(π,3)))， 由于函数f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，所以f(x)在(0，2π)上有且仅有2条对称轴， 则2π<2πω＋ eq \f(π,3)≤3π，解得ω∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，\f(4,3))). eq \a\vs4\al([思维升华]) 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 eq \f(T,2)，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为 eq \f(T,4)，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围． 　[即时训练] (2025·河北保定模拟)已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ＋\f(π,2)))(ω>0，φ∈R)满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，且在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,3)))上单调，则ω的最大值为________． 答案　3 解析　由题可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ))， 由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,3)))上单调， 得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))中心对称， 因为直线x＝ eq \f(π,3)与直线x＝0关于直线x＝ eq \f(π,6)对称，结合f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象对称性， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调，得 eq \f(T,2)＝ eq \f(π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ω)))≥ eq \f(π,3)， 又ω>0，所以0<ω≤3，故ω的最大值为3. 题型三　三角函数的最值与ω的关系 [例3]　若函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))(ω>0)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，则ω的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(7,2))) 答案　B 解析　因为ω>0，所以当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时， ωx－ eq \f(π,4)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(ωπ,2)－\f(π,4))). 又因为函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))(ω>0)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))， 所以 eq \f(π,2)≤ eq \f(ωπ,2)－ eq \f(π,4)≤ eq \f(5π,4)，解得 eq \f(3,2)≤ω≤3. eq \a\vs4\al([思维升华]) 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围． [即时训练] (2025·上海质检)若奇函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0，π))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，6)) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(9,2))) C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(9,2))) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6)) 答案　C 解析　因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝cos (ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0，π))为奇函数， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝0，即φ＝ eq \f(π,2)，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝－sin ωx， 当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))时，则ωx∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(ωπ,3)，\f(ωπ,6)))， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)<－\f(ωπ,3)≤－\f(π,2)，,\f(π,2)≤\f(ωπ,6)<\f(3π,2)，))解得3≤ω< eq \f(9,2).故选C. 题型四　三角函数的零点与ω的关系 [例4]　(2025·开封统考)若函数g(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,3)))在区间[0，π)内有5个零点，则ω的取值范围是(　　) A． eq \f(23,12)≤ω< eq \f(29,12) B． eq \f(23,12)<ω≤ eq \f(29,12) C． eq \f(29,12)≤ω< eq \f(35,12) D． eq \f(29,12)<ω≤ eq \f(35,12) 答案　D 解析　g(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,3)))， 当x∈[0，π)时，2ωx－ eq \f(π,3)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，2ωπ－\f(π,3)))， y＝cos x在y轴右方的零点为x＝ eq \f(π,2)， eq \f(3π,2)， eq \f(5π,2)， eq \f(7π,2)， eq \f(9π,2)， eq \f(11π,2)，…， 因为函数g(x)的图象在区间[0，π)内有5个零点， 所以 eq \f(9π,2)<2ωπ－ eq \f(π,3)≤ eq \f(11π,2)，解得 eq \f(29,12)<ω≤ eq \f(35,12). eq \a\vs4\al([思维升华]) 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为 eq \f(T,2)，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值．． 　[即时训练] (2025·广东佛山模拟)已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝ eq \r(3)cos ωx＋sin ωx－1(ω>0)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))有且仅有3个零点，则ω的取值范围为______． 答案　 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，\f(23,4))) 解析　因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝ eq \r(3)cos ωx＋sin ωx－1 ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))－1(ω>0)， 令ωx＋ eq \f(π,3)＝t，则y＝2sin t－1，因为x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以t∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2ω＋1,3)π))， 令y＝0，得sin t＝ eq \f(1,2)，由题意可知函数y＝2sin t－1在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2ω＋1,3)π))上有且仅有3个零点，所以 eq \f(17π,6)< eq \f(2ω＋1,3)π≤ eq \f(25π,6)，所以 eq \f(15,4)<ω≤ eq \f(23,4). $$