第10章 课时冲关66 概率统计与其他知识的交汇问题(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关66　概率统计与其他知识的交汇问题 [基础训练组] 1．(2025·全国模拟)为迎接2025年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立．若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜．甲答对每个问题的概率为，答错的概率为. (1)若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X，求X的分布列及数学期望； (2)若甲在回答过程中出现在第i(i≥2)个等级的概率为Pi，证明：{Pi－Pi－1}为等比数列． 解：(1)依题意可得，X＝5，6，7，8，9，10， P(X＝5)＝C＝＝， P(X＝6)＝C＝5××＝， P(X＝7)＝C＝， P(X＝8)＝C＝， P(X＝9)＝C×＝， P(X＝10)＝C＝， 则X的分布列如表所示： X 5 6 7 8 9 10 P EX＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＝. (2)处于第i＋1个等级有两种情况： 由第i等级到第i＋1等级，其概率为Pi； 由第i－1等级到第i＋1等级，其概率为Pi－1； 所以Pi＋1＝Pi＋Pi－1， 所以Pi＋1－Pi＝－(Pi－Pi－1)， 即＝－. 所以数列{Pi－Pi－1}为等比数列． 2．(2025·山东日照一模)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求一个问题能被软件正确应答的概率； (2)在某次测试中，输入了n(n≥6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，X＝k(k＝0，1，…，n)的概率记为P(X＝k)，则n为何值时，P(X＝6)的值最大？ 解：(可)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“一次正确应答”为事件B， 由题意P()＝0.1，P(B|A)＝0.8，P(B|)＝0.3，则P(A)＝1－P()＝0.9， P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.9×0.8＋0.1×0.3＝0.75. (2)依题意，X～B， P(X＝6)＝C， 设f(n)＝C(n≥6)， 则＝＝， 令＞1解得：n＜7，所以当n≤6时，f(n＋1)>f(n)， 令＜1解得：n＞7，所以当n≥8时，f(n＋1)＜f(n)， 当n＝7时，f(7)＝f(8)， 所以n＝7或n＝8时，f(n)最大，故使P(X＝6)最大的n的值为7或8. 3．(2025·重庆八中模拟)某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p(0＜p＜1)，，且各局比赛互不影响． (1)若p＝，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为f(p)，试问当p为何值时，f(p)取得最大值． 解：(1)由题可知，X的可能取值为2，3，4，5. 因为p＝，所以P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝×＝，P(X＝4)＝×＝， P(X＝5)＝×＝. 故X的分布列为： X 2 3 4 5 P EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝. (2)设一天得分不低于4分为事件A， 则P(A)＝＋＝p， 则f(p)＝Cp3(1－p)2＝10p3(1－p)2， 0＜p＜1 则f′(p)＝30p2(1－p)2－20p3(1－p) ＝10p2(1－p)(3－5p). 当0＜p＜时，f′(p)＞0；当＜p＜1时，f′(p)＜0， 所以f(p)在上单调递增，在上单调递减，故当p＝时，f(p)取得最大值． 4．(2025·山东青岛二模)在一个袋子中有若干红球和白球(除颜色外均相同)，袋中有红球数占总球数的比例为p. (1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第2次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率； (2)某同学不知道比例p，为估计p的值，设计了如下两种方案： 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球5次停止； 方案二：从袋中进行有放回摸球5次． 分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计p的值更合理． 解：(1)设事件A＝“第2次没有摸到红球”，事件B＝“第3次也没有摸到红球”， 所以P(B|A)＝＝＝＝1－p. (2)“方案一”中红球出现的频率用随机变量X表示，X的可能取值为：0，，，，，1， 所以X的分布列为： X 0 1 X (1－p)5 (1－p)4p (1－p)3p (1－p)2p (1－p)p p E(X)＝0×(1－p)5＋×(1－p)4p＋×(1－p)3p＋×(1－p)2p＋×(1－p)p＋1×p ＝＋＋＋＋p. “方案二”中红球出现的频率用随机变量Y表示，因为5Y～B(5，p)， 所以5Y的分布列为：P(5Y＝k)＝Cpk(1－p)5-k，k＝0，1，2，3，4，5， 所以E(5Y)＝5p，所以E(Y)＝p.因为E(X)＞p，E(Y)＝p，所以“方案二”估计p的值更合理． 5．