第10章 课时冲关59 计数原理(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关59　计数原理、排列与组合 [基础训练组] 1．(2025·江苏宿迁期中)某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有(　　) A．24种　　B．10种　　C．9种　　D．15种 解析：D　[依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有3×4＝12种选择； 第二类：选择连衣裙，共有3中选择； 所以共有12＋3＝15种选择．故选D.] 2．(2025·安徽安庆三模)A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有(　　) A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 解析：B　[①A校去乙地有CCA＝24种； ②A校与另一所学校去丙地有CC＝12种， ③A校单独去丙地有C＝6种， 所以共有24＋12＋6＝42种．故选B.] 3．如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有(　　) A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 解析：D　[先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有5×4×3×＝420(种).故选D.] 4． (2025·合肥模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(　　) A．8种 B．14种 C．20种 D．116种 解析：B　[按照甲是否在天和核心舱划分， ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有C·A＝3×2＝6种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有C·C＝2×4＝8种可能；根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14种可能．] 5．2025年4月15日，是第十个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有(　　) A．28种 B．32种 C．36种 D．44种 解析：B　[根据题意：分成以下两种情况进行分类讨论： 高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有CA＝12种排法，当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有AA＝4种排法，所以高校甲排在第二个时共有16种排法； 高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，则共有CCCA＝16种排法； 综上：共有32种排法满足题意．] 6．(多选)(2025·沈阳模拟)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　) A．若任意选科，选法总数为C B．若化学必选，选法总数为CC C．若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1 解析：BD　[若任意选科，选法总数为CC，A错误；若化学必选，选法总数为CC，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C(CC＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1，D正确．] 7．(多选)现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则(　　) A．所有可能的安排方法有125种 B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种 C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种 D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种 解析：AB　[对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有53＝125(种)，A正确；对于B，由选项A知，所有可能的方法有53种，A医院没有专家去的方法有43种，所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有53－43＝61(种)，B正确；对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有52＝25(种)，C错误；对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有A＝60(种)，D错误．] 8．(2025·福建莆田测试)从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有________种． 解析：①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有C＝3种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有C＝6种结果，余下的两个学科给剩下的两个人，有A＝2种结果，所以不同的安排方案共有3×6×2＝36种． ②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来， 有C＝3种结果，再将四门不同学科分成两堆，有＝3种结果，将学科分给学生， 有A＝2种结果，所以不同的安排方案共有3×3×2＝18种． 综合得不同的安排方案共有36＋18＝54种． 答案：54 9． 泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有________种(用数字作答). 解析：依题意相当于将8个相同的小球，放入5个盒子中，且每个盒子不空，则在8个小球中的7个空档插入4个板，分为5堆，则有C＝35(种)分法，即通过的桥孔组合有35种，再对4艘参赛船全排列有A＝24(种)排法，故共有CA＝35×24＝840(种)方法． 答案：840 10．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)共有多少种放法？ (2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ (4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？ 解：(1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256(种). (2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法CCCA＝144(种). (3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法． (4)先从四个盒子中任取两个有C种，问题转化为“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3，1)，(2，2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C·C种放法；第二类：有C种放法．因此共有CC＋C＝14(种).由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C·14＝84(种). [能力提升组] 11．(2025·湖南永州开学考试)在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是(　　) A．38 B．42 C．50 D．56 解析：C　[①如果参加接待工作只有一人，则只能为甲， 再把其余4人分组有两类情况：1∶3和2∶2. 把4人按1∶3分组，有C种分组方法，按2∶2分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为C＋， 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有A种方法， 所以不同分配方法种数是A＝(4＋3)×2＝14. ②如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有C种情况， 再把其余3人分组成1∶2，有C种分组方法， 再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有A种方法， 所以不同分配方法种数是CCA＝4×3×2＝24. ③如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有C种情况， 再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有A种方法， 所以不同分配方法种数是CA＝6×2＝12. 综上，不同的志愿者分配方案的种数是14＋24＋12＝50.故选C.] 12．(多选)(2025·福建三明模拟)某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则(　　) A．甲乙都不选的方案共有432种 B．选甲不选乙的方案共有216种 C．甲乙都选的方案共有96种 D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1 440种 解析：ABC　[男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班， 甲乙都不选的方案共有CCA＝432种，A正确；选甲不选乙的方案共有CCCA＝216(种)，B正确；甲、乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一， 乙排星期一的方案共有CCCA＝48(种)，乙不排星期一的方案共有ACCA＝48(种)， ∴甲、乙都选的方案共有48＋48＝96(种)，C正确；这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲、乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选，选乙不选甲的方案共有CCCA＝432(种)，∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432＋216＋432＋96＝1 176(种)，D错误．] 13． (2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力．现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有________种不同的涂色方法． 解析：当选择两种颜色时，因为橄榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有C－1＝5(种)选法，因此不同的涂色方法有5×2＝10(种)， 当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有2种选法， 因此不同的涂色方法有2×2×2＝8(种)， 当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有2种选法， 因此不同的涂色方法有2×3×2×(2＋1)＝36(种)， 当选择四种颜色时，不同的涂色方法有2×2×2＋2×2＝12(种)， 所以共有10＋8＋36＋12＝66(种)不同的涂色方法． 答案：66 14．(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有4×3×2×1＝24种选法． 每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： (11，22，33，44)，(11，22，34，43)，(11，22，33，44)，(11，22，34，42)，(11，24，33，43)，(11，24，33，42)，(12，21，33，44)，(12，21，34，43)，(12，22，31，44)，(12，22，34，40)，(12，24，31，43)，(12，24，33，40)，(13，21，33，44)，(13，21，34，42)，(13，22，31，44)，(13，22，34，40)，(13，24，31，42)，(13，24，33，40)，(15，21，33，43)，(15，21，33，42)，(15，22，31，43)，(15，22，33，40)，(15，22，31，42)，(15，22，33，40)，所以选中的方格中，的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112. 答案：24　112 学科网（北京）股份有限公司 $$