第10章 课时冲关61 随机事件的概率(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关61　随机事件的概率 [基础训练组] 1．(2025·河北唐山模拟)从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是(　　) A．至少有1个红球　　B．至少有1个黑球 C．至多有1个黑球 D．至多有2个红球 解析：C　[由题，由对立事件的定义， “至少有2个黑球” 与“至多有1个黑球”对立．] 2．(2025·广东梅州模拟)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是(　　) A．抛一枚硬币，正面朝上的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率 D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率 解析：D　[根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率P＝. 选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； 选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意； 选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为， 故此选项符合题意．故选D.] 3．(2025·陕西渭南模拟)设靶子上的环数取1～10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件A＝“中靶”，事件B＝“击中环数大于5”，事件C＝“击中环数大于1且小于6”，事件D＝“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是(　　) A．B与C互斥 B．B与C互为对立 C．A与D互为对立 D．A与D互斥 解析：A　[对于AB，事件B和C不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C互斥，不对立，所以A正确，B错误，对于CD，事件A与D有可能同时发生，所以A与D既不互斥，也不对立，所以CD错误．] 4．(2025·全国模拟)某同学做立定投篮训练，共3场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示． 第一场 第二场 第三场 投篮次数 25 20 30 投中次数 16 13 18 根据图中的数据信息，该同学3场投篮的命中率约为(　　) A．0.616 B．0.627 C．0.635 D．0.648 解析：B　[该同学3场投篮的命中率为≈0.627.] 5．(2025·全国模拟)“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器．某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件D为“两个黑匣子都研究”．则(　　) A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件 C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件 解析：D　[事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或 “研究飞行数据记录器”， 或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C为“至多研究一个黑匣子”， 包含“研究驾驶舱语音记录器”或 “研究飞行数据记录器”，或两个黑匣子都不研究；事件D为“两个黑匣子都研究”. 即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；所以对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件．] 6．(多选)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则(　　) A．P1·P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1＋P2＝ D．P1＞P2 解析：ACD　[三辆车的出车顺序可能为123，132，213，231，312，321，共6种．方案一坐到“3号”车可能为132，213，231，共3种，所以P1＝＝；方案二坐到“3号”车可能为312，321，共2种，所以P2＝＝.所以P1＞P2，P1·P2＝，P1＋P2＝.] 7．(多选)支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响．某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则(　　) A．若应用分层随机抽样从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人 B．该医院青年患者所占的频率为 C．该医院的平均治愈率为28.7% D．该医院的平均治愈率为31.3% 解析：ABC　[对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取30×＝12(人)，正确；对于B，青年患者所占的频率为＝，正确；对于C，平均治愈率为 ≈28.7%，正确；对于D，由C知错误．] 8．(2025·重庆月考)已知事件A，B互斥，且事件A发生的概率P(A)＝，事件B发生的概率P(B)＝，则事件A，B都不发生的概率是________． 解析：因为事件A，B互斥，且P(A)＝，P(B)＝， 所以事件A，B至少发生的事件为A＋B，其概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝， 事件A，B都不发生的事件是A＋B的对立事件，则其概率为1－P(A＋B)＝1－＝. 所以事件A，B都不发生的概率是. 答案： 9．河流A与河流B是水库C的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库C就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.7和0.9，同时不缺水的概率是0.65.则水库C不缺水的概率为________． 