(2025·山东菏泽二模)甲、乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下，两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为，记甲乙两人的答题总次数为n(n≥2). (1)求p； (2)当n＝2时，求甲得分X的分布列及数学期望； (3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为Pn(A).证明：≤P2(A)＋P3(A)＋…＋Pn(A)＜. 解：(1)记Ai＝“第i次答题时为甲”，B＝“甲积1分”，则P(A1)＝，P(B|A1)＝，P(|Ai)＝1－＝，P(B|i)＝1－p，P(|i)＝p，所以＝＋ ，则＝，解得p＝. (2)由题意可知当n＝2时，X可能的取值为0，1，2，由(1)可知 P(X＝1)＝， P(X＝0)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 故随机变量X的数学期望为E(X)＝0×＋＋＝. (3)由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x甲，乙的积分为x乙，则x甲－x乙＝2，且x甲＋x乙＝n，所以甲晋级时n必为偶数，令n＝2m，m∈N*. 当n为奇数时，Pn(A)＝0，则P2(A)＋P3(A)＋…＋Pn(A)＝P2(A)＋P4(A)＋…＋Pn(A) ＝·＋·＋·＋…＋· ＝ ＝＝， 又∵m≥1时，P2(A)＋P3(A)＋…＋Pn(A)随着m的增大而增大， ∴≤P2(A)＋P3(A)＋…＋Pn(A)＜. 6．(2025·潍坊模拟)某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第k(k＝1，2，…，100)个箱子中有k个数学题，100－k个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目(每次取出不放回)，并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． (1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p，答对每一个物理题的概率为q. ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知p＋q＝1，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p、q的值． (2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 解：(1)：①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件A.则P(A)＝p2q； ②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为P＝p2q＝p2(1－p)＝－p3＋p2， 令f(x)＝－x3＋x2，x∈[0，1]，f′(x)＝－3x2＋2x＝－3x， 当0＜x＜时，f′(x)＞0，当＜x＜1时， f′(x)＜0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，f(x)max＝f＝， 即当p＝时，Pmax＝－＋＝. 学生甲在n轮活动中获得奖品的个数ξ～B(n，P)，由(nP)max＝4，知n＝27. 故理论上至少要进行27轮游戏，此时p＝，q＝. (2)设选出的是第k个箱子，连续三次取出题目的方法数为100(100－1)(100－2). 设数学题为M，物理题为W，第三次取出的是物理题W有如下四种情形： (W，W，W)取法数为(100－k)(100－k－1)(100－k－2)， (W，M，W)取法数为k(100－k)(100－k－1)， (M，W，W)取法数为k(100－k)(100－k－1)， (M，M，W)取法数为k(k－1)(100－k)， 从而，第三次取出的是物理题的种数为 (100－k)(100－k－1)(100－k－2)＋k(100－k)(100－k－1)＋k(100－k)(100－k－1)＋k(k－1)(100－k)＝(100－1)(100－2)(100－k). 则在第k个箱子中第三次取出的是物理题的概率为Pk＝. 而选到第k个箱子的概率为， 故所求的概率为 P′＝pk·＝ · ＝ (100－k)＝i＝＝. [能力提升组] 7．(2025·广东东莞四中模拟)足球是一项大众喜爱的运动． (1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2×2列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 能否有99.9%的把握认为喜爱足球运动与性别有关？(注：θx0.001＝10.828) (2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1. ①求P3(直接写出结果即可)； ②证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 解：(1)根据列联表数据，经计算得 χ2＝＝＞10.828 ＝x0.001 即有99.9%的把握认为喜爱足球运动与性别有关． (2)①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故P3＝. ②第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n－1次触球者是甲的概率为Pn－1， 第n－1次触球者不是甲的概率为1－Pn－1， 则Pn＝Pn－1·0＋(1－Pn－1)·＝(1－Pn－1)， 从而Pn－＝－， 又P1－＝，∴是以为首项，公比为－的等比数列. 