第4章 课时冲关23 三角函数的图象与性质(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关23　三角函数的图象与性质 [基础训练组] 1．(2024·北京卷)设函数f＝sin ωx.已知f＝－1，f＝1，且的最小值为，则ω＝(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 解析：B　[由题意可知：x1为f的最小值点，x2为f的最大值点， 则min＝＝，即T＝π， 且ω>0，所以ω＝＝2.故选B.] 2．(2025·福建泉州期末)已知函数f＝sin 的最小正周期为π，则函数在的最大值是(　　) A．0 B． C． D．1 解析：D　[由函数f＝sin ， 则T＝＝π，得ω＝2， 即f＝sin ， 当x∈时，2x＋∈， 所以当2x＋＝，即x＝时函数f取最大值为f＝1.故选D.] 3．已知函数f(x)＝tan (ω＞0)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为，则f(x)的图象的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． 解析：C　[由函数f(x)＝tan (ω＞0)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为，则有f(x)的周期T＝＝，解得ω＝2，于是得f(x)＝tan ， 所以f(x)的图象的对称中心横坐标方程满足2x－＝，(k∈Z)， 解得x＝＋，(k∈Z)，可知为其一个对称中心．] 4．(2025·重庆模拟)函数f(x)＝sin －cos x的单调递减区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 解析：C　[f(x)＝sin －cos x＝sin x＋cos x＝sin ，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，故f(x)的单调递减区间为，k∈Z.] 5．(2025·陕西模拟)已知不等式sin x cos x－cos2x＋＋m≥0(m∈R)对∀x∈恒成立，则m的最小值为(　　) A． B． C．－ D． 解析：D　[因为不等式sinx cos x－cos2x＋＋m≥0(m∈R)对∀x∈恒成立， 所以不等式－m≤sin对∀x∈恒成立， 令f(x)＝sin ，因为x∈，所以2x－∈， 则sin ＝－1，所以f(x)min＝－， 所以－m≤－，解得m≥，所以m的最小值为.] 6．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析：BC　[A选项，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)零点， 令g(x)＝sin ＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然fmax＝gmax＝1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z， g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．故选BC.] 7．(多选)(2025·广东潮州市模拟)设函数f(x)＝sin ，则下列结论中正确的是(　　) A．y＝f(x)的图象关于点对称 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上的最小值为0 解析：ABC　[当x＝时，f＝sin π＝0，所以y＝f(x)的图象关于点对称，A正确；当x＝－时，f＝sin ＝1，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，B正确；当x∈时，u＝2x＋∈，f(u)＝sin u在上单调递减，故C正确；当x∈时，u＝2x＋∈，f(u)＝sin u在上的最小值为，D错误．] 8．(2025·吉林期末)已知函数f(x)＝2sin 的最小正周期为π，则函数y＝f(x)在区间上的最大值与最小值的和是________． 解析：由题设，T＝＝π，则ω＝±2， 在上，当ω＝2则2x－∈，故f(x)∈[－1，2]；当ω＝－2则－2x－∈，故f(x)∈[－2，－1]；综上，最大值与最小值的和为1或－3. 答案：1或－3 9．已知函数f(x)＝3sin ，(ω＞0)在上单调递增，则ω的最大值为________． 解析：f(x)＝3sin (ω＞0)对应的增区间应满足ωx＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，当k＝0时，x∈，要使f(x)＝sin (ω＞0)在上是增函数，则应满足，≥，解得ω≤1，则ω的最大值是1. 答案：1 10．(2023·北京卷)已知函数f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，ω＞0，|φ|＜. (1)若f(0)＝－，求φ的值； (2)若f(x)在上单调递增，且f＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求ω、φ的值． 