第9章 课时冲关57 用样本估计总体(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关57　用样本估计总体 [基础训练组] 1．(2025·陕西铜川模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为(　　) A．10　　　　　　　　B．20 C．25 D．40 解析：B　[由图甲可知抽取的高中生人数是70×＝40， 又由图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生中近视人数为40×50%＝20人．故选B.] 2．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表 亩产 量 [900， 950) [950， 1000) [1000， 1050) [1050， 1100) [1100， 1150) [1150， 1200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1050 kg B．100块稻田中亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1000 kg之间 解析：C　[对于A, 根据频数分布表可知， 6＋12＋18＝36<50， 所以亩产量的中位数不小于 1050 kg, 故A错误； 对于B，亩产量不低于1100 kg的频数为24＋10＝34， 所以低于1100 kg的稻田占比为＝66%，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为1200－900＝300，最小为1150－950＝200，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为×(6×925＋12×975＋18×1025＋30×1075＋24×1125＋10×1175)＝1067，故D错误．故选C.] 3．新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠(yuè)、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.154 7，3.199 2，3.149 8，3.203 1，比《周髀算经》的“径一而周三”前进了一大步，则上面4个数据与祖冲之给出的约率，密率，这6个数据的中位数与极差分别为(　　) A．3.142 9，0.061 5　　B．3.152 3，0.061 5 C．3.149 8，0.048 4 D．3.154 7，0.048 4 解析：B　[所给6个数据由小到大排列依次为3.141 6，3.142 9，3.149 8，3.154 7，3.199 2，3.203 1，所以这6个数据的中位数为(3.149 8＋3.154 7)÷2≈3.1523，极差为3.203 1－3.141 6＝0.061 5.] 4．(2025·四川一模)一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量(单位： kg)，将全部数据按区间，，…，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图： 根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是(　　) A．图中a的值为0.005 B．这200天中有140天的日销售量不低于80 kg C．这200天销售量的中位数的估计值为85 kg D．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要(在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求)，则每天的苹果进货量应为91 kg 解析：D　[对于选项A，由图知(a＋a＋0.02＋0.04＋0.03)×10＝1，解得a＝0.005，所以选项A正确； 对于选项B，由图知日销售量不低于80 kg的频率为0.7，由0.7×200＝140，所以选项B正确； 对于选项C，设中位数为x，由(x－80)×0.4＝0.5－0.2－0.05－0.05，解得x＝85，所选项C正确； 对于选项D，设第85%分位数为a，则有(100－a)×0.03＝0.15，得到a＝95，所以选项D错误．故选D.] 5．为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动．已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为s，s.记该班成绩的方差为s2，则下列判断正确的是(　　) A．s2＝ B．s2≥ C．s2＝ D．s2≥ 解析：D　[记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，，则s＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x20－)2] ＝[x＋x＋…＋x－2(x1＋x2＋…＋x20)＋202] ＝[x＋x＋…＋x－40x-2＋20x-2] ＝[x＋x＋…＋x－202]＝－2， 同理s＝－2， ∴＝20s＋202，＝30s＋302，′＝(20＋30)＝， ∴s2＝(＋)－′2 ＝＋2＋2－ ＝＋(－)2≥.] 6．(多选)(2025·全国模拟)已知一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2…，n)，c为非零常数，则这两组样本数据的数字特征相同的是(　　) A．平均数 B．方差 C．众数 D．极差 解析：BD　[对于A，原样本数据的平均数＝，新样本数据的平均数＝＝＋c(c≠0)，所以A错误；对于B，原样本数据的方差s＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，新样本数据的方差为s＝ ×{[(x1＋c)－(＋c)]2＋[(x2＋c)－(＋c)]2＋…＋[(xn＋c)－(＋c)]2} ＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝s，所以B正确；对于C，设样本数据x1，x2，…，xn的众数为M，则新样本数据y1，y2，…，yn的众数为M＋c(c≠0)，所以C错误；对于D，不妨设样本数据x1，x2，…，xn中x1，xn分别为最小值和最大值，极差为xn－x1，则新样本数据y1，y2，…，yn中y1，yn分别为最小值和最大值，极差为yn－y1＝(xn＋c)－(x1＋c)＝xn－x1，所以D正确．] 7．2023年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代．如图是2023年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图(单位：万台，%)，则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是(注：同比，即和去年同期相比)(　　) A．这10个月我国彩电月度产量的中位数为1 726万台 B．这10个月我国彩电月度平均产量不超过1 600万台 C．自2023年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降 D．