第4章 课时冲关20 任意角(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关20　任意角、弧度制及任意角的三角函数 [基础训练组] 1．－980°的终边在(　　) A．第一象限　　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　[因为－980°＝－360°×3＋100° 所以－980°的终边与100°的终边相同， 而100°的终边在第二象限， 所以－980°的终边在第二象限．故选B.] 2．(2025·全国模拟)我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在(　　) A．第一象限　　　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　[因为点P(cos α，tan α)在第三象限， 所以cos α＜0，tan α＜0，则sin α＞0，角α的终边在第二象限．] 3．集合中的角的终边所在的范围(阴影部分)是(　　) 解析：C　[当k＝2n时，2nπ＋≤α≤2nπ＋；当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋.] 4．半径为3的圆的边沿有一点A，半径为4的圆的边沿有一点B，A、B两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：D　[设A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为n，则n×2π×3＝6nπ＝k×2π×4＝8kπ，其中k、n∈N＋，所以n＝，则当k＝3时，n＝4.故A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为4.] 5．(2025·榆林市模拟)若角α的终边经过点P，则cos α·tan α的值是(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． 解析：A　[∵角α的终边经过点P， ∴x＝，y＝－，r＝1. sin α＝－. ∴cos α·tan α＝sin α＝－.] 6．(2025·甘肃武威测试)如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为(　　) A．π－2 B．π－ C．π－2 D．π－ 解析：C　[如图所示： 连接OB，因为四边形OABC为菱形，所以OA＝AB＝BC＝OC＝OB＝2， 所以△OAB和△OBC均为等边三角形，且边长为2，其中∠AOC＝， 可得S△OAB＝S△OBC＝×22＝， 所以四边形OABC的面积为S1＝S△OAB＋S△OBC＝2. 又扇形AOB的面积为S2＝××22＝， 所以阴影部分的面积为S＝S2－S1＝π－2.故选C.] 7．(多选)(2025·重庆八模拟)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，1－m)，若m＞0，则下列各式的符号无法确定的是(　　) A．sin α B．cos α C．sin α－cos α D．sin α＋cos α 解析：AC　[由三角函数定义，sin α＝，cos α＝， 所以对于A选项，当m∈(0，1)时，sin α＞0，m∈(1，＋∞)时，sin α＜0，m＝1时，sin α＝0，所以选项A符号无法确定；对于B选项，cos α＝＞0，所以选项B符号确定；对于C选项，sin α－cos α＝，故当m∈时，sin α－cos α＞0，m∈时，sin α－cos α＜0，m＝时，sin α－cos α＝0，所以选项C的符号无法确定；对于D选项，sin α＋cos α＝＋＝＞0，所以选项D符号确定．所以下列各式的符号无法确定的是AC选项．] 8．在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________． 解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°， 设点B坐标为(x，y)， 则x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，). 答案：(－1，) 9．(2025·浙江镇海中学模拟)《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB及其所对弦AB围成的图形．若弧田的弦AB长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB长为______，弧田的面积为______． 解析：由题意可知：BC＝AC＝1，AO＝＝，OC＝＝， 所以弧AB长＝2×＝，弧田的面积， ＝S扇形AOB－S△AOB＝×2×－×2×＝－. 答案：　－ 10．已知扇形AOB的周长为8. (1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， (1)由题意可得解得或∴α＝＝或α＝＝6. (2)法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l·2r≤＝×＝4， 当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r＋l＝8， ∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4， 当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. [能力提升组] 11．(多选)2023年1月出版的《中国高考报告2023》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重数学思维能力和思想方法的考察，考题难度加大．某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为l的圆O上逆时针匀速圆周运动，同时出发，P的角速度大小为2 rad/s，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与圆O的交点，则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　) A． B． C． D． 解析：ABD　[设两个质点重合时，所用时间为t，则重合时点P，Q的坐标均为(cos 2t，sin 2t)， 由题意可得，5t－2t＝＋2kπ，k∈Z，解得t＝＋，k∈Z， 当k＝0时，t＝，2t＝，所以点Q的坐标均为，故选项A正确； 当k＝1时，t＝，2t＝，所以点Q的坐标均为＝，故选项B正确； 当k＝2时，t＝，2t＝，所以点Q的坐标均为＝，故选项D正确，选项C错误．] 12．矩形纸片ABCD中，AB＝10 cm，BC＝8 cm.将其按图(1)的方法分割，并按图(2)的方法焊接成扇形；按图(3)的方法将宽BC二等分，把图(3)中的每个小矩形按图(1)分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图(4)的方法将宽BC三等分，把图(4)中的每个小矩形按图(1)分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图(1)分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→＋∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为(　　) A．小于 B．等于 C．大于 D．大于1.6 解析：C　[当n→＋∞时，扇形的半径为10，弧长无限接近于8＋8＝16，则圆心角为×≈91.7°，所以最后拼成的大扇形的圆心角的大小大于.] 13．(2025·安徽模拟)设点P是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置P0(0，1)出发，沿单位圆顺时针方向旋转角θ后到达点P1，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点P2，若点P2的纵坐标是－，则点P1的坐标是________． 解析：初始位置P0(0，1)在的终边上，P1所在射线对应的角为－θ， P2所在射线对应的角为－θ，由题意可知， sin ＝－， 又－θ∈，则－θ＝－， 解得θ＝， P1所在的射线对应的角为－θ＝， 由任意角的三角函数的定义可知，点P1的坐标是，即. 答案： 14．(2025·浙江模拟)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，且点P在圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上． (1)若P点的横坐标为－3，求sin 2α的值； (2)若角β满足sin (α＋β)＝－，求sin β的最大值． 解：(1)若P点的横坐标为－3，因为点P在圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上， 所以P(－3，3)或P(－3，5)， 所以tan α＝－1或－， 所以当tan α＝－1时，sin 2α＝ ＝＝－1， 当tanα＝－时，sin 2α＝ ＝＝－. (2)易知sinβ的最大值不超过1， 下面证明：sin β的最大值是1.只需证明α＝，β＝满足条件． ①由于α＋β＝满足sin (α＋β)＝－； ②设P(－3＋cos x，4＋sin x)，则tan α＝－＝， 即＝sin x＋cos x＝sin ∈[－1，1]， 所以存在点P使得α＝. 综上所述，sin β的最大值是1 学科网（北京）股份有限公司 $$