第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第三章　一元函数的导数及其应用 　第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 f′(x0) 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 斜率 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 0 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 × × × √ 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （二十） 点击进入word 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或y′|x＝x0. f′(x0)＝ eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝ eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx). (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx). 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ． y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) axlna 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝ f(x)＝cos x f′(x)＝ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ eq \f(1,x ln a) f(x)＝ln x f′(x)＝ eq \f(1,x) αxα-1 cos x －sin x 基本初等函数 导函数 f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ eq \f(1,x ln a) f(x)＝ln x f′(x)＝ eq \f(1,x) ex 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝ ； [f(x)g(x)]′＝ ； eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝ eq \f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝ ． f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x) 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． y′u·u′x 【常用结论】 1．在点处的切线与过点的切线的区别 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f(x))))′＝ eq \f(－f′(x),[f(x)]2)(f(x)≠0). 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　 　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　 　) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　 ) (4)(e－x)′＝－e－x.(　 　) 2．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则(　　) A．f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x B．f′(x)＝3x＋2cos 2x C．f′(x)＝ eq \f(3x,ln 3)＋cos 2x D．f′(x)＝ eq \f(3x,ln 3)－2cos 2x 答案　A 3．若直线l 过原点，且与函数y＝ eq \f(ln x,x) 的图象相切，则该直线的斜率为(　　) A．1　　　　　B． eq \f(1,2e) C． eq \f(1,e) D． eq \f(1,e2) 答案　B 解析　因为y＝ eq \f(ln x,x)，所以y′＝ eq \f(1－ln x,x2)，设切点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(ln x0,x0)))，所以y′|x＝x0＝2,0) eq \f(1－ln x0,x) ， 所以切线方程为y－ eq \f(ln x0,x0)＝2,0) eq \f(1－ln x0,x) (x－x0)， 又切线过坐标原点，所以－ eq \f(ln x0,x0)＝2,0) eq \f(1－ln x0,x) (－x0)，解得x0＝ eq \r(e)， 所以切线方程的斜率为k＝2,0) eq \f(1－ln x0,x) ＝ eq \f(1－\f(1,2),(\r(e))2)＝ eq \f(1,2e).故选B. 4．曲线f(x)＝xex－3x＋1 在(0，1)点处的切线方程是__________． 答案　2x＋y－1＝0 解析　由f(x)＝xex－3x＋1 可得f′(x)＝(x＋1)ex－3，所以f′(0)＝－2， 所以由点斜式可得切线方程为y－1＝－2x，即2x＋y－1＝0. 题型一　导数的运算 [例1]　(1)(多选)(2025·昆明一诊)下列导数的运算中正确的是(　　) A．(3x)′＝3x ln 3 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos x,x)))′ ＝ eq \f(x sin x－cos x,x2) D．(sin x cos x)′＝cos 2x 答案　ABD 解析　(3x)′＝3x ln 3，正确； (x2ln x)′＝(x2)′ln x＋x2(ln x)′＝2x ln x＋x，正确； (sin x cos x)′＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos2x，正确； 因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos x,x)))′＝ eq \f(－x sin x－cos x,x2)，所以C项错误，其余都正确．故选ABD. (2)(2025·河南联考)已知函数f(x)满足f(x)＝2f′(1)ln x＋ eq \f(x,e)(f′(x)为f(x)的导函数)，则f(e)等于(　　) A．e－1　　　　　　　B． eq \f(2,e)＋1 C．1　 D．－ eq \f(2,e)＋1 答案　D 解析　f′(x)＝ eq \f(2f′(1),x)＋ eq \f(1,e)， 当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋ eq \f(1,e)， 解得f′(1)＝－ eq \f(1,e)， 故f(x)＝－ eq \f(2ln x,e)＋ eq \f(x,e)， 所以f(e)＝－ eq \f(2ln e,e)＋ eq \f(e,e)＝－ eq \f(2,e)＋1. 　 eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．　 　[即时训练] (多选)下列命题正确的是(　　) A．若f(x)＝x sin x－cos x，则f′(x)＝sin x－x cos x＋sin x B．设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e C．已知函数f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e D．