第9章 课时冲关56 随机抽样(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关56　随机抽样 [基础训练组] 1．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是(　　) A．简单随机抽样　　　B．抽签法 C．随机数法 D．分层随机抽样 解析：D　[样本由差异较大的几部分组成，每层样本量与层的大小比例相等，即为分层随机抽样．] 2．(2025·河南濮阳模拟)中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球．某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为(　　) A．23　　　B．92　　　C．128　　　D．180 解析：B　[由题意，100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数为100－32－45＝23人，故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为×23＝92人．] 3．在100个球中有红球40个，黄球60个，通过比例分配的分层随机抽样的方法，得到红球的平均重量是60克，黄球的平均重量是80克，则所有球的平均重量是(　　) A．60克 B．80克 C．72克 D．70克 解析：C　[所有球的平均重量为×60＋×80＝72克．] 4．从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为(　　) A． B．k＋m－n C． D． 解析：C　[设总人数为a，则＝，a＝.] 5．(2025·四川省资阳中学月考)某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为175 cm、177.6 cm，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为(　　) A．176 cm B．176.3 cm C．176.6 cm D．176.9 cm 解析：A　 [根据题意，抽出来的13个的样本中，甲班男生有13×＝8人，乙班男生有13×＝5人，所以根据题意得两个班男生的平均身高为(175×8＋177.6×5)＝176.] 6．(2025·湖北荆州模拟)“荆、荆、襄、宜四校联考”正在如期开展，组委会为了解各所学校学生的学情，欲从四地选取200人作样本开展调研．若来自荆州地区的考生有1000人，荆门地区的考生有2000人，襄阳地区的考生有3000人，宜昌地区的考生有2000人．为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有(　　) ①用分层抽样的方法分别抽取荆州地区学生25人、荆门地区学生50人、襄阳地区学生75人、宜昌地区学生50人； ②可采用简单随机抽样的方法从所有考生中选出200人开展调研； ③宜昌地区学生小刘被选中的概率为； ④襄阳地区学生小张被选中的概率为. A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 解析：B　[用分层抽样的方法，由四区的考生人数之比为1∶2∶3∶2，共抽取200人， 可得分别抽取荆州地区学生25人、荆门地区学生50人，襄阳地区学生75人，宜昌地区学生50人，故①正确； 由于各校情况不相同，不可采用简单随机抽样的方法从所有考生中选出200人开展调研，故②错误； 由抽样特点可得各个个体被选中的概率相等，均为＝，故③正确，④错误．故选B.] 7．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 下列结论中，正确的是(　　) A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同 B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀) C．甲班的成绩波动情况比乙班的成绩波动大 D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 解析：ABC　[甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，A正确；s＝191＞110＝s，∴甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，∴C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，∴B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，∴D错误．] 8．(2025·全国模拟)经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人．按分层随机抽样的方法从全班选出部分学生参加摄影讲座，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班学生中“喜欢”摄影的人数比全班学生人数的一半还多______人． 解析：设班里“喜欢”摄影的有y人，持“一般”态度的有x人，“不喜欢”摄影的有(x－12)人，则＝，解得x＝18.因为＝，所以y＝30，所以全班共30＋18＋6＝54(人). 又30－＝3，所以“喜欢”摄影的人数比全班学生人数的一半还多3人． 答案：3 9．某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm，则该校高一学生的平均身高的估计值为______． 解析：由题意可知，＝170.2，＝162.0且M＝320，N＝280所以样本平均数＝＋＝×170.2＋×162.0≈166.4(cm)，故该校高一学生的平均身高的估计值为166.4 cm. 答案：166.4 cm 10．某地区有高中生7 200人，初中生11 800人，小学生12 000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，决定采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小学生的近视率分别为80%、70%和36%. (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率； (2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为60、100和150，那么在这种情况下，抽取的样本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少？ 解：(1)分配比例为＝，所以在高中生、初中生、小学生中分别抽取7 200×＝72(人)，11 800×＝118(人)，12 000×＝120(人).总样本量为310人的学生的近视率为×80%＋×70%＋×36%＝59%.在比例分配的分层随机抽样中，我们直接用样本平均数估计总体平均数，所以可以估计该地区全体中小学生的近视率为59%. (2)抽取的样本的近视率是×80%＋×70%＋×36%＝55.48%.用各层的样本平均数估计该层的总体平均数，由总体数为7 200＋11 800＋12 000＝31 000，得总体平均数为×80%＋×70%＋×36%＝59%.即该地区全体中小学生的近视率约为59%. [能力提升组] 11．(2025·陕西西安一模)某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是(　　) 32 21 18 34 29　78 64 54 07 32　52 42 06 44 38 12 23 43 56 77　35 78 90 56 42 84 42 12 53 31　34 57 86 07 36　25 30 07 32 86 23 45 78 89 07　23 68 96 08 04 32 56 78 08 43　67 89 53 55 77　34 89 94 83 75 22 53 55 78 32　45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 解析：A　[从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313， 第三个数是457，下一个数是860，不符合要求， 下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个数是623，故选A.] 12．已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x；样本y1，y2，…，ym的平均数为y(x≠y)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y；其中0＜a＜，则n，m(n, m∈N＋)的大小关系为(　　) A．n＝m B．n≥m C．n<m D．n>m 解析：C　[由样本x1，x2，…，xn的平均数为x，样本y1，y2，…，ym的平均数为y，样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜，∴＝x＋y＝ax＋(1－a)y，∴a＝，又0＜a＜时，1－a＞a，∴＞，∴m＞n.] 13．(2025·全国模拟)佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x(单位：克)与香囊功效y之间满足y＝15x－x2，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的方差为________． 解析：设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为xi克，香囊功效分别为yi，i＝1，2，…，6. 草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，即x1＋x2＋…＋x6＝36，y1＋y2＋…＋y6＝15(x1＋x2＋…＋x6)－(x＋x＋…＋x)＝90， 则x＋x＋…＋x＝450，则这6个香囊中草药甲含量的方差s2＝ [(x1－6)2＋(x2－6)2＋…＋(x6－6)2] ＝[(x＋x＋…＋x)－12(x1＋x2＋…＋x6)＋6×36]＝(450－12×36＋6×36)＝39. 答案：39 14．(2025·郑州市质检)最新高考改革方案已在上海和浙江开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下： 赞成改革 不赞成改革 无所谓 教师 120 y 40 学生 x z 130 在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z＝2y. (1)现从全部500名师生中用分层随机抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？ (2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率． 解：(1)由题意知＝0.3，所以x＝150，所以y＋z＝60，因为z＝2y，所以y＝20，z＝40，则应抽取“不赞成改革”的教师人数为×20＝2，应抽取“不赞成改革”的学生人数为×40＝4. (2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a，b，4名学生记为1，2，3，4，随机选出3人的不同选法有(a，b，1)，(a，b，2)，(a，b，3)，(a，b，4)，(a，1，2)，(a，1，3)，(a，1，4)，(a，2，3)，(a，2，4)，(a，3，4)，(b，1，2)(b，1，3)，(b，1，4)，(b，2，3)，(b，2，4)，(b，3，4)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共20种， 至少有1名教师的选法有(a，b，1)，(a，b，2)，(a，b，3)，(a，b，4)，(a，1，2)，(a，1，3)，(a，1，4)，(a，2，3)，(a，2，4)，(a，3，4)，(b，1，2)(b，1，3)，(b，1，4)，(b，2，3)，(b，2，4)，(b，3，4)，共16种， 故至少有1名教师被选出的概率P＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$