第3章 课时冲关16 利用导数研究函数的单调性(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关16　利用导数研究函数的单调性 [基础训练组] 1．(2025·陕西西安月考)曲线y＝x2ex在点(1，e)处的切线方程为(　　) A．ex＋y－2e＝0　 　　B．3ex＋y－4e＝0 C．3ex－y－2e＝0 D．ex－3y＋2e＝0 解析：C　[由y＝x2ex，得y′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)， 所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为k＝3e， 故所求切线方程为y－e＝3e(x－1)， 即3ex－y－2e＝0.故选C.] 2．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．] 3．已知函数y＝f(x∈R)的图象如图，则不等式xf′<0的解集为(　　) A.∪ B．∪ C．∪ D．∪ 解析：C　[由f(x)的图象可知，f(x)在和(2，＋∞)上单调递增，在(，2)上单调递减， 则当x∈时，f′(x)>0，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0， x∈时，f′(x)<0，所以不等式xf′(x)<0的解集为(－∞，0)∪.故选C.] 4．(2025·湖南常德模拟)若函数h(x)＝ln x－ax2－2在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B． C．(－∞，1) D． 解析：B　[h′(x)＝－ax， 若函数h(x)＝ln x－ax2－2在[1，2]上单调递增， 则h′(x)＝－ax≥0在[1，2]上恒成立， 所以a≤在[1，2]上恒成立， 故a≤.故选B.] 5．(2025·河南模拟)已知函数f(x)＝，若a<b，且f＝f，则a＋2b的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：D　[因为f(x)＝＝a<b，且f＝f， 所以0<a<1<b，且－log3a＝log3b，即ab＝1， 所以a＋2b＝a＋，令h(x)＝x＋，x∈， 则h′(x)＝1－＝<0， 所以h(x)在单调递减，h(x)∈， 所以a＋2b的取值范围是.故选D. ] 6．(2025·荆州模拟)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，f(1)≠0，且满足f′(x)ln x＋＜0，则不等式(x－1)f(x)＜0的解集为(　　) A．(1，＋∞) B．(0，1) C．(－∞，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：D　[∵[f(x)ln x]′＝f(x)＋f′(x)ln x＜0，∴g(x)＝f(x)ln x在(0，＋∞)上为减函数， 而g(1)＝0， ∴在(0，1)上ln x＜0，g(x)＞0；在(1，＋∞)上ln x＞0，g(x)＜0；而f(1)＜0， ∴在(0，＋∞)上f(x)＜0，又函数f(x)为奇函数， ∴在(－∞，0)上f(x)＞0， 不等式(x－1)f(x)＜0等价于或∴x∈(－∞，0)∪(1，＋∞).] 7．(多选)(2025·全国模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，对于任意x∈(0，＋∞)，都有x ln xf′(x)＋f(x)＞0，则使不等式f(x)ln x＋1＞成立的x的值可以为(　　) A． B．1 C．2 D．3 解析：CD　[令g(x)＝f(x)ln x＋1－，所以g′(x)＝f′(x)ln x＋＋， 因为＞0，＞0，所以g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(1)＝0，可得g(x)＞0的解集为(1，＋∞).] 8．(2025·陕西延安期中)若曲线f＝a cos x与曲线g＝x2＋bx＋3在交点处有公切线，则a＋b＋m＝________． 解析：∵f(x)＝a cos x，g(x)＝x2＋bx＋3， ∴f′＝－a sin x，g′＝2x＋b. ∵曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋3在交点(0，m)处有公切线， ∴m＝f(0)＝a＝g(0)＝3且f′(0)＝0＝g′(0)＝b. 即a＝m＝3，b＝0， ∴a＋b＋m＝3＋0＋3＝6. 答案：6 9．(2025·呼和浩特市模拟)若函数f(x)＝ln x＋ax2－2x在区间(1，2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______． 解析：f′(x)＝＋2ax－2， 若f(x)在区间(1，2)内存在单调递增区间， 则f′(x)＞0在x∈(1，2)有解，故a＞－， 令g(x)＝－，∵g(x)在(1，2)为减函数， ∴g(x)＞g(2)＝－＝，故a＞. 答案： 10．(2025·湖北期中)已知函数f＝ln x－ax－2. (1)讨论f的单调性； (2)若f≤0恒成立，求a的取值范围． 解：(1)因为f＝ln x－ax－2，x>0，所以f′＝－a＝. 若a≤0，则f′>0恒成立， 此时f的单调递增区间为，无单调递减区间． 若a>0，则当x∈时，f′>0，当x∈时，f′<0， 此时f的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当a≤0时，f的单调递增区间为，无单调递减区间； 当a>0时，f的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)f≤0恒成立等价于a≥恒成立． 