第3章 第2节 导数与函数的单调性(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三章　一元函数的导数及其应用 　第二节　导数与函数的单调性 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 单调递增 单调递减 常数函数 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 定义域 零点 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 √ √ × 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 √ 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （二十一） 点击进入word 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用． 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x) 在区间(a，b) 上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的 ； 第2步，求出导数f′(x)的 ； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 【常用结论】 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　 　) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　 　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　 　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　√　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　 　) 2．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A.函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(1，3)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(3，4)上是增函数 答案　A 解析　对于选项A：当－3<x<0 时，f′(x)<0，则f(x)在(－3，0)上单调递减，故A正确； 对于选项B：当1<x<2 时，f′(x)>0；当2<x<4 时，f′(x)<0; 则f(x)在(1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故B错误； 对于选项C：当0<x<2 时，f′(x)>0，则f(x)在(0，2)上单调递增，故C错误； 对于选项D：当3<x<4 时，f′(x)<0，则f(x)在(3，4)上单调递减，故D错误．故选A. 3．已知函数f(x)＝ex＋ax 在区间[0，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为__________． 答案　[－1，＋∞) 解析　因为f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以当x∈[0，＋∞)时，f′(x)＝ex＋a≥0 恒成立， 即a≥－ex 在[0，＋∞)恒成立， 又(－ex)max＝－1，所以a≥－1. 4．已知函数y＝ln x＋ eq \f(a,x) 在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案　a≤2 解析　由y＝ln x＋ eq \f(a,x) 得y′＝ eq \f(1,x)－ eq \f(a,x2)， 由于函数y＝ln x＋ eq \f(a,x) 在[2，＋∞)上单调递增，故y′＝ eq \f(1,x)－ eq \f(a,x2)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立， 因此在a≤x对任意的x∈[2，＋∞)恒成立，所以a≤2. 题型一　不含参函数的单调性 [例1]　(1)(2025·湖北联考)函数f(x)＝ eq \f(1,2)x2－ln x 的单调递减区间为(　　) A．(－1，1)　　　　　　B．(0，1)　 C．(1，＋∞)　 D．(0，＋∞) 答案　B 解析　因为f(x)＝ eq \f(1,2)x2－ln x， 所以f′(x)＝x－ eq \f(1,x)＝ eq \f((x－1)(x＋1),x)， 令f′(x)<0，得0<x<1， 所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，故选B. (2)若函数f(x)＝ eq \f(ln x＋1,ex)，则函数f(x)的单调递增区间为________． 答案　(0，1) 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ eq \f(\f(1,x)－ln x－1,ex)， 令φ(x)＝ eq \f(1,x)－ln x－1(x>0)， φ′(x)＝－ eq \f(1,x2)－ eq \f(1,x)<0， φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0， ∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1). 　 eq \a\vs4\al([思维升华])确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．　 　[即时训练] (2025·河北沧州质检)函数f(x)＝2x－5ln x－4的单调递减区间是(　　) A．(0，3)　 B．(3，＋∞) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2)))　 D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2))) 答案　D 解析　f′(x)＝2－ eq \f(5,x)，定义域为(0，＋∞)，令f′(x)<0，解得0<x< eq \f(5,2)，所以f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2))) 上单调递减．故选D. [例2]　(2025·天津模拟)已知函数f(x)＝a ln x＋ eq \f(3,2)x2－(a＋3)x，a∈R. (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的斜率为4，求a的值； (2)当a>0时，求f(x)的单调区间． 解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝a ln x＋ eq \f(3,2)x2－(a＋3)x， 得f′(x)＝ eq \f(a,x)＋3x－(a＋3)， 所以f′(2)＝－ eq \f(a,2)＋3＝4，所以a＝－2. (2)由(1)得f′(x)＝ eq \f((3x－a)(x－1),x)，x∈(0，＋∞)， ①当0<a<3时，令f′(x)>0， 解得0<x< eq \f(a,3)或x>1， 令f′(x)<0，解得 eq \f(a,3)<x<1. 所以函数f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))和(1，＋∞)，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，1))； ②当a＝3时，f′(x)≥0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ③当a>3时，令f′(x)>0，解得0<x<1或x> eq \f(a,3)， 令f′(x)<0，解得1<x< eq \f(a,3)， 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(a,3))).