第9章 课时冲关58 成对数据的统计分析(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关58　成对数据的统计分析 [基础训练组] 1．(2025·辽宁大连模拟)为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中．由列联表中的数据计算得χ2≈10.921.参照附表，下列结论正确的是(　　) P(χ2≥k) 0.025 0.010 0.005 0.001 k 5.020 6.635 7.879 10.828 A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C．有99.99%以上的把握认为“药物有效” D．有99.99%以上的把握认为“药物无效” 解析：A　[因为χ2≈10.921，即χ2＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”．] 2．(2025·辽宁联考)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi数据作了初步处理，得到下面的散点图．根据散点图判断，下面四个回归模型中，最适合的是(　　) A．y＝bx＋a　　　　　B．y＝bx2＋a C．y＝b＋a D．y＝b sin x＋a 解析：C　[由散点图看出，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近，整体趋势递增，单位增长率逐渐变小，所以函数y＝b＋a较适宜．故选C.] 3．(2025·四川树德中学模拟)某工厂研究某种产品的产量X(单位：吨)与需求某种材料Y(单位：吨)之间的相关关系，在生产过程中收集两组数据如表所示．根据表中数据可得回归直线方程为Y＝0.7X＋a，则下列四个说法中正确的个数为(　　) X 3 4 6 7 Y 2.5 3 4 5.9 ①变量X与Y正相关；②Y与X的相关系数r＜0；③a＝0.35；④产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨． A．4个　　B．3个　　C．2个　　D．1个 解析：B　[因为回归直线方程Y＝0.7X＋a，所以产量X与材料Y呈正相关，所以相关系数r＞0，故①正确，②错误；由表格可得 ＝＝5，＝＝3.85， 则0.7×5＋a＝3.85，解得a＝0.35，故③正确； 所以回归直线方程Y＝0.7X＋0.35， 当x＝8时，y＝0.7×8＋0.35＝5， 即产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨，故④正确．] 4．(2025·天津期末)下列说法正确的个数是(　　) ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强，故①正确； 独立性检验并不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故②错误； 回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故③正确； 回归分析中，可用R2判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故④正确．故选C.] 5．如图是某地区2014年至2023年的空气污染天数y(单位：天)与年份x的折线图．根据2014年至2018年的数据，2019年至2023年的数据，2014年至2023年的数据分别建立线性回归模型y＝b1x＋a1，y＝b2x＋a2，y＝b3x＋a3，则(　　) A．b1＜b2＜b3，a1＜a2＜a3 B．b1＜b3＜b2，a1＜a3＜a2 C．b2＜b3＜b1，a1＜a3＜a2 D．b2＜b3＜b1，a3＜a2＜a1 解析：C　[记三条回归直线分别为l1：y＝b1x＋a1，l2：y＝b2x＋a2，l3：y＝b3x＋a3， 画出这三条回归直线的大致图象，如图所示： 由图可知这三条回归直线的斜率大小关系为b2＜b3＜b1＜0，截距大小关系为a2＞a3＞a1＞0.] 6．(多选)(2025·山东师大附中模拟)针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有(　　) 附表： P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 附：χ2＝ A．25人 B．45人 C．60人 D．75人 解析：BCD　[设男生可能有x人，依题意可得列联表如下： 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 x x x 女生 x x x 总计 x x 2x 若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ2≥3.841，由χ2＝≥3.841，解得x≥40.335，由题意知x>0，且x是5的整数倍，所以45，60和75都满足题意．] 7．(多选)某地为响应“扶贫必扶智，扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码X 1 2 3 4 5 年借阅量 Y(万册) 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得Y关于X的线性回归方程为Y＝0.24X＋，则(　　) A．＝4.68 B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7 C．Y与X的线性相关系数r＞0 D．2024年的借阅量一定不少于6.12万册 解析：ABC　[对于A，因为X＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，Y＝×(4.9＋5.1＋5.5＋5.7＋5.8)＝5.4，所以5.4＝0.24×3＋a，得a＝4.68，所以A正确，对于B，因为5×75%＝3.75，所以借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7，所以B正确，对于C，因为0.24＞0，所以Y与X的线性相关系数r＞0，所以C正确，对于D，由选项A可知线性回归方程为Y＝0.24X＋4.68，当X＝6时，Y＝0.24×6＋4.68＝6.12，所以2024年的借阅量约为6.12万册，所以D错误．] 8．(2025·安庆市质检)已知由样本数据点集合{(xi，yi)|i＝1，2，…，n}求得的回归直线方程为＝1.5x＋0.5，且＝3.现发现两个数据点(1.1，2.1)和(4.9，7.9)误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，那么，当x＝2时，y的估计值为________． 解析：∵回归直线方程为＝1.5x＋0.5，且＝3， ∴＝1.5×3＋0.5＝5，故这组数据的样本中心点是(3，5)， 又∵去除数据点(1.1，2.1)和(4.9，7.9)后重新求得的回归直线l的斜率为1.2. 且去除数据点(1.1，2.1)和(4.9，7.9)后数据的样本中心点还是(3，5)， 故5＝1.2×3＋a，解得a＝1.4，即回归直线方程为＝1.2x＋1.4， 当x＝2时，＝1.2×2＋1.4＝3.8. 答案：3.8 9．