第4章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四章　三角函数与解三角形 第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 端点 正角 负角 零角 象限角 －α 相同 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 半径长 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 × √ × × 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （二十六） 点击进入word 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形． (2)分类 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为 、 、 Ｗ．,按终边位置不同分为 和轴线角．)) (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转 的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为 ． (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝ eq \f(l,r)(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ eq \f(π,180) rad；1 rad＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))° 弧长公式 弧长l＝ 扇形面积公式 S＝ eq \f(1,2)lr＝ eq \f(1,2)|α|r2 |α|r 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α， eq \f(y,x)＝tan α(x≠0). (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝ eq \f(y,r)，cos α＝ eq \f(x,r)，tan α＝ eq \f(y,x)(x≠0). 【常用结论】 1．象限角 2．轴线角 3．若角α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sin α<α<tan α. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　 　) (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(　 　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.(　 　) (4)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．(　 　) 2．下列各角中，与2183°角终边相同的是(　　) A．－23°　　　　　B．23° C．－47° D．47° 答案　B 解析　对于B，因为2183°－23°＝6×360°，所以角2183°与角23°的终边相同，B正确； 对于A，因为2183°－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－23°))＝2206°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同，A错误； 对于C，因为2183°－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－47°))＝2230°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同，C错误； 对于D，因为2183°－47°＝2136°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同，D错误．故选B. 3．已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ等于(　　) A． eq \f(17,13) B．－ eq \f(17,13) C． eq \f(7,13) D．－ eq \f(7,13) 答案　D 解析　∵|OP|＝ eq \r((－12)2＋52)＝13， ∴sin θ＝ eq \f(5,13)，cos θ＝－ eq \f(12,13)，∴sin θ＋cos θ＝－ eq \f(7,13). 4．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________. 答案　－100°　－1200° 解析　因为时针每小时转30°，分针每小时转360°， 又因为时针、分针都按顺时针方向旋转， 故时针转过的角度数为－3 eq \f(1,3)×30°＝－100°， 分针转过的角度数为－3 eq \f(1,3)×360°＝－1200°. 题型一　角及其表示 [例1]　(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B． eq \f(α,2)是第三象限角 C． eq \f(3π,2)＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 答案　D 解析　因为α是第二象限角，所以 eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.对于A，可得－π－2kπ<－α<－ eq \f(π,2)－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得 eq \f(π,4)＋kπ< eq \f(α,2)< eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，当k为偶数时， eq \f(α,2)的终边在第一象限；当k为奇数时， eq \f(α,2)的终边在第三象限，所以 eq \f(α,2)是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ< eq \f(3π,2)＋α< eq \f(5π,2)＋2kπ，k∈Z， 即2(k＋1)π< eq \f(3π,2)＋α< eq \f(π,2)＋2(k＋1)π，k∈Z，所以 eq \f(3π,2)＋α的终边在第一象限，所以 eq \f(3π,2)＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确． eq \a\vs4\al([微拓展]) eq \f(θ,2)终边所在位置 若θ分别为第一、二、三、四象限角，则 eq \f(θ,2)的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示． 典例　(1)已知角α是第二象限角，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos \f(α,2)))＝－cos eq \f(α,2)，则角 eq \f(α,2)是(　　) A．第一象限角　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　C 解析　因为角α是第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360° eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))， 所以45°＋k·180°< eq \f(α,2)<90°＋k·180° eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))， 当k是偶数时，设k＝2n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈Z))，则45°＋n·360°< eq \f(α,2)<90°＋n·360° eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈Z))， 此时 eq \f(α,2)为第一象限角； 当k是奇数时，设k＝2n＋1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈Z))，则225°＋n·360°< eq \f(α,2)<270°＋n·360 < eq \f(α,2)<270°＋n·360° eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈Z))， 此时 eq \f(α,2)为第三象限角． 综上所述： eq \f(α,2)为第一象限角或第三象限角， 因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos \f(α,2)))＝－cos eq \f(α,2)，所以cos eq \f(α,2)≤0，所以 eq \f(α,2)为第三象限角．故选C. (2)(多选)(2025·江西宜春质检)如果α是第三象限的角，那么 eq \f(α,3)可能是下列哪个象限的角(　　) A．