解析：记“河流A不缺水”为事件A，记“河流B不缺水”为事件B， 记“水库C不缺水”为事件C， 则P(A)＝0.7，P(B)＝0.9，P(A∩B)＝0.65， 故P(C)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.7＋0.9－0.65＝0.95， 即水库C不缺水的概率为0.95. 答案：0.95 10．(2025·全国模拟)某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户/人 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值． (1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率； (2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率． 解：(1)由表中数据知，Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6，则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，这个客户不满意的概率为1－0.6＝0.4. (2)由题意知，回访客户的总人数是250＋100＋200＋700＋350＝1600，回访客户中满意的客户人数是250×0.5＋100×0.3＋200×0.6＋700×0.3＋350×0.2＝125＋30＋120＋210＋70＝555，所以回访客户中客户的满意率为＝，所以从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率约为P＝. [能力提升组] 11．(多选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 　　　商品 顾客人数　　　　 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 以频率估计概率，下列说法正确的是(　　) A．顾客同时购买乙和丙的概率是0.2 B．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率是0.4 C．如果顾客购买了甲，则该顾客购买乙商品的概率最大 D．如果顾客购买了甲，则该顾客购买丁商品的概率最小 解析：AD　[从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2，所以A正确；从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3，所以B错误；同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1，所以C错误，D正确．] 12．(多选)高中提倡学生假期培养阅读习惯，提高阅读能力，某班级统计了假期阅读中英两本书籍的时长，其频率分布如下：则下列说法正确的是(　　) 阅读时长天 7 6 5 4 中文书籍 0.5 0.3 0.1 0.1 英文书籍 0.4 0.3 0.2 0.1 A.从阅读的平均时长来看，中文书籍比外文书籍更受欢迎 B．中、英文书籍阅读时长的第40百分位数都是6天 C．若将频率视为概率，小华阅读中文和英文两本书籍，则阅读总时长少于10天的概率为0.04 D．任选一本书籍，“阅读时长低于5天”与“阅读时长为高于6天”是对立事件 解析：ABC　[中文书籍的阅读时长平均值为7×0.5＋6×0.3＋5×0.1＋4×0.1＝6.2(天)，英文书籍的阅读时长平均值为7×0.4＋6×0.3＋5×0.2＋4×0.1＝6(天)，所以中文书籍比英文书籍更受欢迎，选项A正确；因为中文书籍阅读时长小于等于5的频率为0.2，小于等于6的频率为0.5，所以第40百分位数为6天，英文书籍阅读时长小于等于5的频率为0.3，小于等于6的频率为0.6，所以第40百分位数为6天，故中、英文书籍阅读时长的第40百分位数均为6天，选项B正确；阅读时长少于10天，则中、英文书籍的时间可以为(4，4)，(4，5)和(5，4)三种情况，阅读总时长少于10天的概率P＝0.1×0.1＋0.1×0.2＋0.1×0.1＝0.04，选项C正确；对于D.“阅读时长低于5天”指阅读时长为4天，“阅读时长为高于6天”指阅读时长为7天，所以“阅读时长少于5天”与“阅读时长为高于6天”是互斥而不对立事件，选项D错误．] 13．(2025·浙江嘉兴模拟)树人中学进行篮球定点投篮测试，规则为：每人投篮三次，先在A处投一次三分球，投进得3分，未投进得0分，然后在B处投两次两分球，每投进一次得2分，未投进得0分，测试者累计得分高于3分即通过测试．甲同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每轮在A处和B处各投10次，根据统计该同学各轮三分球和两分球的投进次数如图表所示： 若以五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率，则该同学通过测试的概率是________． 解析：依题意甲同学两分球投篮命中的概率为：P＝＝0.6， 甲同学三分球投篮命中的概率为： P＝＝0.3， 设甲同学累计得分为X， 则P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝7) ＝(1－0.3)×0.6×0.6＋C0.3×0.6×(1－0.6)＋0.3×0.6×0.6＝0.504， ∴甲同学通过测试的概率为0.504. 答案：0.504 14．甲、乙两人组成“梦之队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．若“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为. (1)求p的值； (2)求“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率． 解：(1) “梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的事件是甲猜对的事件与乙猜对的事件的和，它们互斥，于是得(1－p)＋p＝，解得p＝，所以p＝. (2)由(1)知，“梦之队”每一轮活动中猜对1个谜语的事件概率为， 猜对两个谜语的事件概率为×＝， “梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的事件是第一轮猜对两个第二轮猜对一个事件A与第一轮猜对一个第二轮猜对两个的事件B的和，它们互斥， P(A)＝×＝，P(B)＝×＝， 所以“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$