已知X，Y取值如表： X 0 1 3 5 6 Y 1 m 3m 5.6 7.4 画散点图分析可知：Y与X线性相关，且求得回归方程为Y＝X＋1，则m＝________． 解析：计算＝×(0＋1＋3＋5＋6)＝3， ＝×(1＋m＋3m＋5.6＋7.4)＝， ∴这组数据的样本中心点是，又Y与X的线性回归方程Y＝X＋1，过样本中心点， ∴＝1×3＋1，解得m＝. 答案： 10．(2025·全国模拟)某市自从启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患，同时也使机动车的通畅率降低．该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到如下2×2列联表： 30岁及以下 30岁以上 总计 闯红灯 60 未闯红灯 80 总计 200 近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济处罚，并在试行经济处罚后从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表： 处罚金额(单位：元) 5 10 15 20 闯红灯的人数 50 40 20 0 将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题． (1)将2×2列联表填写完整(不需写出填写过程)，并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关？ (2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？ (3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象． 解：(1)2×2列联表如下： 30岁及以下 30岁以上 总计 闯红灯 20 60 80 未闯红灯 80 40 120 总计 100 100 200 由表中数据，得χ2＝≈33.333.∵33.333＞10.828，∴有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关． (2)未进行处罚前，行人闯红灯的概率约为0.4，当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率约为＝＝0.2，故当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低0.2. (3)①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于试行经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，则可以进行适当经济处罚来降低行人闯红灯的概率． [能力提升组] 11．(2025·山西晋城市模拟)已知变量Y与X的一组数据如下表所示，根据数据得到Y关于X的回归方程为＝ebx-1. X 1 2 3 4 Y e2 e3 e5 e6 若＝e13，则x＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：B　[由＝ebx-1，得ln ＝bx－1， 令z＝ln y，则＝bx－1， 由题意，＝＝2.5，＝＝4， 因为(，)满足＝bx－1，所以4＝b×2.5－1，解得b＝2，所以＝2x－1，所以＝e2x-1，令e2x-1＝e13，解得x＝7.] 12．(2025·云南师大附中模拟)某中学有学生近600人，要求学生在每天上午7：30之前进校，现有一个调查小组调查某天7：00～7：30进校人数的情况，得到如下表格(其中纵坐标y表示第x－1分钟至第x分钟到校人数，1≤x≤30，x∈N＋，如当x＝9时，纵坐标y＝4表示在7：08～7：09这一分钟内进校的人数为4人).根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是Y＝3.6X－27(图中的实线表示)，乙同学得到的回归方程是Y＝0.82e0.16X(图中的虚线表示)，则下列结论中错误的是(　　) X 1 5 9 15 19 21 24 27 28 29 30 Y 1 3 4 4 11 21 36 66 94 101 106 A.7：00～7：30内，每分钟的进校人数Y与相应时间X呈正相关 B．乙同学的回归方程拟合效果更好 C．根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7：09～7：10这一分钟内的进校人数一定是9人 D．该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校 解析：C　[对于A，根据散点图知，7：00～7：30内，每分钟的进校人数Y与相应时间X呈正相关，故A正确；对于B，由图知，曲线Y＝0.82e0.16X的拟合效果更好，故乙同学的回归方程拟合效果更好，故B正确；对于C，表格中并未给出对应的值，而由甲的回归方程得到的只能是估计值，不一定就是实际值，故C错误；对于D，全校学生近600人，从表格中的数据知，7：26～7：30进校的人数超过300，故D正确．] 13．(2025·福建莆田二中模拟)已知变量Y关于X的回归方程为Y＝ebX-0.5，若对Y＝ebX-0.5两边取自然对数，可以发现ln Y与X线性相关，现有一组数据如下表所示，X＝5时，Y值为________． X 1 2 3 4 Y e e3 e4 e6 解析：对Y＝ebX-0.5两边取对数，得ln Y＝bX－0.5，令Z＝ln Y，则Z＝bX－0.5， X 1 2 3 4 Y e e3 e4 e6 Z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5. 代入＝＝0.5，得3.5＝·2.5－0.5，故＝1.6. 故Z＝1.6X－0.5，Y＝e1.6X-0.5，当X＝5时，Y＝e1.6×5-0.5＝e. 答案：e 14．(2025·四川省仁寿县文宫中学模拟)文旅部门统计了某网红景点在2023年3月至7月的旅游收入Y(单位：万)，得到以下数据： 月份X 3 4 5 6 7 旅游收入Y 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数Y加以判断，是否可用线性回归模型拟合Y与X的关系？若可以，求出Y关于X之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数r＝ ，参考数据：≈3.162.线性回归方程：Y＝X＋，其中＝＝，＝－. χ2＝. 临界值表： P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 解：(1)由已知得： ＝5，＝13， (xi－)2＝10， (yi－)2＝64， (xi－)(yi－)＝20， r＝＝＝≈0.791，因为|r|≈0.791∈[0.75，1]， 说明Y与X的线性相关关系很强．，可用线性回归模型拟合Y与X的关系， ∴＝＝2，＝－＝13－10＝3，则Y关于X的线性回归方程为：Y＝2X＋3. (2)2×2列联表如下所示： 喜欢 不喜欢 总计 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 根据列联表中数据，χ2＝ ≈18.182＞10.828， 所以能够在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 学科网（北京）股份有限公司 $$