第4章 课时冲关22 三角恒等变换(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关22　三角恒等变换 [基础训练组] 1．若角α顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x＋y＝0上，则sin cos ＝(　　) A．±　　B．±　　C．－　　　D． 解析：C　[因为角α终边在直线2x＋y＝0上，所以tan α＝－2，∴cos2α＝. ∴sincos ＝sin cos ＝×2sin cos ＝sin ＝sin ＝cos 2α＝(2cos2α－1)＝cos2α－ ＝－.] 2．(2025·江苏盐城调研)已知tanα＝－，tan β＝2，且α，β∈，则α＋β的值为(　　) A． B． C． D． 解析：C　[tan ＝＝＝1， 又α，β∈，tan α<0，tan β>0， 所以α∈，β∈，所以α＋β∈， 故α＋β＝.故选C.] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D．－ 解析：B　[因为sin (α－β)＝sin αcos β－sin βcos α＝，cos αsin β＝，所以sin αcos β＝， 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝＋＝，则cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.] 4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h tanθ.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且tan (α－β)＝，则第二次的“晷影长”是“表高”的________倍(　　) A．1 B． C． D． 解析：A　[由题意可得tan α＝3，tan (α－β)＝，所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝＝1，即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍．] 5．函数f(x)＝4sin ＋cos 的最大值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：D　[f(x)＝4sin ＋cos ＝4＋cos 3x＋sin 3x ＝2sin 3x＋2cos 3x＋cos 3x＋sin 3x＝sin 3x＋cos 3x＝5sin ， ∴f(x)最大值为5.] 6．(多选)下列三角式中，值为1的是(　　) A．4sin 15°cos 15° B．2 C． D． 解析：ABC　[A选项，4sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝2×＝1，故正确；B选项，2＝2cos＝2×＝1，故正确；C选项，＝tan45°＝1，故正确；D选项，＝＝≠1，故错误．] 7．(多选)已知α为第一象限角，β为第三象限角，且sin ＝，cos ＝－，则cos (α＋β)可以为(　　) A．－　 　B．－　 　C．　 　D． 解析：CD　[因为α为第一象限角，所以α∈(2kπ，2kπ＋)，k∈Z， α＋∈，k∈Z， 因为sin ＝，所以＜＝sin ， 所以α＋是第二象限角， 所以cos ＝－， β为第三象限角， 所以β∈，k∈Z，β－∈，k∈Z， 因为cos ＝－，所以β－是第二象限角或第三象限角， 当β－是第二象限角时，sin ＝， 此时cos (α＋β)＝cos ＝cos cos －sin · sin ＝×－×＝； 当β－是第三象限角时，sin ＝－， 此时cos (α＋β)＝cos ＝cos cos －sin · sin ＝×－×＝.] 8．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 解析：由题意得tan ＝＝＝－2， 因为α∈，β∈，k，m∈Z， 则α＋β∈，k，m∈Z， 又因为tan ＝－2<0， 所以α＋β∈，k，m∈Z，则sin <0， 则＝－2，联立 sin 2＋cos2＝1，解得sin＝－. 答案：－ 9．若1＋＝，则α的一个可能角度值为________． 解析：1＋＝ ＝＝ ＝＝＝＝， 则sin α＝sin 50°，故α＝k·360°＋50°，k∈Z或α＝k·360°＋130°，k∈Z 故答案为50°，130°，410°，490°等均符合题意． 答案：50°，130°，410°，490°等均符合题意 10．在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为. (1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值． 解：(1)因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角， 所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝. (2)因为点Q的纵坐标为， 所以sinβ＝. 又因为β为锐角，所以cos β＝. 因为cos α＝，且α为锐角，所以sin α＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin (2α－β)＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝. [能力提升组] 11．(多选)(2025·张家口市模拟)已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2sin2x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．是曲线f(x)的一个对称中心 C．x＝－是曲线f(x)的一条对称轴 D．f(x)在区间上单调递增 解析：ACD　[f(x)＝sin2x＋(1－cos 2x)＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin ＋，T＝＝π，A正确；是曲线f(x)的一个对称中心，B错误；2x－＝＋kπ，x＝＋，k∈Z，k＝－1时，x＝－，∴x＝－是f(x)的一条对称轴，C正确；－＜2x－＜，－＜2x＜，－＜x＜， ∴f(x)在上单调递增，D正确．] 12．(2025·江苏泰州模拟)若θ＝θ0时，f(θ)＝sin 2θ－cos2θ取得最大值，则sin＝______． 解析：f(θ)＝sin 2θ－(1＋cos 2θ) ＝sin 2θ－cos 2θ－ ＝－ ＝sin (2θ－φ)－ ， 当f(θ)取最大值时，2θ0－φ＝， ∴2θ0＝φ＋， sin 2θ0＝sin ＝cos φ＝， cos 2θ0＝cos ＝－sin φ＝－， ∴sin ＝×＋×＝. 答案： 13．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝________(用α表示)；当P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________． 解析：在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈，AP＝60米，∴PQ＝AP sin α＝60sin α(米)， 在Rt△PAR中，可得PR＝60sin ， 由题可知∠QPR＝，∴△PQR的面积为 S△PQR＝·PQ·PR·sin ∠QPR ＝×60sin α×60sin ×sin ＝900sin αsin ＝450 ＝450， 又α∈，2α＋∈， ∴当2α＋＝，即α＝时，△PQR的面积有最大值225平方米， 即三角形绿地的最大面积是225平方米． 答案：60sin α米　225平方米 14．设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R). (1)求函数y＝的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)f在上的最大值． 解：(1)由辅助角公式得 f(x)＝sin x＋cos x＝sin ， 则y＝＝ ＝2sin2＝1－cos ＝1－sin 2x， 所以该函数的最小正周期T＝＝π. (2)由题意，y＝f(x)f ＝sin ·sin x＝2sin sin x ＝2sin x· ＝sin2x＋sinx cos x ＝·＋sin 2x ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin ＋， 由x∈可得2x－∈， 所以当2x－＝，即x＝时，函数取最大值1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$