则Pn＝×＋， ∴P19＝×＋＞，P20＝×＋＜， P19＞P20，故第19次触球者是甲的概率大． 8．(2025·通州模拟)某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元) 表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量X概率分布列； (2)当n＝19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8 900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断n＝19与n＝18应选用哪一个． 解：(1)设甲市场需求量为x的概率为P(x)，乙市场需求量为y的概率为P(y)，则由题意得P(x＝8)＝0.3，P(x＝9)＝0.4，P(x＝10)＝0.3； P(y＝8)＝0.2，P(y＝9)＝0.5，P(y＝10)＝0.3. 设两个市场总需求量为X的概率为P(X)，则由题意得X所有可能的取值为16，17，18，19，20，且P(X＝16)＝P(x＝8，y＝8)＝P(x＝8)P(y＝8)＝0.3×0.2＝0.06， P(X＝18)＝P(x＝8，y＝9)＋P(x＝9，y＝8)＝0.3×0.5＋0.4×0.2＝0.23， P(X＝17)＝P(x＝8，y＝10)＋P(x＝10，y＝8)＋P(x＝9，y＝9) ＝0.3×0.3＋0.3×0.2＋0.4×0.5＝0.35， P(X＝19)＝P(x＝9，y＝10)＋P(x＝10，y＝9)＝0.4×0.3＋0.3×0.5＝0.27， P(X＝20)＝P(x＝10，y＝10)＝0.3×0.3＝0.09. 所以X的分布列如下表： X 16 17 18 19 20 P 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 (2)由题意得，当X≥19时，T＝500×19＝9 500, 当X＜19时，T＝500X－(19－X)×100＝600X－1 900. 所以T＝. 设A＝“销售利润不少于8 900元”，则 当X≥19时，T＝500×19＝9 500＞8 900， 当X＜19时，T＝600X－100×19≥8 900，解得X≥18. 由(1)中X的分布列可知， P(A)＝P(X≥18)＝0.71. (3)由(1)知，P(X＝16)＝0.06，P(X＝17)＝0.23. 当n＝17时，T的分布列为： X X＝16 X≥17 T 500×16－(17－16)×100 500×17 P 0.06 0.94 所以ET＝[500×16－(17－16)×100]×0.06＋500×17×0.94＝8 464; 当n＝18时，T的分布列为： X X＝16 X＝17 X≥18 T 500×16－ (18－16)×100 500×17－ (18－17)×100 500×18 P 0.06 0.23 0.71 所以ET＝[500×16－(18－16)×100]×0.06＋[500×17－(18－17)×100]×0.23＋500×18×0.71＝8 790，因为8 790＞8 464，所以应选n＝18. 9．(2025·湖南师大附中模拟)某大学有甲、乙两个运动场．假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场．若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立．设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X，已知X的分布列如下：(其中a>0，0<p<1) X 0 1 2 3 P a(1－p)2 a a(1－p) (1)记事件Ai，表示王同学假期三天内去运动场锻炼i次(i＝0，1，2，3)，事件B表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数．当p＝时，试根据全概率公式求P(B)的值； (2)是否存在实数p，使得E(X)＝？若存在．求p的值；若不存在，请说明理由； (3)记M表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，0<P(M)<1.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：P(M|N)>P(M|). 解：(1)当p＝时，P(A0)＝，P(A1)＝2a，P(A2)＝a，P(A3)＝， 则＋2a＋a＋＝1.解得a＝. 则题意，得P(B|A1)＝C×，P(B|A2)＝C×，P(B|A3)＝C×＋C×. 由全概率公式，得P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)＝＋C×a＋· a(1－p)＝＋＋(1－p). 又p＝，a＝，所以P(B)＝. (2)由＋a＋a(1－p)＋a(1－p)2＝1，得＝p2－3p＋＋3. 假设存在p，使E(X)＝＋2a＋3a(1－p)＝. 将上述两式相乘，得＋5－3p＝－5p＋＋5.化简得：5p3－6p2＋2＝0. 设h(p)＝5p3－6p2＋2，则h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4). 由h′(p)＜0，得0＜p＜，由h′(p)>0，得<p<1. 则h(p)在上单递减，在上单调递增，所h(p)的最小值为h＝>0， 所以不存在p0使得h(p0)＝0，即不存在p值，使得E(X)＝. (3)证明：由题知P(N|M)>P(N|)，所以>＝， 所以P(NM)>P(N)P(M)， 所以P(NM)－P(N)P(NM)>P(N)P(M)－P(N)P(NM)， 即P(NM)·P()>P(N)·P(M)，所以>，即P(M|N)>P(M|). 学科网（北京）股份有限公司 $$