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－ eq \f(9,4) 答案　BD 解析　对于选项A，f′(x)＝sin x＋x cos x＋sin x，故选项A不正确； 对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确； 对于选项C，f′(x)＝6xex＋3x2ex，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确； 对于选项D，f′(x)＝2x＋3f′(2)＋ eq \f(1,x)，则f′(2)＝4＋3f′(2)＋ eq \f(1,2)，解得f′(2)＝－ eq \f(9,4)，故选项D正确． 题型二　导数的几何意义 命题点1　求切线方程 [例2]　(1)(2024·全国甲卷)设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝ eq \f(ex＋2sin x,1＋x2)，则曲线y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3) 答案　A 解析　f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋2cos x))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋2sin x))·2x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x2))2)， 则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e0＋2cos 0))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋0))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e0＋2sin 0))×0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋0))2)＝3， 即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1， 令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－ eq \f(1,3)， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝ eq \f(1,2)×1× eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝ eq \f(1,6).故选A. (2)(2025·广东揭阳质检)设a∈R，函数f(x)＝x3－2ax2＋(a＋3)x 的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为(　　) A．y＝3x　 B．y＝－2x C．y＝－3x　 D．y＝2x 答案　A 解析　由题设f′(x)＝3x2－2ax＋(a＋3)是偶函数， ∴3(－x)2－2a(－x)＋(a＋3)＝3x2－2ax＋(a＋3)，解得a＝0， ∴k＝f′(0)＝3， ∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝3x.故选A. 命题点2　求参数的值(范围) [例3]　(1)(2025·石家庄模拟)已知a>0，b>0，直线y＝x＋2a 与曲线y＝ex-1－b＋1 相切，则 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b) 的最小值为______． 答案　9 解析　设切点为(x0，y0)，由y＝ex-1－b＋1 得y′＝ex-1，由题意 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ex0－1＝1，,y0＝x0＋2a，,y0＝ex0－1－b＋1，)) 解得x0＝1，所以1＋2a＝2－b，即2a＋b＝1， 故 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(2a＋b)＝5＋ eq \f(2b,a)＋ eq \f(2a,b)≥5＋2 eq \r(4)＝9，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,3)时，等号成立． (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0 )，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝ eq \f((x0＋a)ex0,x0)，化简，得x eq \o\al(2,0)＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x eq \o\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． [即时训练] (1)(2025·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程是(　　) A．2x－y－2＝0　 B．4x－y－4＝0 C．2x＋y－2＝0　 D．4x＋y－4＝0 答案　C 解析　当x<0时，f(x)＝x3－x， 则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2， 由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2， 则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程是 y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0. (2)若函数f(x)＝x－ eq \f(1,x)＋a ln x存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－2] 解析　f′(x)＝1＋ eq \f(1,x2)＋ eq \f(a,x)(x>0)， 依题意得f′(x)＝1＋ eq \f(1,x2)＋ eq \f(a,x)＝0有解， 即－a＝x＋ eq \f(1,x)有解， ∵x>0，∴x＋ eq \f(1,x)≥2，当且仅当x＝1时取等号， ∴－a≥2，即a≤－2. 题型三　两曲线的公切线 [例4]　(2025·武汉质检)若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n等于(　　) A．－30　 B．－25 C．26　 D．28 答案　C 解析　设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x3＋nx－52切于点(a，－a－m)， 与曲线y＝x2－3ln x切于点(b，－b－m). 对于函数y＝x2－3ln x，y′＝2x－ eq \f(3,x)， 则2b－ eq \f(3,b)＝－1， 解得b＝1或b＝－ eq \f(3,2)(舍去). 所以1－3ln 1＝－1－m，即m＝－2. 对于函数y＝x3＋nx－52，y′＝3x2＋n， 则3a2＋n＝－1，a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2， 整理得a3＝－27，则a＝－3， 所以n＝－3a2－1＝－28，故m－n＝26. eq \a\vs4\al([思维升华]) 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.　 　[即时训练] (2025·佛山一模)已知曲线f(x)＝ eq \r(x) 与曲线g(x)＝a ln x(a∈R )相交，且在交点处有相同的切线，则a＝ ______． 答案　 eq \f(e,2) 解析　易知：必有a>0. 设两曲线的交点为P(x0，y0)，f′(x)＝ eq \f(1,2\r(x))，g′(x)＝ eq \f(a,x) (x>0)，由题意 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x0)＝a ln x0，,\f(1,2\r(x0))＝\f(a,x0)，)) 两式相除得：2x0＝x0ln x0，∵x0>0， ∴ln x0＝2⇒x0＝e2. 代入 eq \r(x0)＝a ln x0，得e＝2a， 解得a＝ eq \f(e,2). $$