第4章 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四章　三角函数与解三角形 　第三节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 √ × × × 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （二十八） 点击进入word 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． sinα cosβ＋cosα sinβ 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos (α－β)＝ ；　 (2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝ ；　 (3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝ ；　 (4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝ ；　 cosα cosβ＋sinα sinβ cosα cosβ－sinα sinβ sinα cosβ－cosα sinβ (5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝ eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)； (6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β）). 2．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝ eq \r(a2＋b2)sin (α＋φ)，其中sin φ＝ eq \f(b,\r(a2＋b2))，cos φ＝ eq \f(a,\r(a2＋b2)). 【常用结论】 　两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). (4)tan αtan β＝1－ eq \f(tan α＋tan β,tan (α＋β))＝ eq \f(tan α－tan β,tan (α－β))－1. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在α，β∈R，使得sin (α－β)＝sin α－sin β成立．(　 　) (2)对于任意α，β∈R，sin (α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　　) (3)tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3)))能根据公式tan (α－β)直接展开求值．(　 　) (4)公式a sin x＋b cos x＝ eq \r(a2＋b2)sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　) 2．计算cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°的值为(　　) A． eq \f(1,2)　　　　　　　　B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D．cos 57° 答案　C 解析　cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(43°－13°))＝cos 30°＝ eq \f(\r(3),2)，故选C. 3．若cos α＝－ eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))) 等于(　　) A． eq \f(7\r(2),10) B．－ eq \f(7\r(2),10) C．－ eq \f(\r(2),10) D． eq \f(\r(2),10) 答案　B 解析　∵α是第三象限角，∴sin α<0， ∴sin α＝－ eq \r(1－cos2α)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝－ eq \f(3,5)， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sin αcos eq \f(π,4)＋cos αsin eq \f(π,4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))× eq \f(\r(2),2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))× eq \f(\r(2),2)＝－ eq \f(7\r(2),10). 4．若将sin x－ eq \r(3)cos x写成2sin (x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝________． 答案　 eq \f(π,3) 解析　因为sin x－ eq \r(3)cos x ＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin x－\f(\r(3),2)cos x))， 所以cos φ＝ eq \f(1,2)，sin φ＝ eq \f(\r(3),2)， 因为0≤φ<π，所以φ＝ eq \f(π,3). 题型一　两角和与差的三角函数公式 [例1]　(1)(2025·海南质检)已知0<α< eq \f(π,2)<β<π，cos α＝ eq \f(3,5)，sin β＝ eq \f(12,13)，则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝(　　) A．－ eq \f(63,65)　　　　　　B．－ eq \f(33,65) C． eq \f(33,65) D． eq \f(63,65) 答案　A 解析　因为0<α< eq \f(π,2)<β<π，cos α＝ eq \f(3,5)，sin β＝ eq \f(12,13)， 所以sin α＝ eq \r(1－cos α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝ eq \f(4,5)，cos β＝－ eq \r(1－sin 2β)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－ eq \f(5,13)， 则cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ eq \f(3,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))－ eq \f(4,5)× eq \f(12,13)＝－ eq \f(63,65).故选A. (2)(2025·长沙模拟)已知tan α＋tan β＝3，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝2sin αsin β，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝(　　) A．4 B．6 C．－ eq \f(3,2) D．－6 答案　D 解析　由sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝2sin αsin β得sin αcos β＋cos αsin β＝2sin αsin β⇒ eq \f(sin αcos β＋cos αsin β,sin αsin β)＝2⇒ eq \f(1,tan α)＋ eq \f(1,tan β)＝2，进而可得 eq \f(tan α＋tan β,tan αtan β)＝2⇒tan αtan β＝ eq \f(3,2)，所以tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝ eq \f(3,1－\f(3,2))＝－6.故选D. eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．　 　[即时训练] (1)(2025·榆林模拟)已知tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝9，则tan α等于(　　) A． eq \f(4,5) B．－ eq \f(4,5) C． eq \f(3,4) D．－ eq \f(3,4) 答案　A 解析　由tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝ eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝9， 解得tan α＝ eq \f(4,5). (2)(2025·江西抚州模拟)已知锐角α，β满足sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cos β＝ eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于(　　) A． eq \f(3π,4) B． eq \f(π,4)或 eq \f(3π,4) C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,2) 答案　C 解析　因为α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))满足sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cos β＝ eq \f(3\r(10),10)， 所以cos α＝ eq \r(1－sin 2α)＝ eq \f(2\r(5),5)，sin β＝ eq \r(1－cos 2β)＝ eq \f(\r(10),10). 