第4章 课时冲关27 解三角形的综合问题(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关27　解三角形的综合问题 [基础训练组] 1．(2025·济宁月考)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若2a2＋2b2＝5c2，则cos C的最小值为________． 解析：因为2a2＋2b2＝5c2，所以c2＝， 所以由余弦定理得cos C＝＝＝≥＝， 当且仅当a＝b时等号成立，所以cos C的最小值为. 答案： 2．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(sin A＋sin B)(a－b)＝sin C(a－c)，若b＝1，则a2＋c2的取值范围是________． 解析：因为(sin A＋sin B)(a－b)＝sin C(a－C)，由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理得cos B＝＝，而B∈(0，π)，所以B＝， 因为b＝1，由正弦定理知＝＝＝2， 所以a2＋c2＝4sin2A＋4sin2C ＝2(1－cos2A)＋2(1－cos 2C) ＝4－2 ＝4＋2sin ， 因为在锐角△ABC中，有0＜A＜，0＜－A＜，得＜A＜， 所以＜2A－＜，此时＜sin ≤1，则7＜a2＋c2≤4＋2. 答案：(7，4＋2] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解析：(1)因为A＋B＝3C，所以A＋B＝3(π－A－B)，所以A＋B＝，所以C＝， 另外，由题意得：2sin (A－C)＝sin (A＋C)， 即2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos Asin C， 所以sin A＝3cos A，变形得sin2A＝9(1－sin2A)，故sinA＝. (2)由sin A＝3cos A， 得cos A＝sin A＝， 所以sin B＝sin (A＋C)＝×＋×＝，由＝，解得AC＝2， 所以S△ABC＝×5×2×＝15， 设AB边上的高为h，则AB·h＝15，解得h＝6.故AB边上的高为6. 4．(2025·安徽联考)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c－a＝4，sin A＋sin B＝2sin C. (1)若b＝4cos B，求a的值； (2)在(1)的条件下，求△ABC的面积． 解：(1)由sin A＋sin B＝2sin C和正弦定理可得a＋b＝2c， 又2c－a＝4，则b＝2. 又因为b＝4cos B，B∈， 所以cos B＝， 由余弦定理得，cos B＝＝＝， 整理得a2－12＝0，解得a＝4. (2)由a＝4及2c－a＝4，得c＝2＋2. 因为cos B＝，B∈，所以sin B＝， 所以S△ABC＝ac sin B＝×4××＝6＋2. 5．(2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝b cos B. (1)求∠A； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积． 条件①：b＝7；条件②：cos B＝；条件③：c sin A＝. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)由题意得2sin B cos B＝b cos B，因为A为钝角， 所以cos B≠0，则2sin B＝b，则＝＝＝，解得sin A＝， 因为A为钝角，则A＝. (2)选择①b＝7，则sin B＝b＝×7＝，因为A＝，则B为锐角，则B＝， 此时A＋B＝π，不合题意，舍弃； 选择②cos B＝，因为B为三角形内角， 则sin B＝＝， 则代入2sin B＝b得2×＝b，解得b＝3， sin C＝sin ＝sin ＝sin cos B＋cos sin B＝×＋×＝， 则S△ABC＝ab sin C＝×7×3×＝. 选择③c sin A＝，则有c×＝，解得c＝5， 则由正弦定理得＝，即＝，解得sin C＝， 因为C为三角形内角，则cos C＝＝， 则sin B＝sin ＝sin ＝sin cos C＋cos sin C＝×＋×＝， 则S△ABC＝ac sin B＝×7×5×＝. 6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为sin C. (1)证明：sin A＝2sin B； (2)若a cos C＝b，求cos A. 解：(1)证明：由题设，ab sin C＝sin C，又sin C≠0，所以ab＝a2－b2， 由正弦定理可得sin A sin B＝sin2A－2sin2B， 所以sinB(sin A＋sin B)＝sin2A－sin2B＝(sinA＋sin B)(sin A－sin B)，又sin A＋sin B≠0， 所以sin B＝sin A－sin B，即sin A＝2sin B. (2)由(1)及题设，sin A cos C＝2sin B cos C＝sin B，且sin B＞0， 所以cos C＝∈，则＜C＜， 故sin C＝， 又cos C＝＝ ＝＝，可得sinB＝， 若cos B＝－＜－，则＜B＜π，而＜A＋B＜π，故不合题设； 所以cos B＝， 所以cos A＝cos [π－(B＋C)]＝－cos (B＋C)＝sin B sin C－cos B cos C ＝×－×＝－. [能力提升组] 7．(2025·山东济南模拟)如图，已知在△ABC中，M为BC上一点，AB＝2AC≤BC，B∈且sin B＝. (1)若AM＝BM，求的值； (2)若AM为∠BAC的平分线，且AC＝1，求△ACM的面积． 解：(1)因为sin B＝，B∈，所以cos B＝＝，因为AB＝2AC，所以由正弦定理知＝＝2，即sin C＝2sin B，因为AM＝BM，所以∠AMC＝2∠B，sin ∠AMC＝sin 2B＝2sin B cos B，在△AMC中，＝＝＝cos B＝. (2)由题意知AB＝2AC＝2，设BC＝x，由余弦定理得cos B＝＝，解得BC＝2或BC＝.因为2AC≤BC，所以BC＝2，因为AM为∠BAC的平分线，∠BAM＝∠CAM所以＝＝(h为底边BC的高)所以＝＝2，故CM＝BC＝，而由(1)知sin C＝2sin B＝，所以S△ACM＝AC·CM·sin C＝×1××＝. 8．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n. (1)求角B的大小； (2)若b＝，求a＋c的范围． 解：(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)， 且m⊥n，∴(2a＋c)cos B＋b cos C＝0， ∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin B cos C＝0， ∴2cos B sin A＋cos B sin C＋sin B cos C＝0. 即2cos B sin A＝－sin (B＋C)＝－sin A. ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－. ∵0＜B＜π，∴B＝. (2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号． ∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2. 又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2].即a＋c的取值范围是(，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$