第3章 第5节 指对同构问题(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三章　一元函数的导数及其应用 　第五节　指对同构问题 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （二十四） 点击进入word 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 [重点解读]　把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题． 题型一　同构法的理解 [例1]　若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是(　　) A．a＞ln b　　 　　　B．a＜ln b C．ln a＞b　 D．ln a＜b 答案　A 解析　法一：由ea＋a>b＋ln b， 可得ea＋a>eln b＋ln b， 令f(x)＝ex＋x，则f(a)＞f(ln b)， 因为f(x)在R上是增函数，所以a＞ln b. 法二：由ea＋a>b＋ln b， 可得ea＋ln ea>b＋ln b， 令g(x)＝x＋ln x，则g(ea)>g(b)， 因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以ea>b，即a＞ln b. eq \a\vs4\al([思维升华]) 利用恒等式x＝ln ex和x＝elnx，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究． 　[即时训练] 已知不等式ax＋eax＞ln (bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是(　　) A．f(x)＝ln x＋x　 B．f(x)＝x ln x C．f(x)＝xex　 D．f(x)＝ eq \f(x,ex) 答案　A 解析　由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax， 所以ax＋eax＞ln (bx)＋bx可变形为 ln eax＋eax＞ln (bx)＋bx， 构造函数f(x)＝ln x＋x， 可得f(eax)＞f(bx). 题型二　同构法的应用 命题点1　a ln a与xex同构 [例2]　设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为________． 答案　 eq \f(1,e) 解析　由kekx≥ln x得kxekx≥x ln x， 即kxekx≥eln x·ln x， 令f(x)＝xex，则f(kx)≥f(ln x). 因为f′(x)＝(x＋1)ex， 所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增， 因为kx>0，ln x>0，所以kx≥ln x， 即k≥ eq \f(ln x,x)， 令h(x)＝ eq \f(ln x,x)(x＞1)，则h′(x)＝ eq \f(1－ln x,x2)， 当x∈(1，e)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 所以h(x)max＝h(e)＝ eq \f(1,e)，即k≥ eq \f(1,e)，所以k的最小值为 eq \f(1,e). 命题点2　beb与x ln x同构 [例3]　(2025·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<b ln b，则(　　) A．ab>e　 B．b>ea　 C．ab<e　 D．b<ea 答案　B 解析　由aea<b ln b，得ea ln ea<b ln b. 设f(x)＝x ln x(x>0)， 因为a>0，所以ea>1， 因为b>0，且b ln b>aea>0，所以b>1. 当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ea ln ea<b ln b，即f(ea)<f(b)，所以ea<b. 命题点3　d＋ln d与x＋ex同构 [例4]　对于任意的x>0，ex≥(a－1)x＋ln (ax)恒成立，则a的最大值是________． 答案　e 解析　由ex≥(a－1)x＋ln (ax)， 可得ex＋x≥ax＋ln (ax)， 即ex＋x≥eln (ax)＋ln (ax). 令f(x)＝ex＋x，则f(x)≥f(ln (ax)). 因为f(x)在R上是增函数， 所以x≥ln (ax)，即a≤ eq \f(ex,x). 令h(x)＝ eq \f(ex,x)(x＞0)，则h′(x)＝ eq \f((x－1)ex,x2)， 当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)min＝h(1)＝e，即a≤e， 所以a的最大值是e. eq \a\vs4\al([思维升华]) 常见的同构函数有：①f(x)＝ eq \f(ln x,x)；②f(x)＝x ln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝ eq \f(x,ex). 其中①④可以借助 eq \f(ln x,x)＝ eq \f(ln x,eln x)＝ eq \f(t,et)，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝t ln t进行指对互化． 　[即时训练] (1)(2025·武汉模拟)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－a ln x成立，则a的最小值为________． 答案　 e 解析　∵xa＝eln xa ＝ealn x，∴不等式即为ex－x≤ealn x－a ln x， ∵a>0且x>1，∴a ln x>0， 设y＝ex－x，x∈(0，＋∞)，则y′＝ex－1>0， 故y＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增， ∴x≤a ln x，即a≥ eq \f(x,ln x)， 即存在x∈(1，＋∞)，使a≥ eq \f(x,ln x)， ∴a≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ln x))) eq \s\do7(min). 设f(x)＝ eq \f(x,ln x)(x>1)， 则f′(x)＝ eq \f(ln x－1,ln2x)，当x∈(1，e)时，f′(x)<0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e. 故a的最小值为e. (2)若对任意x∈[e，＋∞)，满足2x3ln x－me eq \s\up6(\f(m,x)) ≥0恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案　(－∞，2e] 解析　由2x3ln x－me eq \s\up6(\f(m,x)) ≥0， 得2x3ln x≥me eq \s\up6(\f(m,x))，即2x2ln x≥ eq \f(m,x)e eq \s\up6(\f(m,x))， 即x2ln x2≥ eq \f(m,x)e eq \s\up6(\f(m,x))，即ln x2·eln x2≥ eq \f(m,x)e eq \s\up6(\f(m,x))，　 令f(x)＝xex，则f(ln x2)≥f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)))恒成立， 利用函数f(x)＝xex的单调性可知ln x2≥ eq \f(m,x)恒成立，即m≤2x ln x(x≥e)，所以m≤2e. $$