令g＝，则g′＝. 当x∈时，g′>0，即g在上单调递增， 当x∈时，g′<0，即g在上单调递减， 则gmax＝g＝e-3，故a的取值范围为. [能力提升组] 11．(2025·江西鹰潭市模拟)已知奇函数f(x)的定义域为∪，其导函数是f′(x).当x∈时，f′(x)sin x－f(x)cos x＜0，则关于x的不等式f(x)＜2fsin x的解集为(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 解析：D　[g(x)＝， ∴g′(x)＝， ∵当x∈时，f′(x)sinx－f(x)cos x＜0，∴g′(x)＜0， ∴g(x)在上单调递减，∵f(x)是定义在∪上的奇函数， 故g(－x)＝＝＝g(x)，∴g(x)是定义在∪上的偶函数． ∴g(x)在上单调递增． ①当x∈时，sin x＞0， 则不等式f(x)＜2fsin x可转化为＜，即g(x)＜g，∴x＞， 故x∈. ②当x∈时，sin x＜0， 则不等式f(x)＜2fsin x可转化为＞， 即g(x)＞g＝g， ∴x＞－，故x∈. 不等式f(x)＜2fsin x的解集为∪.] 12．(多选)若定义域为(0，＋∞)的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)＋1＞0，且f(1)＝1，则下列结论中成立的是(　　) A．f(e)＞0 B．f＜2 C．∀x∈(1，e)，f(x)＞0 D．∃x∈(1，e)，f(x)－f＋2＜0 解析：ABC　[根据题意，若定义域为(0，＋∞)的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)＋1＞0，则有f′(x)＋＞0，则有(f(x)＋ln x)′＞0，设g(x)＝f(x)＋ln x，则g′(x)＝f′(x)＋＞0，则g(x)在(0，＋∞)上为增函数，依次分析选项：对于A，e＞1，则g(e)＞g(1)，即f(e)＋ln e＞1，则有f(e)＞0，A成立；对于B，＜1，则g＜g(1)，则f＋ln ＝f－1＜1，即有f＜2，故B成立；对于C，g(x)在(1，e)上为增函数，且g(1)＝1，则有f(x)＋ln x＞1，则f(x)＞1－ln x，又当1＜x＜e时，0＜ln x＜1，则f(x)＞0，符合题意；对于D，当x∈(1，e)时，有x＞＞＞0，此时有g(x)＞g，即f(x)＋ln x＞f＋ln ，变形可得f(x)－f＋2ln x＞0，又当1＜x＜e时，0＜ln x＜1，则f(x)－f＋2＞0恒成立，不符合题意．] 13．(2025·全国模拟)如果cos5θ－sin5θ＞7(cos3θ－sin3θ)，θ∈[0，2π]，则θ的取值范围是________． 解析：由已知得cos5θ－7cos3θ＞sin5θ－7sin3θ，令f(x)＝x5－7x3，则f′(x)＝5x4－21x2＝x2(5x2－21)＜0对任意x∈[－1，1]恒成立，于是f(x)在[－1，1]上单调递减． cos5θ－7cos3θ＞sin5θ－7sin3θ， 即f(cosθ)＞f(sin θ) ， 由f(x)在[－1，1]上单调递减，得cos θ＜sin θ，解得＜θ＜， 所以θ的取值范围是. 答案： 14．已知函数f(x)＝，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(1，2)上是单调函数，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}，f′(x)＝. ①当a＝0时，f(x)＝x(x≠0)，f′(x)＝1， 则x∈(－∞，0)，(0，＋∞)时，f(x)为增函数； ②当a>0时，由f′(x)>0，得x>2a或x<0， 由于此时0<a<2a，所以x>2a时，f(x)为增函数，x<0时，f(x)为增函数； 由f′(x)<0，得0<x<2a，考虑定义域，当0<x<a时，f(x)为减函数，a<x<2a时，f(x)为减函数； ③当a<0时，由f′(x)>0，得x>0或x<2a，由于此时2a<a<0，所以当x<2a时，f(x)为增函数，x>0时，f(x)为增函数． 由f′(x)<0，得2a<x<0，考虑定义域，当2a<x<a，f(x)为减函数，a<x<0时，f(x)为减函数． 综上，当a＝0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞). 当a>0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2a，＋∞)，单调减区间为(0，a)，(a，2a). 当a<0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，2a)，(0，＋∞)，单调减区间为(2a，a)，(a，0). (2)①当a≤0时，由(1)可得，f(x)在(1，2)上单调递增，且x∈(1，2)时，x≠a. ②当0<2a≤1时，即0<a≤时，由(1)可得，f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，即在(1，2)上单调递增，且x∈(1，2)时，x≠a. ③当1<2a<2时，即<a<1时，由(1)可得，f(x)在(1，2)上不具有单调性，不合题意． ④当2a≥2，即a≥1时，由(1)可得，f(x)在(0，a)，(a，2a)为减函数，同时需注意a∉(1，2)，满足这样的条件时f(x)在(1，2)上单调递减，所以此时a＝1或a≥2. 综上所述，实数a的取值范围是∪{1}∪[2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$