由此可得cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2). 又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝ eq \f(π,4).故选C. 题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 [例2]　(1)(2025·新乡模拟)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝______． 答案　 eq \f(\r(2),2) 解析　 由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1， 可得 eq \f(tan A＋tan B,1－tan A tan B)＝－1，即tan (A＋B)＝－1， 又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝ eq \f(3π,4)， 则C＝ eq \f(π,4)，cos C＝ eq \f(\r(2),2). (2)已知函数f(x)＝sin x－3cos x，不等式f(x)≤a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案　[ eq \r(10)，＋∞) 解析　f(x)＝sin x－3cos x＝ eq \r(10)sin (x－φ)(其中tan φ＝3)， eq \r(10)sin (x－φ)∈[－ eq \r(10)， eq \r(10)]， 所以f(x)∈[－ eq \r(10)， eq \r(10)]， 故a≥ eq \r(10). eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． (2)对a sin x＋b cos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚． [即时训练] (1) eq \f(1,sin 10°)－ eq \f(\r(3),sin 80°)＝________． 答案　4 解析　原式＝ eq \f(cos 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cos 10°) ＝ eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cos 10°) ＝ eq \f(4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°),2sin 10°cos 10°) ＝ eq \f(4sin (30°－10°),sin 20°)＝4. (2)化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________． 答案　1 解析　原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋ eq \r(3)tan (20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1. 题型三　角的变换问题 [例3]　(1)cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝ eq \f(3,5)，则cos β＝ (　　) A． eq \f(4,5) B． eq \f(3,5) C．－ eq \f(4,5) D．－ eq \f(3,5) 答案　B 解析　因为cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝ eq \f(3,5)， 所以cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－β))－α))＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－β))＝cos β＝ eq \f(3,5). 故选B. (2)(2025·潍坊质检)已知cos θ＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝ eq \f(\r(3),3)，θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sin θ＝__________． 答案　 eq \f(2\r(6)－1,6) 解析　因为cos θ＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝ eq \f(\r(3),3)， 即cos θ＋cos θcos eq \f(π,3)－sin θsin eq \f(π,3)＝ eq \f(\r(3),3)， 所以 eq \f(3,2)cos θ－ eq \f(\r(3),2)sin θ＝ eq \f(\r(3),3)， 所以 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos θ－\f(1,2)sin θ))＝ eq \f(\r(3),3)， 即cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝ eq \f(1,3)， 因为θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＋ eq \f(π,6)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))， 所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝ eq \r(1－cos 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6))))＝ eq \f(2\r(2),3)， 所以sin θ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))cos eq \f(π,6)－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＝ eq \f(2\r(2),3)× eq \f(\r(3),2)－ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(2\r(6)－1,6). eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝ eq \f(α＋β,2)＋ eq \f(α－β,2)， eq \f(π,3)＋α＝ eq \f(π,2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝ eq \f(π,2)等．　 　[即时训练] (1)(2025·江苏南京模拟)已知角α，β满足tan α＝－2，tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝1，则tan β＝(　　) A．－ eq \f(1,3) B．1 C．－3 D．3 答案　C 解析　tan β＝tan eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))－α))＝ eq \f(tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))－tan α,1＋tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))tan α)＝ eq \f(1＋2,1－2)＝－3.故选C. (2)已知α为锐角，且cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(5,13)，则cos α的值为________． 答案　 eq \f(5\r(3)＋12,26) 解析　∵0<α< eq \f(π,2)， ∴ eq \f(π,6)<α＋ eq \f(π,6)< eq \f(2π,3)， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(12,13)， ∴cos α＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))cos eq \f(π,6)＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＝ eq \f(5,13)× eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(12,13)× eq \f(1,2)＝ eq \f(5\r(3)＋12,26). $$