第10章 课时冲关65 二项分布(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关65　二项分布、超几何分布与正态分布 [基础训练组] 1．(2025·山东青岛模拟)已知随机变量ξ～B，则P＝(　　) A．　　　　　　　　B． C． D． 解析：C　[由题意可知：P＝C×2×4＝.故选C.] 2．已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则X＝2的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：D　[由题意可知：X＝2表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题打错， 所以P＝＝.故选D.] 3．(2025·吉林油田第十一中学模拟)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是(　　) A． B． C． D．1－ 解析：D　[全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为1－.] 4．(2025·湖北省仙桃市期中)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　) A．C B．C C．C D．C 解析：D　[取12次球，每次取出红球的概率为，取出白球的概率为， 因为第12次停止，故第12次取的球必为红球，前11次恰好取出9次红球， 所以P(X＝12)＝C，故选D.] 5．(2025·江西九江月考)已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X近似服从正态分布N，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计P(95≤X≤110)＝(　　) A． B． C． D． 解析：B　[法一：依题意，得P(X<80)＝＝， 故P＝P＝P(X<95)－P(X<80)＝－＝. 法二：数学成绩在80分至95分的有4000－1500＝2500人， 由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人， 故P＝＝.故选B.] 6．(多选)已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an＋1等概率地取an＋1或an－1，设an的值为随机变量ξn，则下列选项正确的是(　　) A．P(ξ3＝2)＝ B．P(ξ3＝0)＝ C．P(ξ3＝－2)＝ D．Eξ3＝0 解析：ACD　[依题意a2＝1或a2＝－1，且P(ξ2＝1)＝P(ξ2＝－1)＝，ξ3＝a3的可能取值为a2＋1＝2，a2－1＝0，a2＋1＝0，a2－1＝－2，∴P(ξ3＝2)＝×＝，P(ξ3＝0)＝2××＝，P(ξ3＝－2)＝×＝，Eξ3＝2×＋0×＋(－2)×＝0.] 7．(多选)“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其分布密度函数φ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则(　　) A．该地杂交水稻的平均株高为100 cm B．该地杂交水稻株高的方差为10 C．该地杂交水稻株高在120 cm以上的数量和株高在80 cm以下的数量一样多 D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)的概率一样大 解析：AC　[因为正态分布密度函数为φ(x)＝e－，所以μ＝100，σ＝10，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知函数φ(x)关于x＝100轴对称，所以该地杂交水稻株高在120 cm以上的数量和株高在80 cm以下的数量一样多，故C正确；随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在(80，90)和在(110，120)的概率一样大．故D错误．] 8．(2025·广东模拟)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量__________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.954 5)). 解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954 5， 则(μ－2σ，μ＋2σ)(－0.5，0.5)且μ＝0，σ＝，所以0.5≥2⇒n≥32. 答案：32 9．甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为________；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为________． 解析：设甲射击3次，击中目标次数为X，依题意，X～B，则E(X)＝3×＝2； 再设甲、乙两射手各射击2次，击中目标次数分别为Y和Z，则Y～B，Z～B， 因“至少有1人击中目标”的对立事件为“两人都没有击中目标”，故其概率为1－2×2＝1－＝. 答案：2　 10．某工厂引进新的设备M，为对其进行评估，从设备M生产的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 /mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．将直径小于等于μ－2σ或大于等于μ＋2σ的零件认为是次品． (1)若从样本中随机抽取一件，该零件为次品的概率为p，求p的估计值； (2)记X为从流水线上随机抽取的3个零件中次品数，求X的分布列(用p表示)，EX，DX. 解：(1)由条件可知：μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，所以样本中次品共6件，则从样本中随机抽取一件，该零件为次品的概率为p＝0.06. (2)从流水线上抽取次品，则每件产品为次品的概率为p＝. 则X～B，X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝C，P(X＝1)＝ C，P(X＝2)＝C ， P(X＝3)＝C， X 0 1 2 3 P C C C C 所以EX＝3×＝，DX＝3××＝. [能力提升组] 11．(2025·浙江杭州市模拟)已知在盒中有编号分别为1，2，3，4的红色、黄色、白色的球各4个，现从中任意摸出4个球，则摸出白球个数的期望是(　　) A． B． C． D． 解析：C　[设摸出的白球的个数为X，则X＝0，1，2，3，4，所以 P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝. 所以摸出白球个数的期望是EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.] 12．(多选)(2025·全国模拟)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3.则下列判断正确的是(　　) A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C．P(X＝k)＜P(Y＝k) D．EX＝EY 解析：ABD　[对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；对于D选项，该批产品有M件，则EX＝3·＝，EY＝ ＝ ＝＝，因此D正确；对于C选项，假若C正确可得EX＜EY，则D错误，矛盾．故C错误．] 13．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图． 注：尺寸数据在[63.0，64.5) 内的零件为合格品，频率作为概率． (1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与期望； (2)从产品中随机抽取n个，全是合格品的概率不小于0.3，求n的最大值； (3)为了提高产品合格率，现提出A，B两种不同的改进方案进行试验．若按A方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数X的期望是2；若按B方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数Y的期望是4.你会选择哪种改进方案？ 解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为(0.75＋0.65＋0.2)×0.5＝0.8，即抽取1个产品为合格品的概率为， 从产品中随机抽取4个，合格品的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝C××＝， P(ξ＝2)＝C××＝，P(ξ＝3)＝C××＝，P(ξ＝4)＝＝. 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P ξ的数学期望Eξ＝4×＝. (2)从产品中随机抽取n个产品，全是合格品的概率为，依题意得≥0.3，故n的最大值为5. (3)设按A方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是a，则随机抽取15个产品，不合格品个数X～B(15，a)；设按B方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是b，则随机抽取25个产品，不合格品个数Y～B(25，b). 依题意得EX＝15a＝2，EY＝25b＝4，所以a＝，b＝. 因为<，所以应选择方案A. 14．(2025·四川泸州二模)统计学中有如下结论：若X～N，从X的取值中随机抽取k个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500 g，上下浮动不超过25 g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500 g，标准差为25 g的正态分布． (1)假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨的平均值为Y，利用上述结论求P； (2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算得到25份披萨质量的平均值为488.72 g，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由． 附：①随机变量η服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤η≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ≤η≤μ＋3σ)＝0.9973； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 解：(1)依题意X～N(500，252)，又＝25， 所以Y～N(500，25)，490＝500－2×5， 且P(490≤Y≤510)＝0.9545， 所以P(Y≤490)＝＝0.02275. (2)由(1)可得P(Y≤490)＝0.02275， 又希尔伯特计算25份披萨质量的平均值为488.72 g，488.72<490， 而0.02275<0.05， 所以25份披萨质量的平均值为488.72 g为小概率事件，小概率事件基本不会发生， 所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$