第4章 必刷小题8 解三角形(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第四章　三角函数与解三角形 　必刷小题8　解三角形 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 返回目录 一、单项选择题 1．在△ABC中，sin A＝ eq \f(2\r(5),5)，AC＝ eq \r(5)，B＝45°，则BC等于(　　) A．2 eq \r(5)　　　　　　　B． eq \r(2) C．2 eq \r(3) D．2 eq \r(2) 答案　D 解析　由正弦定理知， eq \f(BC,sin A)＝ eq \f(AC,sin B)， ∴BC＝ eq \f(AC·sin A,sin B)＝ eq \f(\r(5)×\f(2\r(5),5),\f(\r(2),2))＝2 eq \r(2). 2．在△ABC中，若a＝b cos C，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 答案　C 解析　由余弦定理得cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)， 将其代入a＝b cos C， 得a＝b· eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(a2＋b2－c2,2a)， ∴2a2＝a2＋b2－c2， ∴a2＋c2＝b2，即△ABC为直角三角形． 3．(2025·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cosC＝ eq \f(1,4)，则 eq \f(c,a)等于(　　) A． eq \f(\r(11),4) B． eq \f(\r(10),4) C． eq \f(\r(11),3) D． eq \f(\r(10),3) 答案　D 解析　∵9sin2B＝4sin2A， ∴9b2＝4a2，即b＝ eq \f(2a,3)， ∵cosC＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(a2＋\f(4a2,9)－c2,\f(4a2,3))＝ eq \f(1,4)， ∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(10,9)， 则 eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(10),3). 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a sin A＋b(sin B＋ eq \r(3)sin A)＝c sin C，则C等于(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6) 答案　D 解析　因为a sin A＋b(sin B＋ eq \r(3)sin A)＝c sin C， 所以由正弦定理得a2＋b(b＋ eq \r(3)a)＝c2， 化简得a2＋b2－c2＝－ eq \r(3)ab， 所以由余弦定理得cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(－\r(3)ab,2ab)＝－ eq \f(\r(3),2)， 因为C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(5π,6). 5．(2025·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝1， eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝ eq \f(2\r(3),3)，则△ABC的面积为(　　) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(3),4) C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,4) 答案　B 解析　在△ABC中，由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)， 所以 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝ eq \f(2\r(3),3)， 则a＝ eq \f(2\r(3),3)sin A＝ eq \f(2\r(3),3)sin 60°＝ eq \f(2\r(3),3)× eq \f(\r(3),2)＝1， 又b＝1，A＝60°， 所以△ABC是正三角形，所以△ABC的面积S△ABC＝ eq \f(1,2)ab sin 60°＝ eq \f(\r(3),4). 6．(2025·达州模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 eq \r(2) m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB等于(　　) A．30 eq \r(2) m B．20 eq \r(3) m C．30 m D．20 m 答案　D 解析　在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 eq \r(2) m， 由正弦定理 eq \f(CD,sin ∠CBD)＝ eq \f(CB,sin ∠CDB)， 可得 eq \f(10\r(2),sin 30°)＝ eq \f(CB,sin (180°－15°－30°))， 可得CB＝20 eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＝20(m)， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， 所以塔高AB＝BC＝20 m. 7．(2025·东莞模拟)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是(　　) A．－ eq \f(17,25) B．－ eq \f(4\r(21),25) C．－ eq \f(3,5) D．－ eq \f(8,25) 答案　A 解析　依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)， 因为B为AD′的中点， 所以AB＝AC＝ eq \f(1,2)AD′＝20(cm)， 当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)， 所以BD＝20(cm)， 在△ABD中，cos ∠BAD＝ eq \f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝ eq \f(400＋256－400,2×20×16)＝ eq \f(2,5)， 所以cos ∠BAC＝cos 2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2× eq \f(4,25)－1＝－ eq \f(17,25). 8．(2025·郑州模拟)在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，1)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),2))) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\r(3))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\r(3))) 答案　D 解析　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则AB边上的高h＝a sinB＝ eq \f(\r(3),2)a， 由正弦定理得a＝ eq \f(c sin A,sin C)＝ eq \f(sin (120°－C),sin C)＝ eq \f(\f(\r(3),2)cos C＋\f(1,2)sin C,sin C)＝ eq \f(\r(3),2tan C)＋ eq \f(1,2). 由△ABC为锐角三角形，可知30°<C<90°， 则tan C> eq \f(\r(3),3)， 所以a＝ eq \f(\r(3),2tan C)＋ eq \f(1,2)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))， 从而h∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\r(3)))， 因此AB边上的高的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\r(3))). 