第10章 课时冲关62 古典概型与事件的独立性(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关62　古典概型与事件的独立性 [基础训练组] 1．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：D　[设高一年级的2名学生为甲、乙，高二年级的2名学生为丙、丁，则从这4名学生中随机选2名的方法如下：(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)，共6种方法，其中二人来自不同年级的方法有4种，故所求概率为P＝＝.] 2．男女生共8人，从中任选3人，出现2名男生，1名女生的概率为，则其中女生人数是(　　) A．2人 B．3人 C．2人或3人 D．4人 解析：C　[设女生人数是x人，则男生有(8－x)人， 又∵从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，∴＝，∴x＝2或3.] 3．(2025·福建厦门期末)甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 解析：B　[设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B， 所以P＝0.5，P＝0.4，P＝0.2， 因为PP＝0.2＝P，所以事件A与事件B相互独立， 根据题意，甲、乙两人恰有一人获奖的概率为P＝PP＋PP＝0.5×0.6＋0.5×0.4＝0.3＋0.2＝0.5.故选B.] 4．(2025·江西模拟)某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2025年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n.则m＋n＝(　　) A． B． C． D． 解析：C　[由题知三个社团都能进入的概率为，即m××n＝⇒m×n＝， 又因为至少进入一个社团的概率为， 即一个社团都没能进入的概率为1－＝，即(1－m)××(1－n)＝⇒1－m－n＋m×n＝，整理得m＋n＝.] 5．(2025·四川内江月考)柜子里有3双不同的鞋，分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只鞋，如果从中随机地取出2只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：C　[设a1，b1，c1分别表示三双鞋的左只，a2，b2，c2分别表示三双鞋的右只， 则从中随机取出2只的所有可能为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)， 共15种， 其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚的有(a1，a2)，(a1，b2)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，c1)，(b1，b2)，(b1，c2)，(b2，c1)，(c1，c2)，共9种， 所以概率为＝.故选C.] 6．(多选)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则(　　) A．“从甲、乙、丙、丁、戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点 B．“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为 C．“丁、戊至多有一人被录用” 的概率为 D．“甲或乙被录用”的概率为 解析：ABD　[由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，选项A正确；其中“甲、乙、丙至少有两人被录用”的所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，共7种，故“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为.选项B正确；其中“丁、戊至多有一人被录用”的对立事件“丁、戊两人都被录用”的所有不同的可能结果有 (甲，丁，戊), (乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共3种，故“丁、戊至多有一人被录用”的概率为1－＝.选项C错误；其中“甲或乙被录用” 的对立事件“甲与乙都未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故“甲或乙被录用” 的概率为1－＝.选项D正确．] 7．(多选)(2025·江苏扬中市模拟)某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均未中奖的事件．下列结论中正确的是(　　) A．P(C)＝ B．事件A与事件B相互独立 C．P(AB)与P(C)和为54% D．事件A与事件B互斥 解析：ABC　[P(A)＝＝，P(B)＝， 在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确，P(C)＝＝，故A正确； P(AB)＝P(A)P(B)＝， P(AB)＋P(C)＝＝54%，故C正确；事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误．] 8．(2025·山东东营模拟)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响，则3人中至少有一人被选中的概率为________． 解析：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A、B、C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝ 可得P()＝，P()＝，P()＝， 3人都没被选中的概率P1＝P()＝P()·P()·P()＝××＝， 所以3人中至少有1人被选中的概率P＝1－P1＝1－＝. 答案： 9．(2024·天津卷)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________． 解析：法一列举法： 从五个活动中选三个的情况有： ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种情况， 其中甲选到A有6种可能性：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， 则甲选到A得概率为：P＝＝； 乙选A活动有6种可能性：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， 其中再选则B有3种可能性：ABC，ABD，ABE， 故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为＝. 法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N， 则甲选到A的概率为P＝＝； 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 P＝＝＝. 答案：　 10．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率． 解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是. (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝. (3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝＝，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝. [能力提升组] 11．(多选)(2025·山东模拟)拋掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面出现的点数，在下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为(　　) A．“出现的点数为奇数” B．“出现的点数大于2” C．“出现的点数小于4” D．“出现的点数小于3” 解析：BD　[分别记“出现的点数为偶数”，“出现的点数为奇数”，“出现的点数大于2”，“出现的点数小于4”，“出现的点数小于3”为事件E，F，M，N，H，则P(E)＝P(F)＝，P(M)＝，P(N)＝，P(H)＝，P(EM)＝，P(EN)＝，P(EH)＝. 因为E，F为对立事件，所以E，F不相互独立； 因为P(EM)＝＝P(E)P(M)，所以E，M相互独立； 因为P(EN)≠P(E)P(N)，所以E，N不相互独立； 因为P(EH)＝＝P(E)P(H)，所以E，H相互独立， 所以与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件有“出现的点数大于2”和“出现的点数小于3”．] 12．(多选)(2025·山西长治高三阶段练习)以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的是(　　) A．三个小组都受到奖励的概率是 B．只有A小组受到奖励的概率是 C．只有C小组受到奖励的概率是 D．受到奖励的小组数的期望值是 解析：AD　[设A、B、C三个小组攻克该技术难题分别为事件A、B、C，即P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，A，B，C相互独立， P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，A正确； P(A )＝P(A)P()P()＝××＝，B错误；只有丙小组受到奖励的概率是P(C)＝××＝，C错误；设受到奖励的小组数为X，则X的值为0，1，2，3， P(X＝0)＝P()＝P()P()P() ＝××＝， P(X＝1)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C) ＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C) ＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝P(ABC)＝， 所以EX＝1×＋2×＋3×＝.D正确．] 13．(2025·全国模拟)对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率为________． 解析：因为从正方体6个面的中心中任取两点连成直线，可得C条直线， 如图所示： 设正方体的边长为2，则AC＝BD＝EF＝2， AB＝BC＝CD＝DA＝，EA＝EB＝EC＝ED＝， FA＝FB＝FC＝FD＝， 由正方体性质可得AC⊥平面BFDE，BD⊥平面AFCE，EF⊥平面ABCD， 四边形BFDE，四边形AFCE，四边形ABCD均为正方形， 故当甲选A，C时，乙选E，B或B，F或F，D或D，E或E，F或B，D时，甲、乙所选的点的连线垂直， 甲选A，B时，乙选B，C或A，D或E，F时，甲、乙所选的点的连线垂直， 所以甲、乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线共有CC＝225(种)选法， 所以甲选相对两个面的中心时，甲、乙所选的点的连线垂直的选法有3×6种， 若甲选相邻两个侧面的中心时，满足甲、乙所选的点的连线垂直的选法有12×3种， 故甲、乙所选的点的连线垂直的选法共有54种， 所以事件甲、乙所选的点的连线垂直的概率P＝＝. 答案： 14．(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)假设0<p<q， (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， ∴比赛成绩不少于5分的概率 P＝＝0.686. (2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝q3. 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝·p3. ∵0<p<q， ∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3 ＝(q－p)＋(p－q)· ＝(p－q) ＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0， ∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛． (ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15， P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝Cq·(1－q)2， P(X＝10)＝·Cq2(1－q)， P(X＝15)＝·q3， ∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q. 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15， 同理E(Y)＝15·p. ∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15(p－q)pq(p＋q－3)， ∵0<p<q，则p－q<0，p＋q－3<1＋1－3<0， 则(p－q)pq(p＋q－3)>0， ∴应该由甲参加第一阶段比赛． 学科网（北京）股份有限公司 $$