这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4 解析：D　[将这10个月我国彩电月度产量(单位：万台)按从小到大排列依次为1 513，1 540，1 553，1 650，1 727，1 783，1 802，1 846，1 926，2 097， 中位数为第5个数与第6个数的平均数，即＝1 755，A错误；这10个月我国彩电月度平均产量＝(1 513＋1 540＋1 553＋1 650＋1 727＋1 783＋1 802＋1 846＋1 926＋2 097)＝1 743.7万台，B错误；自2023年9月起，我国彩电月度产量虽然逐月减少，但同比是与去年同月相比，由同比增长率可知，9月、10月、11月的同比增长率均为正数，故月度产量同比有所增长，C错误；由题图可知，这10个月产量的同比增长率的最大值与最小值分别为25.6%与－8.3%，故其极差为25.6%＋8.3%＝33.9%＜0.4，故D正确．] 8．(2025·大连测试)已知18个整数的中位数为5，第75百分位数也为5，那么这18个数中，5的个数的最小可能值为________． 解析：由题意，将18个整数由小到大排列，中位数为第9位和第10位数的平均数， 又18×0.75＝13.5，则第75百分位数为第14位数，故第14位数是5， 故第9位和第10位数也是5，所以5的个数的最小可能值为6个． 答案：6 9．气象意义上从春季进入夏季的标志为：连续5天每天日平均温度不低于22 ℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：℃)： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2. 则肯定进入夏季的地区有________个． 解析：甲地肯定进入夏季，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22 ℃，则中位数不可能为24；乙地不一定进入夏季，如13，23，27，28，29；丙地肯定进入夏季，因为10.2×5－(32－26)2≥(26－x)2，所以15≥(26－x)2，若x≤22不成立，故甲地与丙地两地肯定进入夏季． 答案：2 10．(2025·广东肇庆期末)某学校教研室为了解高一学生期末考试的数学成绩情况，随机抽取了120个学生，把记录的数学成绩分为5组：，，，，，并绘制成了频率分布直方图，如图所示． 注：90分及以上为及格． (1)求a的值，并估计数学成绩的中位数及众数； (2)在样本中，若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取数学成绩不及格和及格的学生共20人，求及格的学生应抽取多少人． 解：(1)由频率分布直方图的性质可得，×20＝1， 解得a＝0.0125， 设中位数为x，因为×20＝0.25<0.5， ×20＝0.65>0.5， 所以中位数在范围内， 则×20＋×0.02＝0.5，解得x＝102.5， 则中位数为102.5，再由频率分布直方图可知众数为100. (2)由频率分布直方图可知，及格的人数为×20×120＝90人， 再由分层抽样可得，及格的学生应抽取×20＝15人． [能力提升组] 11．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　　) A．1＋a，4 B．1＋a，4＋a C．1，4 D．1，4＋a 解析：A　[法一：∵yi＝xi＋a，∴E(yi)＝E(xi)＋E(a)＝1＋a，方差D(yi)＝D(xi)＋E(a)＝4. 法二：由题意知yi＝xi＋a，则＝(x1＋x2＋…＋x10＋10×a)＝＋a＝1＋a，方差s2＝[(x1＋a)－(＋a)2＋(x2＋a)－(＋a)2＋…＋(x10＋a)－(＋a)2]＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＝s2＝4.] 12．某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的有(　　) A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 解析：A　[对于甲，由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于2，所以甲一定能通过；对于乙，设乙每天的合格品件数为ai(i＝1，2，3，4，5)，ai∈Z，则≤1，即 (ai－23)2≤5.若乙有不止一天的合格品数低于21， (ai－23)2＞5，不合题意；若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取a1＝21，(a1－23)2＝4，因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24，无论哪种情况，都可以得到 (ai－23)2＞5，不合题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过；对于丙，若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过；所以甲、乙一定能通过，A正确．] 13．(2025·河南商丘市第一高级中学模拟)甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6)，并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3，众数为5；②中位数为3，极差为3；③中位数为1，平均数为2；④平均数为3，方差为2；可以判断一定没有出现6点的描述共有________人． 解析：①5出现两次，又中位数为3，则数据从小到大为m，n，3，5，5，一定没有6；②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为1，m，3，n，4、2，m，3，n，5、3，3，3，m，6，故可能出现6；③中位数为1，平均数为2，则数据从小到大为1，1，1，m，n，即m＋n＝7，故可能出现6；④平均数为3，方差为2，则满足要求且含6的数据从小到大为a，b，c，d，6，故a＋b＋c＋d＝9且(a－3)2＋(b－3)2＋(c－3)2＋(d－3)2＝1、a≤b≤c≤d，显然不能同时满足，故一定没有6.综上，①④一定没有6. 答案：2 14．(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 伸缩率xi 伸缩率yi 1 545 536 2 533 527 3 551 543 4 522 530 5 575 560 6 544 533 7 541 522 8 568 550 9 596 576 10 548 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 解：(1)＝[545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548]＝552.3， ＝[536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536]＝541.3， ＝－＝552.3－541.3＝11. zi＝xi－yi的值分别为：9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 故s2＝[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知：＝11，2＝2＝，故有≥2，所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 学科网（北京）股份有限公司 $$