二、多项选择题 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＝(3b－c)sin B，且cos A＝ eq \f(1,3)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋c＝3b B．tan A＝2 eq \r(2) C．△ABC的周长为4c D．a＝c 答案　ABD 解析　由已知及正弦定理得ba＝(3b－c)b， 整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，故A正确； 由cos A＝ eq \f(1,3)可得sin A＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝ eq \f(2\r(2),3)， 则tan A＝ eq \f(sin A,cos A)＝2 eq \r(2)，故B正确； 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc· eq \f(1,3)， 整理得3b＝2c，则△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝ eq \f(8,3)c，故C错误； 由以上可知，a＝3b－c，3b＝2c，可得a＝c，故D正确． 10．(2025·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列命题正确的是(　　) A．若a＝3 eq \r(3)，b＝3，B＝30°，则A＝60° B．若A>B，则sin A>sin B C．若 eq \f(c,b)<cos A，则△ABC为钝角三角形 D．若a＝ eq \r(2)，b＝3，c2＋ab＝a2＋b2，则△ABC的面积为3 答案　BC 解析　对于A，由于a＝3 eq \r(3)，b＝3，B＝30°， 利用正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)， 解得sin A＝ eq \f(\r(3),2)， 由于0°<A<150°，所以A＝60°或120°，故A错误； 对于B，当A>B时，a>b， 根据正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)， 可得sin A>sin B，故B正确； 对于C，若 eq \f(c,b)<cos A， 则c<b cos A，故2c2<2bc cos A， 结合余弦定理cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，得a2＋c2<b2， 故△ABC为钝角三角形，故C正确； 对于D，若a＝ eq \r(2)，b＝3，且c2＋ab＝a2＋b2， 利用余弦定理可得ab＝2ab cos C， 解得cos C＝ eq \f(1,2)， 因为0°<C<180°，所以C＝60°， 所以S△ABC＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)× eq \r(2)×3× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3\r(6),4)，故D错误． 11．(2025·宁波模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 eq \r(3)c cos A＋a sin C＝0，若角A的平分线交BC于点D，且AD＝1，则下列结论正确的是(　　) A．A＝ eq \f(2π,3) B．A＝ eq \f(π,3) C．b＋c的最小值为2 D．b＋c的最小值为4 答案　AD 解析　由 eq \r(3)c cos A＋a sin C＝0及正弦定理， 得 eq \r(3)sin C cos A＋sin A sin C＝0， 因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以 eq \r(3)cos A＋sin A＝0，即tan A＝－ eq \r(3)， 因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(2π,3)，故A正确，B错误； S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 所以 eq \f(1,2)bc·sin eq \f(2π,3)＝ eq \f(1,2)c·1·sin eq \f(π,3)＋ eq \f(1,2)b·1·sin eq \f(π,3)， 所以bc＝b＋c，即 eq \f(1,b)＋ eq \f(1,c)＝1， 所以b＋c＝(b＋c) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(1,c)))＝2＋ eq \f(b,c)＋ eq \f(c,b)≥ 2＋2 eq \r(\f(b,c)·\f(c,b))＝4， 当且仅当b＝c＝2时，等号成立， 所以b＋c的最小值为4，故C错误，D正确． 三、填空题 12．(2025·新乡模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝6，B＝30°，a2＋c2＝3 eq \r(3)ac，则△ABC的面积为________． 答案　 eq \f(3\r(3),2) 解析　因为b＝6，B＝30°， 所以62＝a2＋c2－2ac cos 30°＝a2＋c2－ eq \r(3)ac， 因为a2＋c2＝3 eq \r(3)ac， 所以3 eq \r(3)ac－ eq \r(3)ac＝36，得ac＝6 eq \r(3)，故S△ABC＝ eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(3\r(3),2). 13．如图所示，点A是等边△BCD外一点，且∠BAD＝ eq \f(2π,3)，AD＝2，BD＝2 eq \r(3)，则△ABC的周长为________． 答案　6＋2 eq \r(3) 解析　在△ABD中，由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos eq \f(2π,3)， 整理可得AB2＋2AB－8＝0， 解得AB＝2(负值舍去)， 即AB＝AD，∴∠ABD＝ eq \f(π,6)， 又△BCD是等边三角形，∴∠ABC＝ eq \f(π,2)， 又BC＝BD＝2 eq \r(3)，由勾股定理可得AC＝4， ∴△ABC的周长为6＋2 eq \r(3). 14．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ eq \r(6)，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________． 答案　2 解析　如图所示， 记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 法一：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6， 因为b>0，解得b＝1＋ eq \r(3)， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， eq \f(1,2)×2×b×sin 60°＝ eq \f(1,2)×2×AD×sin 30°＋ eq \f(1,2)×AD×b×sin 30°， 解得AD＝ eq \f(\r(3)b,1＋\f(b,2))＝ eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(3))),3＋\r(3))＝2. 法二：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋ eq \r(3)， 由正弦定理可得， eq \f(\r(6),sin 60°)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(2,sin C)，解得sin B＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，sin C＝ eq \f(\r(2),2)， 因为1＋ eq \r(3)> eq \r(6)> eq \r(2)，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°， 又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2. $$