第10章 课时冲关60 二项式定理(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关60　二项式定理 [基础训练组] 1．(2024·北京卷)在4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6　 　　B．－6 　　C．12 　 　D．－12 答案： 解析：A　[4的二项展开式为Tr＋1＝Cx4-rr＝Crx4-(r＝0，1，2，3，4). 令4－＝3，解得r＝2， 故所求即为C2＝6.故选A.] 2．(2025·贵阳模拟)若展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：A　[易得的通项Tr＋1＝C()n－r＝C·2rx－，又展开式中存在常数项则－＝0有解，即3n＝5r，故正整数n的最小值是5，此时r＝3.] 3．(2025·山东临沂模拟)若实数a＝2－，则a12－2Ca11＋22Ca10－…＋212等于(　　) A．－32 B．32 C．－64 D．64 解析：D　[由题意可得a12－2Ca11＋22Ca10－…＋212＝(a－2)12＝(2－－2)12＝32.故选D.] 4．(2025·河南南阳模拟)的展开式中的系数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：B　[＝的通项公式Tr＋1＝Cyr， 令r＝2，则T3＝Cy2＝ Cy2，所以的系数为C＝6.] 5．(2025·黑龙江大庆市东风中学模拟)在(x＋1)n(x∈N＋)的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：D　[当n＝7时，(a＋b)7的展开式有8项，(a＋b)7的展开式中二项式系数C，C最大， 即第四项和第五项的二项式系数最大； 当n＝8时，(a＋b)8的展开式有9项，(a＋b)8的展开式中二项式系数C最大， 即第五项的二项式系数最大； 当n＝9时，(a＋b)9的展开式有10项，(a＋b)9的展开式中二项式系数C，C最大， 即第五项和第六项的二项式系数最大． 当n＝10时，(a＋b)10的展开式有11项，(a＋b)10的展开式中二项式系数C最大， 即第六项的二项式系数最大．] 6．(多选)(2025·茂名模拟)已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有(　　) A．所有奇数项的二项式系数和为212 B．所有项的系数和为312 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 解析：BD　[因为n＋1＝13，所以n＝12，所有奇数项的二项式系数和为211，A不符合题意；令x＝1，得所有项的系数和为312，B符合题意；由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，C不符合题意；因为展开式通项为Tr＋1＝C·(2x)12-r·(x－)r＝212-rCx12-r，当12－r为整数时，r＝0，3，6，9，12，共有5项，D符合题意．] 7．(2025·福建泉州市城东中学模拟)(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值可以为(　　) A．1或－3 B．－1 C．－1或3 D．－3 解析：A　[在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中， 令x＝－2可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，即(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)＝m9， 令x＝0，可得a0＋a2＋…＋a8＋a1＋a3＋…＋a9＝(2＋m)9， ∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39， ∴(a0＋a2＋…＋a8＋a1＋a3＋…＋a9)[(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39， ∴(2＋m)9·m9＝(2m＋m2)9＝39， 整理得2m＋m2＝3，解得m＝1，或m＝－3.] 8．(2025·龙岩市模拟)(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________． 解析：二项展开式的通项是Tr＋1＝C(x)4-r·(－y)r＝(－1)rCx4-y2+，令4－＝2＋＝3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6. 答案：6 9．若(x＋y)3(2x－y＋a)5的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x的次数为1的项的系数为________． 解析：取x＝y＝1，则(x＋y)3(2x－y＋a)5的展开式中各项系数的和为：23×(a＋1)5＝256. 故a＝1，则 (x＋y)3(2x－y＋a)5＝(x＋y)3(2x－y＋1)5，(x＋y)3的展开式：Tm＋1＝Cx3-mym；(2x－y＋1)5的展开式：Tn＋1＝C(2x)5-n(－y＋1)n. 取m＝2，n＝5得到：Cxy2·C(－y＋1)5， 取y＝1得到系数为0； 取m＝3，n＝4得到：Cy3·C·2x(－y＋1)4，取y＝1得到系数为0； 综上所述：该展开式中含字母x且x的次数为1的项的系数为0. 答案：0 10．若(x＋5)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，T＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，则T被5除所得的余数为________． 解析：由题知x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝62 023＝(5＋1)2 023, 故 T＝C52 023＋C52 022＋…＋C51＋1， ＝(C52 023＋C52 022＋…＋C51＋1)＝(C52 023＋C52 022＋…＋C51)＋，所以被5除得的余数是1. 答案：1 [能力提升组] 11．(2025·山东枣庄月考)设n为正整数，(a＋b)2n展开式的二项式系数的最大值为x，(a＋b)2n+1展开式的二项式系数的最大值为y，若＝，则n＝________． 解析：由题意可知：x＝C，y＝C， 若＝，则＝＝＝，解得n＝5. 答案：5 12．(2025·上虞模拟)已知(3x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a3＝________，＋＋…＋＝________． 解析：∵(3x－1)10展开式的通项为： Tr＋1＝C·(3x)10-r·(－1)r＝(－1)r·310-rC·x10-r， ∴令r＝7，可得a3＝(－1)7×33C＝－3 240； 令x＝0得：a0＝(－1)10＝1； 令x＝得：a0＋＋＋…＋＝0， ∴＋＋…＋＝0－1＝－1. 答案：－3 240　－1 13．(2025·江苏南京调研)在10的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项为第几项． 解：(1)二项式系数最大的项为中间项，即第6项， 所以T6＝C·5·x－＝－x－. (2)设第r＋1项的系数的绝对值最大， 则 整理得，解得≤r≤，所以r＝3. 故系数的绝对值最大的项为第4项． 14．已知二项式n，且n满足C－2C＝12. (1)求n的值，并求二项式系数最大的项； (2)求二项展开式中含x4项的系数； (3)请直接写出展开式中所有项的系数的和． 解：(1)因为C－2C＝12，即－2n＝12，整理得n2－5n－24＝0， 解得n＝8或n＝－3(舍去)，故n＝8. 所以n＝8展开式的通项为Tr＋1＝Cx8-rr＝Cx8-2rr(0≤r≤8且r∈N)， 则T5＝Cx04＝，故二项式系数的最大项为第5项，为. (2)令8－2r＝4，解得r＝2， 所以T3＝Cx42＝7x4， 所以二项展开式中含x4项的系数为7. (3)对于8，令x＝1可得8＝， 所以展开式中所有项的系数的和为. 学科网（北京）股份有限公司 $$