条件①：f＝1； 条件②：f＝－1； 条件③：f(x)在上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)因为函数f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，ω＞0，|φ|＜， 所以f(0)＝sin (ω·0)cos φ＋cos (ω·0)sin φ＝sin φ＝－， 因为|φ|＜，所以φ＝－. (2)因为f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，ω＞0，|φ|＜， 所以f(x)＝sin (ωx＋φ)，ω＞0，|φ|＜，所以f(x)的最大值为1，最小值为－1. 若选条件①：因为f(x)＝sin (ωx＋φ)在上单调递增，f＝1，所以f＝1无解，故条件①不能使函数f(x)存在； 若选条件②：因为f(x)在上单调递增，且f＝1，f＝－1, 所以＝－＝π， 所以T＝2π，ω＝＝1， 所以f(x)＝sin (x＋φ)， 又因为f＝－1， 所以sin ＝－1， 所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|＜，所以φ＝－. 所以ω＝1，φ＝－； 若选条件③：因为f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)在x＝－处取得最小值－1， 即f＝－1.以下与条件②相同． [能力提升组] 11．设定义在R上的函数f(x)＝，则f(x)(　　) A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 解析：A　[对于A，当≤x≤时，π≤x＋≤，函数y＝sin 为减函数，所以f(x)＝＝－sin 为增函数，故A正确；对于B，当－π≤x≤－时，－≤x＋≤－，函数y＝sin 先递减后递增，所以f(x)＝＝－sin 先递增后递减，故B不正确；对于C，当≤x≤时，≤x＋≤，函数y＝sin 先递增后递减 ，所以f(x)＝＝sin 先递增后递减，故C不正确；对于D，当≤x≤时，≤x＋≤π，函数y＝sin 为递减函数，所以f(x)＝＝sin 为递减函数，当＜x≤时，π＜x＋≤，函数y＝sin 为递减函数，所以f(x)＝＝－sin 为增函数，故D不正确．] 12．(2025·鹤岗市月考)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)的图象过点，最小正周期为，且最小值为－1.若x∈，f(x)的值域是，则m的取值范围是________． 解析：由函数最小值为－1，A>0，得A＝1， 因为最小正周期为，所以ω＝＝3， 故f(x)＝cos (3x＋φ)， 又图象过点，所以cos φ＝， 而0<φ<，所以φ＝， 从而f(x)＝cos ， 由x∈，可得≤3x＋≤3m＋. 因为f ＝cos ＝－，且cos π＝－1，cos ＝－. 由余弦函数的图象与性质可知 π≤3m＋≤，解得≤m≤. 答案： 13．已知函数f(x)＝，x∈[－2π，0)∪(0，2π]，给出下列四个结论： ①f(x)是偶函数； ②f(x)有4个零点； ③f(x)的最小值为－； ④f(x)＜的解集为∪∪. 其中，所有正确结论的序号为________． 解析：对于①：因为函数的定义域为[－2π，0)∪(0，2π]，且f(－x)＝＝＝[f(x)]，所以f(x)是偶函数．故①正确； 对于②：在x∈[－2π，0)∪(0，2π]，令f(x)＝0，解得x＝－2π，x＝－π，x＝π，x＝2π.所以f(x)有4个零点．故②正确； 对于③：因为f(x)是偶函数，所以只需研究x∈(0，2π]的情况．作出y＝sin x(x∈(0，2π])和y＝－x的图象如图所示： 在x∈(0，2π]上，有sin x＞－x，所以＞－，即f(x)的最小值大于－.故③错误； 对于④：当x∈[－2π，0)∪(0，2π]时，f(x)＜可化为：当x＞0时，sin x＜，解得x∈∪； 当x＜0时，sin x＞，解得x∈， 综上所述，f(x)＜的解集为∪∪.故④错误． 答案：①② 14．(2025·四平市模拟)已知函数f(x)＝cos ＋sin2x－cos2x＋. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若存在x∈满足[f(x)]2－2f(x)－m＞0，求实数m的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝cos2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x＋＝cos2x＋sin 2x－cos 2x＋ ＝sin ＋， ∴函数f(x)的最小正周期T＝π. ∵由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴单调递增区间为(k∈Z). (2)当x∈时，可得2x－∈， 解得f(x)＝sin ＋∈[，＋1] 设F(x)＝[f(x)]2－2f(x)＝[f(x)－]2－2∈[－2，－1]. 存在x∈，满足F(x)－m＞0的实数m的取值范围为(－∞，－1). 学科网（北京）股份有限公司 $$