第4章 第6节 函数y＝A sin (ωx＋φ)(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四章　三角函数与解三角形 第六节 　函数y＝A sin (ωx＋φ) 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 × × 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 × √ 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （三十一） 点击进入word 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1．简谐运动的有关概念 已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ eq \f(2π,ω) f＝ eq \f(1,T)＝ eq \f(ω,2π) ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x eq \f(0－φ,ω) eq \f(\f(π,2)－φ,ω) eq \f(π－φ,ω) eq \f(\f(3π,2)－φ,ω) eq \f(2π－φ,ω) y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 【常用结论】 　函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　 　) (2)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(　　) (3)把y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象上各点的横坐标缩短为原来的 eq \f(1,2)，所得图象的函数解析式为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12))).(　 　) (4)如果y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为 eq \f(T,2).(　 　) 2．y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，4π， eq \f(π,3)　　　　　B．2， eq \f(1,4π)， eq \f(π,3) C．2， eq \f(1,4π)，－ eq \f(π,3) D．2，4π，－ eq \f(π,3) 答案　C 解析　由题意知A＝2，f＝ eq \f(1,T)＝ eq \f(ω,2π)＝ eq \f(1,4π)， 初相为－ eq \f(π,3). 3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)t－\f(π,6)))，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m. 答案　1 解析　当t＝12时，f(12)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5π－\f(π,6)))＝2sin eq \f(5π,6)＝1，即12点时潮水的高度是1 m. 4．将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 eq \f(π,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________． 答案　sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) 解析　将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象，再向右平移 eq \f(π,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))). 题型一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 [例1]　(1)(2025·湖南岳阳高三质检)已知曲线C1：y＝2sin x，C2：y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，则下列说法错误的是(　　) A．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动 eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向右平行移动 eq \f(5π,6)个单位长度，得到曲线C2 C.把C1向左平行移动 eq \f(π,3)个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) 倍，纵坐标不变，得到曲线C2 D．把C1向左平行移动 eq \f(π,6)个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) 倍，纵坐标不变，得到曲线C2 答案　D 解析　对于A. C1上各点横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)倍，得到y＝2sin 2x，再向左平移 eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝2sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，正确； 对于B. C1上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)倍，得到y＝2sin 2x，再向右平移 eq \f(5π,6)个单位长度，得到y＝2sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,6)))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,3)))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,3)＋2π))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，正确； 对于C. C1向左平移 eq \f(π,3)个单位长度，得到y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，再把各点横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)倍，得到y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，正确； 对于D. C1向左平移 eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，再把各点横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)倍，得到y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，错误．故选D. (2)将函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象向左平移 eq \f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A． eq \f(1,6)　　　　　　　　B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,2) 答案　C 解析　记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ωx＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,3))))).因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以 eq \f(π,2)ω＋ eq \f(π,3)＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得ω＝2k＋ eq \f(1,3)(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin＝ eq \f(1,3). eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移 eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度． (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．　 　[即时训练] (1) (2025·山东德州模拟)为了得到函数g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝cos 2x的图象，可以将函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象(　　) A．向左平移 eq \f(π,3)个单位长度 B．向右平移 eq \f(π,3)个单位长度 C．向左平移 eq \f(π,6)个单位长度 D．向右平移 eq \f(π,6)个单位长度 答案　D 解析　对于A，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋π))＝－cos 2x≠g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，A错误； 对于B，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≠g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，B错误； 对于C，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))≠g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，C错误； 对于D，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝cos 2x＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，D正确．故选D. (2)(2025·陕西西安质检)已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ))的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度后得到函数y＝sin 2x＋ eq \r(3)cos 2x的图象，则φ的可能值为(　　) A．0 B． eq \f(π,6) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,12) 答案　A 解析　y＝sin 2x＋ eq \r(3)cos 2x＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))， 函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ))的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度后得到函数的图象解析式为： f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(πω,6)＋φ))，所以有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ω＝2，,\f(πω,6)＋φ＝2kπ＋\f(π,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))))⇒φ＝2kπ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，显然只有选项A符合．故选A. 题型二　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 [例2]　(1)(多选)(2025·邢台模拟)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则(　　) A．A＝4 B．ω＝2 C．φ＝ eq \f(π,3) D．k＝1 答案　BD 解析　由图象可知，A＝2，k＝ eq \f(3＋(－1),2)＝1，故A错误，D正确； 又由图象可得T＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋\f(π,12)))＝π，∴ eq \f(2π,|ω|)＝π，又ω>0，∴ω＝2，故B正确； ∴f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1，又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝3， ∴2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＋φ))＋1＝3， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ))＝1，又0<φ<π，∴φ＝ eq \f(2π,3)， ∴f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＋1，故C错误． (2)已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝A sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ))＋B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，B>0，ω>0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))<\f(π,2)))在一个周期内的图象如图所示，则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的表达式为______． 