第4章 课时冲关26 正弦定理和余弦定理及应用举例(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关26　正弦定理和余弦定理及应用举例 [基础训练组] 1．(2025·莆田市模拟)在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝－，则AC的值为(　　) A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5 解析：B　[△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝－，∴c2＝a2＋b2－2ab cos C，即16＝4＋b2－4b×，化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，∴b＝AC＝3.] 2．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝(　　) A． B． C． D． 解析：B　[因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2，则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.] 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2c cos A，c＝2b cos A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：C　[由正弦定理，得sin B＝2sin C cos A，sin C＝2sin B cos A，即sin (A＋C)＝2sin C cos A＝sin A cos C＋cos A sin C，即sin A cos C－cos Asin C＝0，所以sin (A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形为等边三角形．] 4．(2025·河北保定三模)已知△ABC外接圆的半径为R，且＝sin B，sin B＝2sin A，c＝2，则△ABC的面积为(　　) A． B． C． D． 解析：B　[因为＝sin B， 所以由＝2R得a2－c2＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab. 由余弦定理得cos C＝＝， 所以由0<C<π得C＝， 因为sin B＝2sin A，所以b＝2a，因为c＝2， 由余弦定理得22＝a2＋4a2－2×a×2a cos ＝3a2，解得a2＝， 所以S△ABC＝ab sin ＝×2a2×＝.故选B.] 5．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A． B． C． D． 解析：C　[因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得sin A sin C＝sin 2B＝. 由余弦定理可得：b2＝a2＋c2－ac＝ac， 即：a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin 2A＋sin 2C＝sin A sin C＝， 所以(sin A＋sin C)2＝sin 2A＋sin 2C＋2sin A sin C＝， 因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C>0，则sin A＋sin C＝.故选C.] 6．(多选)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＝(3b－c)sin B，且cos A＝，则下列结论正确的是(　　) A．a＋c＝3b B．tan A＝2 C．△ABC的周长为4c D．△ABC的面积为a2 解析：ABD　[由正弦定理得ba＝(3b－c)b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，A正确；由cos A＝可得sin A＝＝，则tan A＝＝2，B正确；由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc·，整理得3b＝2c，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝c，C错误；由上知：a＝3b－c，3b＝2c，可得a＝c，b＝a，则△ABC的面积为bcsin A＝·a·a·＝a2，D正确．] 7．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立 C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 解析：ABD　[对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin ＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．] 8．(2025·合肥市模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝45°，2b sin B－c sin C＝2a sin A，且△ABC的面积等于3，则b＝________． 解析：∵A＝45°，2b sin B－c sin C＝2a sin A， ∴由余弦定理可得： a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，① 由正弦定理可得：2b2－c2＝2a2，② 又S△ABC＝bc sin A＝3，即bc＝6，③ 由①②③联立解得b＝3. 答案：3 9． (2025·辽宁沈阳模拟)沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁(A)和临秀亭(B)两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A、B两地之间的距离，某同学任意选定了与A、B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案： ①测量∠A、AC、BC；②测量∠A、∠B、BC；③测量∠C、AC、BC. 其中一定能唯一确定A、B两地之间的距离的所有方案的序号是________． 解析：对于①，由正弦定理可得＝， 则sin B＝， 若AC＞BC且∠A为锐角，则sin B＝＞sin A，此时DB有两解， 则∠C也有两解，此时AB也有两解； 对于②，若已知∠A、∠B，则∠C确定，由正弦定理＝可知AB唯一确定； 对于③，若已知∠C、AC、BC，由余弦定理可得AB＝， 则AB唯一确定． 答案：②③ 10．(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． 解：(1)由sin A＋cos A＝2，可得 sin A＋cos A＝1，即sin ＝1， 由于A∈(0，π)⇒A＋∈， 故A＋＝，解得A＝. (2)由题设条件和正弦定理b sin C＝c sin 2B⇔sin B sin C＝2sin C sin B cos B， 又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，进而cos B＝，得到B＝， 于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B) ＝sin A cos B＋sin B cos A＝， 由正弦定理可得，＝＝，即＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. [能力提升组] 11．(多选)(2025·全国模拟)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mlie.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　) A．A处与D处之间的距离是24 n mile B．灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C．灯塔C在D处的西偏南60° D．D在灯塔B的北偏西30° 解析：ABC　[在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， 则∠B＝45°，AB＝12. 由正弦定理得AD＝＝＝24， 所以A处与D处之间的距离为24 n mile ，故A正确； 在△ADC中，由余弦定理得，CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°， 又AC＝8，解得CD＝8. 所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，故B正确； ∵AC＝CD＝8，∵∠CDA＝∠CAD＝30°， ∴灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确； ∵灯塔B在D的南偏东60°， ∴D在灯塔B的北偏西60°，故D错误．] 12．(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　) A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形 B．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形 C．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形　 D．若＝＝，则△ABC是等边三角形 解析：ACD　[∵tan A＋tan B＋tan C＝ tan Atan B tan C>0， ∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确； 由a cos A＝b cos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或A＋B＝， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误； 由b cos C＋c cos B＝b及正弦定理， 可知sin B cos C＋sin C cos B＝sin B， ∴sin A＝sin B， ∴A＝B，∴选项C正确； 由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C， ∴选项D正确．] 13．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________． 解析：令BD＝t，以D为坐标原点，DC为x轴建立直角坐标系，则C(2t，0)，A(1，)，B(－t，0). ＝＝4－≥4－2. 当且仅当t＋1＝，即BD＝－1时取等号． 答案：－1 14．已知三角形花园ABC，顶点A、B、C为花园的三个出入口，满足AB＝20，BC＝20，CA＝20(单位：米). (1)求三角形花园的面积(精确到1平方米)； (2)若三角形3个内角均小于120°，到三角形三个顶点距离之和最短的点M必满足MA、MB、MC正好三等分M点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点P到三个出入口的最小距离和(满足到三个出入口的距离和最小). 解： (1)由余弦定理可得cos A＝＝，则A为锐角， 所以sin A＝＝， 所以S△ABC＝AB·AC sin A＝×20×20×＝7 400≈12 817(平方米). (2)△ABC中，AC最长， cos B＝＞0，则B为锐角， 故△ABC为锐角三角形， 由(1)可知S△ABC＝S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝(PA·PB＋PA·PC＋PB·PC)sin 120°＝7 400，所以，PA·PB＋PA·PC＋PB·PC＝29 600， 根据余弦定理可得AB2＝PA2＋PA2－2PA·PB cos 120°＝PB2＋PB2＋PA·PB， 同理可得AC2＝PA2＋PC2＋PA·PC，BC2＝PB2＋PC2＋PB·PC， 以上三个等式相加可得AB2＋AC2＋BC2＝2(PA2＋PB2＋PC2)＋PA·PB＋PA·PC＋PB·PC， 所以PA2＋PB2＋PC2＝ ＝30 800， 因此，(PA＋PB＋PC)2＝PA2＋PB2＋PC2＋2(PA·PB＋PA·PC＋PB·PC)＝90 000， 则PA＋PB＋PC＝300(米). 因此，三角形花园的最佳会合点P到三个出入口的最小距离和为300米． 学科网（北京）股份有限公司 $$