第一象限　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　ACD 解析　α是第三象限的角，则α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π，2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z， 所以 eq \f(α,3)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)kπ＋\f(π,3)，\f(2,3)kπ＋\f(π,2)))，k∈Z； 当k＝3n，n∈Z， eq \f(α,3)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(π,3)，2nπ＋\f(π,2)))，n∈Z，在第一象限； 当k＝3n＋1，n∈Z， eq \f(α,3)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋π，2nπ＋\f(7π,6)))，n∈Z，在第三象限； 当k＝3n＋2，n∈Z， eq \f(α,3)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(5π,3)，2nπ＋\f(11π,6)))，n∈Z，在第四象限； 所以 eq \f(α,3)可以是第一、第三或第四象限角．故选ACD. eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． (2)确定kα， eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或 eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或 eq \f(α,k)的终边所在的位置．　 　[即时训练] (1)(2025·临沂模拟)若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α　　　　　　B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 答案　C 解析　若α是第一象限角，则90°－α的终边在第一象限，90°＋α的终边在第二象限，360°－α的终边在第四象限，180°＋α的终边在第三象限，故C是第四象限角． (2)－2 025°角是第________象限角，与－2 025°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________． 答案　二　135°　－225° 解析　因为－2 025°＝－6×360°＋135°， 所以－2 025°角的终边与135°角的终边相同． 所以－2 025°角是第二象限角，与－2 025°角终边相同的最小正角是135°. 又135°－360°＝－225°， 故与－2 025°角终边相同的最大负角是－225°. 题型二　弧度制及其应用 [例2]　(1)已知一扇形的圆心角α＝ eq \f(π,3)，半径R＝10 cm，则此扇形的弧长为________ cm，面积为________ cm2. 答案　 eq \f(10π,3)　 eq \f(50π,3) 解析　由已知得α＝ eq \f(π,3)，R＝10 cm， 所以l＝αR＝ eq \f(π,3)×10＝ eq \f(10π,3)(cm)， S扇形＝ eq \f(1,2)αR2＝ eq \f(1,2)× eq \f(π,3)×102＝ eq \f(50π,3)(cm2). (2)(2025·上海松江质检)建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知AD＝1 m， eq \o(AB,\s\up8(︵))＝ eq \f(π,3) m， eq \o(CD,\s\up8(︵))＝ eq \f(2π,3)m，则此扇环形砖雕的面积为________m2. 答案　 eq \f(π,2) 解析　设圆心角为α，则α＝ eq \f(\o(CD,\s\up8(︵)),OD)＝ eq \f(\o(AB,\s\up8(︵)),OA)， 所以 eq \f(\f(2π,3),OA＋1)＝ eq \f(\f(π,3),OA)，解得OA＝1 m，所以OD＝2 m， 所以此扇环形砖雕的面积为 eq \f(1,2)· eq \o(CD,\s\up8(︵))·OD－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up8(︵))·OA＝ eq \f(1,2)× eq \f(2π,3)×2－ eq \f(1,2)× eq \f(π,3)×1＝ eq \f(π,2) m2. eq \a\vs4\al([思维升华]) 应用弧度制解决问题时应注意 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．　 [即时训练] (1)(多选)(2025·广安模拟)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 答案　ABC 解析　设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝4))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1，)) 可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4；当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1. (2)(2025·江苏苏州质检)已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(3,2) D．2 答案　D 解析　设扇形的半径为r，弧长为l，由已知得2r＋l＝8， 扇形面积为S＝ eq \f(1,2)lr＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－2r))r＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－r))r≤ eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－r))＋r))2,4)＝4， 当且仅当4－r＝r，即r＝2时等号成立，此时l＝4，则圆心角α＝ eq \f(l,r)＝2，故选D. 题型三　三角函数的概念 [例3]　(1)已知角θ的终边经过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则cos θ等于(　　) A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),2) C．－ eq \r(3) D． eq \f(\r(3),3) 答案　B 解析　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＝1，故P在单位圆上，根据三角函数值的定义，P的横坐标的值即为cos θ，故cos θ＝ eq \f(\r(3),2).故选B. (2)(多选)(2025·南昌模拟)已知角α的终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值可能为(　　) A． eq \f(3,5) B．－ eq \f(3,5) C． eq \f(2,5) D．－ eq \f(2,5) 答案　CD 解析　已知角α的终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)， 所以sin α＝ eq \f(3m,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4m))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3m))2))＝ eq \f(3m,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5m)))，cos α＝ eq \f(－4m,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4m))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3m))2))＝ eq \f(－4m,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5m))). 则当m>0时，sin α＝ eq \f(3,5)，cos α＝－ eq \f(4,5)，此时2sin α＋cos α＝2× eq \f(3,5)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝ eq \f(2,5)； 当m<0时，sin α＝－ eq \f(3,5)，cos α＝ eq \f(4,5)，此时2sin α＋cos α＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＋ eq \f(4,5)＝－ eq \f(2,5). 所以2sin α＋cos α的值可能为 eq \f(2,5)或－ eq \f(2,5).故选CD. 　 eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． [即时训练] (1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－ eq \f(4,5)，则m的值为(　　) A．－ eq \f(1,2) B．－ eq \f(\r(3),2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2) 答案　C 解析　由题意得点P(－8m，－3)，r＝ eq \r(64m2＋9)， 所以cos α＝ eq \f(－8m,\r(64m2＋9))＝－ eq \f(4,5)， 所以m>0，解得m＝ eq \f(1,2). (2)(2025·贵州毕节质检)若 eq \f(sin α,tan α)>0， eq \f(tan α,cos α)<0，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　D 解析　由 eq \f(sin α,tan α)＝cos α>0， eq \f(tan α,cos α)＝ eq \f(sin α,cos 2α)<0，得cos α>0，sin α<0，所以α是第四象限角．故选D. $$