第2章 第9节 指、对、幂的大小比较(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章　函数 第九节　指、对、幂的大小比较 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （十五） 点击进入word 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 [重点解读]　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 [例1]　(2025·郑州质检)设a＝0.80.8，b＝0.80.9，c＝0.90.8，则a，b，c 的大小关系是(　　) A．c>b>a　　　　　B．a>b>c C．a>c>b D．c>a>b 答案　D 解析　令f(x)＝0.8x， 由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递减， 又因为0.8<0.9， 所以f(0.8)>f(0.9)， 即0.80.8>0.80.9， 所以a>b， 令g(x)＝x0.8， 由幂函数的性质可知g(x)＝x0.8 在(0，＋∞)上单调递增， 又因为0.8<0.9， 所以g(0.8)<g(0.9)，所以0.80.8<0.80.9， 即a<c， 所以b<a<c.故选D. 命题点2　找中间值 [例2]　(2025·无锡模拟)已知a＝log72，b＝ eq \f(1,log0.10.7)，c＝0.60.4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案　A 解析　∵0＝log71<log72<log7 eq \r(7)＝ eq \f(1,2)， ∴0<a< eq \f(1,2). ∵ eq \f(1,log0.10.7)＝log0.70.1>log0.70.7＝1，∴b>1. ∵1＝0.60>0.60.4>0.50.4>0.51＝ eq \f(1,2)， ∴ eq \f(1,2)<c<1.∴a<c<b. 命题点3　特殊值法 [例3]　已知a>b>1，0<c< eq \f(1,2)，则下列结论正确的是(　　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 答案　C 解析　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝ eq \f(1,4)， 则ac＝4 eq \s\up6(\f(1,4))，bc＝2 eq \s\up6(\f(1,4))，∴ac>bc，故A错误； abc＝4×2 eq \s\up6(\f(1,4))＝2 eq \s\up6(\f(9,4))，bac＝2×4 eq \s\up6(\f(1,4))＝2 eq \s\up6(\f(3,2))， ∴abc>bac，故B错误； logac＝log4 eq \f(1,4)＝－1，logbc＝log2 eq \f(1,4)＝－2， alogbc＝－8，blogac＝－2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误． eq \a\vs4\al([思维升华]) 利用特殊值作“中间量”比较大小 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0， eq \f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 　[即时训练] (1)(2025·龙岩模拟)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝log0.33，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 答案　C 解析　由y＝0.3x为减函数， 得0<a＝0.30.2<0.30.1＝b<0.30＝1， 由y＝log0.3x为减函数，得c＝log0.33<log0.31＝0， ∴c<a<b. (2)(2025·镇江模拟)若a＝2 eq \s\up6(\f(1,3))，b＝log2 eq \f(1,3)，c＝sin eq \f(1,3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 答案　B 解析　∵a＝2 eq \s\up6(\f(1,3)) >20＝1，且b＝log2 eq \f(1,3)<log21＝0， 又 eq \f(1,3)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴c＝sin eq \f(1,3)∈(0，1)，∴a>c>b. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 命题点1　作差法 [例4]　(2025·枣阳模拟)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b 答案　A 解析　∵a＝log34＝ eq \f(lg 4,lg 3)，b＝log45＝ eq \f(lg 5,lg 4)， c＝log56＝ eq \f(lg 6,lg 5)， ∴a－b＝ eq \f(lg 4,lg 3)－ eq \f(lg 5,lg 4)＝ eq \f((lg 4)2－lg 3×lg 5,lg 3×lg 4)> eq \f((lg 4)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3＋lg 5,2)))\s\up12(2),lg 3×lg 4)＝ eq \f(4(lg 4)2－(lg 15)2,4lg 3×lg 4)＝ eq \f((lg 16)2－(lg 15)2,4lg 3×lg 4)>0， ∴a>b， 又b－c＝ eq \f(lg 5,lg 4)－ eq \f(lg 6,lg 5)＝ eq \f((lg 5)2－lg 4×lg 6,lg 4×lg 5)> eq \f((lg 5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 4＋lg 6,2)))\s\up12(2),lg 4×lg 5)＝ eq \f(4(lg 5)2－(lg 24)2,4lg 4×lg 5) ＝ eq \f((lg 25)2－(lg 24)2,4lg 4×lg 5)>0，∴b>c，故a>b>c. 命题点2　作商法 [例5]　已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 答案　B 解析　∵y＝0.3x是减函数，∴0.30.3>0.30.4，即b>c>0，又 eq \f(a,b)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.4,0.3))) eq \s\up12(0.3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up12(0.3)>1，即a>b，∴a>b>c. 命题点3　乘方法 [例6]　已知a＝log35，b＝log57，c＝ eq \f(4,3)，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 答案　D 解析　因为53＝125>(3 eq \s\up6(\f(4,3)))3 ＝81，所以5>3 eq \s\up6(\f(4,3))， 所以log35>log33 eq \s\up20(\f(4,3)) ＝ eq \f(4,3)，即a>c. 因为73＝343<(5 eq \s\up6(\f(4,3)))3 ＝625，所以7<5 eq \s\up20(\f(4,3))， 所以log57<log55 eq \s\up20(\f(4,3)) ＝ eq \f(4,3)，即b<c.所以a>c>b. 命题点4　对数法 [例7]　已知a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2 024))) eq \s\up12(2 024)，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2 025))) eq \s\up12(2 025)，则a，b的大小关系为________． 答案　a<b 解析　构建函数f(x)＝x ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(x>0)， 则f′(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))－ eq \f(1,1＋x)， 令g(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))－ eq \f(1,1＋x)(x>0)， 则g′(x)＝－ eq \f(1,x(1＋x)2)<0， 可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又当x→＋∞时，f′(x)→0， 所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(2 025)>f(2 024)，即a<b. eq \a\vs4\al([思维升华]) 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式．　 　[即时训练] (1)已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 答案　B 解析　因为a＝2100， 所以lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， 因为b＝365， 所以lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， 因为c＝930＝360， 所以lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，所以b>a>c. (2)已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 答案　A 解析　令2x＝3y＝5z＝k(k>1)， 则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， 所以 eq \f(2x,3y)＝ eq \f(2log2k,3log3k)＝ eq \f(2lg k,lg 2)· eq \f(lg 3,3lg k)＝ eq \f(lg 9,lg 8)>1， 则2x>3y， eq \f(2x,5z)＝ eq \f(2log2k,5log5k)＝ eq \f(2lg k,lg 2)· eq \f(lg 5,5lg k)＝ eq \f(lg 25,lg 32)<1，则2x<5z. 所以3y<2x<5z. $$