综上，当0<a<3时，f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))和(1，＋∞)，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，1))； 当a＝3时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a>3时，f(x)的单调递增区间为(0，1)和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(a,3))). 　 eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．　 　[即时训练] (2025·郑州模拟)已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性． 解　由函数f(x)＝a ln x－ax－3 的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ eq \f(a(1－x),x)， 令f′(x)＝0，解得x＝1， 若a>0，当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． 若a>0，当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增． 若a＝0，此时函数f(x)＝－3为常数函数，无单调性． 题型三　函数单调性的应用 命题点1　比较大小或解不等式 [例3]　已知函数f(x)＝3x＋2cos x．若a＝f(3 eq \r(2))，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　 B．c<b<a C．b<a<c　 D．b<c<a 答案　D 解析　由题意，得f′(x)＝3－2sin x. 因为－1≤sin x≤1，所以f′(x)>0恒成立， 所以函数f(x)是增函数． 因为log24<log27<log28，所以2<log27<3， 所以2<log27<3 eq \r(2)， 所以f(2)<f(log27)<f(3 eq \r(2))，即b<c<a. 　 eq \a\vs4\al([思维升华]) 常见组合函数的图象 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果． 　 eq \a\vs4\al([微拓展]) 典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有 eq \f(x1f(x1)－x2f(x2),x1－x2)>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　) A．f(x)＝ex　　　　B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x　 D．f(x)＝sin x 答案　ACD 解析　依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数． 对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)＝x ln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0， 当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))时，g′(x)<0， ∴g(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上单调递减， 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)＝x sin x，g′(x)＝sin x＋x cos x， 当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))时，g′(x)<0， ∴g(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上单调递减， 故D中函数不是“F函数”． 命题点2　根据函数的单调性求参数 [例4]　(2025·海口模拟)若函数f(x)＝ex－4e－x－ax 在区间[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 答案　(－∞，4] 解析　由题设f′(x)＝ex＋4e－x－a≥0 在[0，＋∞)上恒成立． 设t＝ex≥1，即a≤t＋ eq \f(4,t) 在t∈[1，＋∞)上恒成立， 又t＋ eq \f(4,t)≥2 eq \r(t·\f(4,t))＝4，当且仅当t＝2 时等号成立， 所以a≤4，即实数a 的取值范围为(－∞，4]. eq \a\vs4\al([思维升华]) 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立． (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集．　 　[即时训练] (1)(2025·红河模拟)已知函数f(x)＝x3＋2x－1＋(sin x－cos x)2，则不等式f(x2－2x)＋f(2－x)>0的解集为________． 答案　{x|x>2或x<1} 解析　因为f(x)＝x3＋2x－1＋(sin x－cos x)2 ＝x3＋2x－1＋1－2sin x cos x＝x3＋2x－sin 2x， f′(x)＝3x2＋2－2cos 2x≥0， 所以f(x)在R上单调递增， 因为f(－x)＝－x3－2x＋sin 2x＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数， 不等式f(x2－2x)＋f(2－x)>0可化为 f(x2－2x)>－f(2－x)， 即f(x2－2x)>f(x－2)，所以x2－2x>x－2， 即x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1. (2)已知函数f(x)＝ax4＋(x－1)ex 在区间[1，3]上不是单调函数，则实数a 的取值范围是(　　) A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(e,4)，－\f(e2,16)))　 B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(e,4)，－\f(e2,16)))　 C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(e3,36)，－\f(e2,16)))　 D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(e,4)，－\f(e3,16))) 答案　A 解析　因为f(x)＝ax4＋(x－1)ex 在区间[1，3]上不是单调函数， 所以f′(x)＝4ax3＋xex＝0 在区间(1，3)上有解，即－4a＝ eq \f(ex,x2) 在区间(1，3)上有解． 令g(x)＝ eq \f(ex,x2)，则g′(x)＝ eq \f((x－2)ex,x3). 当x∈(1，2)时，g′(x)<0；当x∈(2，3)时，g′(x)>0. 故g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增．又因为g(1)＝e， g(3)＝ eq \f(e3,9)<e， 且当a＝－ eq \f(e2,16) 时，f′(x)＝－ eq \f(e2,4)x3＋xex＝x3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,x2)－\f(e2,4)))≥0, 所以f(x)在区间[1，3]上单调递增，所以 eq \f(e2,4)<－4a<e，解得－ eq \f(4,e)<a<－ eq \f(e2,16).故选A. $$