答案　f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x＋\f(5,18)π))＋1 解析　根据函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象可得2A＝3－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝4，且3＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝2B， 所以A＝2，B＝1， 因为 eq \f(T,2)＝ eq \f(11,12)π－ eq \f(π,6)＝ eq \f(9,12)π＝ eq \f(3,4)π，可得T＝ eq \f(3,2)π，所以ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(4,3)， 又因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝3，可得2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)×\f(π,6)＋φ))＋1＝3，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)π＋φ))＝1， 所以 eq \f(2,9)π＋φ＝ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可得φ＝ eq \f(5π,18)＋2kπ，k∈Z， 又因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))< eq \f(π,2)，所以φ＝ eq \f(5,18)π，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x＋\f(5π,18)))＋1. eq \a\vs4\al([思维升华]) 确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ eq \f(M－m,2)，b＝ eq \f(M＋m,2). (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝ eq \f(2π,T). (3)求φ.常用方法如下： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 　[即时训练] (1)(多选)(2025·安徽马鞍山质检)已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))<\f(π,2)))的部分图象，则(　　) A．ω＝2 B．φ＝ eq \f(π,3) C．点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))是f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))图象的一个对称中心 D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象向左平移 eq \f(5π,12)个单位后所对应的函数为偶函数 答案　ACD 解析　A选项，由图象可得到函数最小正周期 eq \f(1,2)T＝ eq \f(5π,12)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝ eq \f(π,2)，故T＝π， 因为ω>0，所以 eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，A正确； B选项，将 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，2))代入解析式得2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5π,12)＋φ))＝2， 因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))< eq \f(π,2)，解得φ＝－ eq \f(π,3)，B错误； C选项，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,3)))＝0， 故点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))是f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))图象的一个对称中心，C正确； D选项，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象向左平移 eq \f(5π,12)个单位后得到g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6)－\f(π,3)))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos 2x， 因为g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2cos 2x的定义域为R，且g(－x)＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x))＝2cos 2x＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))， 故g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2cos 2x为偶函数，D正确．故选ACD. (2)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))取得最小值时x的取值集合为________． 答案　 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ－\f(π,3)，k∈Z)) 解析　根据所给图象，可得最小正周期 T＝4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,3)))＝π， 故π＝ eq \f(2π,ω)，所以ω＝2， 因此f(x)＝sin (2x＋φ)，另外函数f(x)的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，0))，代入得2× eq \f(7π,12)＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)， 所以φ＝－ eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)， 再由|φ|< eq \f(π,2)，得φ＝－ eq \f(π,6)， 所以f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))， 当2x＋ eq \f(π,6)＝－ eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)， 即x＝－ eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)时， y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))取得最小值． 此时x的取值集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ－\f(π,3)，k∈Z)). 题型三　三角函数图象、性质的综合应用 [例3]　(1)(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　) A．点P再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D．点P第二次到达距水面(1＋ eq \r(3))米时用时25秒 答案　BCD 解析　由题意，角速度ω＝ eq \f(2π,60)＝ eq \f(π,30)(弧度/秒)， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为 eq \f(π,6)，点P再次进入水中用时为 eq \f(π＋2×\f(π,6),\f(π,30))＝40(秒)，故A错误； 当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50× eq \f(π,30)＝ eq \f(5π,3)(弧度)，而 eq \f(5π,3)－ eq \f(π,6)＝ eq \f(3π,2)，点P正好处于最低点，故B正确； 建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Hmax＝A＋B＝3，,Hmin＝－A＋B＝－1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝2，,B＝1，)) 又角速度ω＝ eq \f(2π,60)＝ eq \f(π,30)(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP0＝ eq \f(π,6)，所以ω＝ eq \f(π,30)，φ＝－ eq \f(π,6)， 所以点P距离水面的高度H＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2米，故C正确； 将H＝1＋ eq \r(3)代入H＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋1中， 得 eq \f(π,30)t－ eq \f(π,6)＝2kπ＋ eq \f(π,3)或 eq \f(π,30)t－ eq \f(π,6)＝2kπ＋ eq \f(2π,3)， 解得t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N). 所以点P第二次到达距水面(1＋ eq \r(3))米时用时25秒，故D正确． (2)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))的最小正周期为T＝ eq \f(2π,3)， 所以在x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2π))上函数y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点．故选C. eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． (3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 　[即时训练] (1)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．如表所示是今年前四个月的统计情况． 月份x 1 2 3 4 收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为______________． 答案　y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6(答案不唯一) 解析　设y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 由题意得A＝1，B＝6，T＝4， 因为T＝ eq \f(2π,ω)，所以ω＝ eq \f(π,2)， 所以y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋φ))＋6. 因为当x＝1时，y＝6， 所以6＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＋6， 结合表中数据得 eq \f(π,2)＋φ＝2kπ，k∈Z， 可取φ＝－ eq \f(π,2)， 所以y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6. (2)已知关于x的方程2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－m＝0在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是__________． 答案　(－2，－1) 解析　方程2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－m＝0可转化为m＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)). 设2x＋ eq \f(π,6)＝t，则t∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))， ∴题目条件可转化为 eq \f(m,2)＝sin t，t∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))有两个不同的实数根． 即直线y＝ eq \f(m,2)和函数y＝sin t，t∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))的图象有两个不同的交点，作出y＝ eq \f(m,2)，y＝sin t，t∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))的图象，如图中实线部分所示． 由图象观察知， eq \f(m,2)的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))， 故m的取值范围是(－2，－1). $$