第4章 课时冲关24 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质及三角函数模型的应用(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关24　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质及三角函数模型的应用 [基础训练组] 1．函数y＝2cos 的部分图象大致是(　　) 解析：A　[由y＝2cos 可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C.] 2．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D． 解析：D　[因为f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，所以＝－＝，且ω＞0，则T＝π，ω＝＝2， 当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z， 不妨取k＝0，则f(x)＝sin ， 则f＝sin ＝.] 3．(2025·河南三模)已知函数f＝sin 2x＋a cos 2x，将f的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则f的图象的对称轴可以为(　　) A．x＝　　　　　　　B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析：D　[由题意可得f的图象关于点对称， 即对任意x∈R，有f＋f＝0， 取x＝0，可得f＋f＝＋＝0，即a＝－. 故f＝sin 2x－cos 2x＝2sin ， 令2x－＝＋kπ，k∈Z，可得f的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.故选D.] 4．将函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：D　[函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sin ＝sin 的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－，f(x)＝sin .由题意x∈，得2x－∈， ∴sin ∈， ∴函数y＝sin 在区间的最小值为－.] 5．若f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，且和是f(x)最小的两个正零点，若f(0)＝－，则f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝－sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝－cos 解析：B　[由题意，＝－＝，得T＝， 所以ω＝＝4，由图可知，f(x)在x＝取得最大值，所以4×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 又和是f(x)最小的两个正零点，故k＝0，所以φ＝－， 又f(0)＝A sin ＝－⇒A＝1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝sin .] 6．(多选)为得到函数y＝cos 的图象，只需将y＝cos 2x的图象(　　) A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) 解析：BC　[如果是先伸缩再平移，那么需先将y＝cos 2x横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x，再向右平移个单位长度，即得y＝cos ，如果是先平移再伸缩，需先将y＝cos 2x向右平移个单位长度，得到y＝cos 2＝cos ，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，即得y＝cos .] 7．(多选)函数f(x)＝2sin 的图象为C，如下结论正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．对任意的x∈R，都有f＋f＝0 C．f(x)在上是减函数 D．由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C 解析：AB　[由y＝2sin ，所以f(x)的最小正周期为＝π，故A正确；f＝2sin ＝0，即函数f(x)的图象关于点对称，即对任意的x∈R，都有f＋f＝0成立，故B正确；当x∈时，2x－∈，所以f(x)在上是增函数，故C错误；由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin 2＝2sin 的图象，故D错误．] 8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象过点，且相邻两个零点的距离为π.若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为________． 解析：∵f(x)的相邻两个零点的距离为π， ∴f(x)的最小正周期T＝2π，∴ω＝1； 又f＝sin ＝0，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，解得：φ＝kπ－(k∈Z)， 又0＜φ＜π，∴φ＝，∴f(x)＝sin ， ∴g(x)＝f＝sin (x＋π)＝－sin x． 答案：g(x)＝－sin x 9．已知函数f(x)＝cos 2x向右平移个单位长度后得到g(x).若对于任意的x1∈，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)，则|m－n|的最小值为________． 解析：函数f(x)＝cos 2x向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos ，因为x1∈，所以2x1∈，所以f(x1)＝cos 2x1∈，因为对于任意的x1∈，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)，所以g(x2)的取值范围应包含，根据余弦函数的性质，为使|m－n|取最小值，只需函数g(x)在x∈[m，n]上单调且值域为即可． 由2kπ－≤2x－≤2kπ(k∈Z)可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，因此|m－n|的最小值为＝. 答案： 10．已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2sin2x. (1)若f(x)＝0，x∈，求x的值； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，求函数h(x)在上的值域． 解：f(x)＝2sinx cos x＋2sin2x＝sin2x＋1－cos 2x＝2sin ＋1. (1)由f(x)＝0，得2sin ＋1＝0， ∴sin ＝－， ∴2x－＝－＋2kπ或2x－＝－＋2kπ，k∈Z. 又∵x∈，∴x＝－或0或. (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，可得函数图象的解析式为 y＝2sin ＋1 ＝2sin ＋1＝2cos 2x＋1， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2cos x＋1， 又曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，∴h(x)＝g＝2sin x＋1， ∵x∈，∴sin x∈. 故函数h(x)的值域为(0，3]. [能力提升组] 11．(多选)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到 B．直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴 C．若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x2－x1|的最小值为 D．直线y＝与函数y＝f(x)在上的图象有7个交点 解析：BCD　[对于A选项，由图可知，函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，则ω＝＝2， 又因为f＝sin ＝1，因为－＜φ＜，则－＜φ＋＜，所以，φ＋＝，则φ＝，所以f(x)＝sin ＝sin ， 故函数f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到，A错误； 对于B选项，f＝sin ＝sin ＝1， 所以，直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，B正确； 对于C选项，因为|f(x1)－f(x2)|＝2＝f(x)max－f(x)min， 所以|x2－x1|的最小值为＝，C正确；对于D选项，当0≤x≤π时，≤2x＋≤7π， 由f(x)＝sin ＝可知2x＋的可能取值集合为 ， 所以，直线y＝与函数y＝f(x)在上的图象有7个交点，D正确．] 12．(多选)函数f(x)＝sin ，则(　　) A．函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝轴对称 C．函数y＝f(x)的图象关于点中心对称 D．函数y＝x2＋f(x)在上为增函数 解析：BCD　[由题意，对于选项A，函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位可得到f(x)＝sin 2＝sin ＝－cos 2x，所以选项A错误；对于选项B，f＝sin ＝1，取到了最大值，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝轴对称，所以选项B正确；对于选项C, f＝0，所以函数y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以选项C正确；对于选项D，函数y＝x2在上为增函数，x∈时，2x＋∈，单调递增，所以函数y＝x2＋f(x)在上为增函数，所以选项D正确．] 13． (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． 解析：设A，B，则ωx1＋φ＝＋2kπ，ωx2＋φ＝＋2kπ，∴ω(x2－x1)＝π，又x2－x1＝，所以ω＝4，由曲线y＝f(x)过，所以4×＋φ＝2π，即φ＝－，所以f(x)＝sin ，f(π)＝sin ＝－sin ＝－. 答案：－ 14．在①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点对称；③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由． 已知函数f(x)＝4sin ＋a(ω∈N＋)的最小正周期不小于，且________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3? 解：由于函数f(x)的最小正周期不小于，所以≥，所以1≤ω≤6，ω∈N＋. 若选择①，即f(x)的图象关于直线x＝对称，则有ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N＋，k∈Z，所以k＝3，ω＝4. 此时，f(x)＝4sin ＋a. 由x∈，得4x＋∈，因此当4x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值4＋a，令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合题意． 故不存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3； 若选择②，即f(x)的图象关于点对称，则有ω＋＝kπ(k∈Z)， 解得ω＝k－(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N＋，k∈Z，所以k＝1，ω＝3. 此时，f(x)＝4sin ＋a. 由x∈，得3x＋∈，因此当3x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值4sin ＋a＝＋＋a，令＋＋a＝3，解得a＝3－－，不符合题意． 故不存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3； 若选择③，即f(x)在上单调递增，则有(k∈Z)， 解得 由于1≤ω≤6，ω∈N＋，k∈Z，所以k＝0，ω＝1. 此时，f(x)＝4sin ＋a. 由x∈，得x＋∈，因此当x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2＋a，令2＋a＝3，解得a＝3－2，符合题意． 故存在正实数a＝3－2，使得函数f(x)在上有最大值3. 学科网（北京）股份有限公司 $$