第2章 热点强化课1 函数性质的综合应用(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

热点强化课1　函数性质的综合应用(教师专享) [基础训练组] 1．(2025·宁夏石嘴山三模)若定义在R上的偶函数f在上单调递增，则f，f，f的大小关系为(　　) A．f>f>f B．f>f>f C．f>f>f(e－2) D．f>f>f 解析：A　[因为f是定义在R上偶函数，所以f＝f， 因为e<＝，则<ln ，所以0<e－2＝<<ln ， 因为f在上单调递增，所以f>f>f， 即f>f>f. 故选A.] 2．(2025·广西一模)f是定义在R上的函数，f＋为奇函数，则f(2023)＋f(－2022)＝(　　) A．－1　　　　　　　　B．－ C． D．1 解析：A　[f是定义在R上的函数，f＋为奇函数，则 f＋＝－⇒f＋f＝－1. ∴f＋f＝f＋f＝－1.故选A.] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 解析：ABC　[对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝0×f(0)＋0×f(0)，则f(0)＝0，故A正确； 对于B，令x＝y＝1，则f(1)＝1×f(1)＋1×f(1)， 则f(1)＝0，故B正确； 对于C，令x＝y＝－1，则f(1)＝(－1)2×f(－1)＋(－1)2×f(－1)，则f(－1)＝0，再令y＝－1，则f(－x)＝(－1)2f(x)＋x2f(－1)， 即f(－x)＝f(x)，故C正确； 对于D，当x＝0时，f(0)＝y2f(0)，无极值．故D错误．] 4．(2025·河南西平县模拟)已知函数f(x)＝＋1，且f(a)＝5，则f(－a)＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析：D　[设g(x)＝，因为g(－x)＝＝－＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数，因为g(a)＝f(a)－1＝4，所以g(－a)＝f(－a)－1＝－4， 则f(－a)＝－3.] 5．(2025·江西鹰潭模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f为偶函数且f(1)＝2，则f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝(　　) A．－2 B．4 C．－4 D．6 解析：B　[因为f(x)是定义在R上的奇函数， 又f为偶函数， 所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 且f＝f， 则f＝f， 即－f(x)＝f(x＋3)， 所以f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)，即f(x)是以6为周期的周期函数， 由f(1)＝f(2)＝2，f(3)＝f(0)，f(4)＝－f(1)＝－2， 所以f(2 023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝2， f(2 024)＝f(6×337＋2)＝f(2)＝f(1)＝2， f(2 025)＝f(6×337＋3)＝f(3)＝f(0)＝0， 所以f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝4.] 6．(2025·重庆南开中学模拟)已知函数f(x)＝ln x－ln (2－x)－cos x，则关于t的不等式f(t)＋f(t2)＜0的解集为(　　) A．(－2，1) B．(－1，) C．(0，1) D．(0，) 解析：C　[∵f(x)＋f(2－x)＝ln x－ln (2－x)－cos x＋ln (2－x)－ln x－cos ＝0， ∴f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称， 又f(x)＝ln x－ln (2－x)－cos x的定义域为(0，2)， 由y＝ln x，y＝－ln (2－x)，y＝－cos x在(0，2)上单调递增知， f(x)＝ln x－ln (2－x)－cos x在(0，2)上单调递增， ∵f(t)＋f(t2)＜0，∴－f(2－t)＋f(t2)＜0， 即f(t2)＜f(2－t)， ∴t2＜2－t，解得－2＜t＜1，又解得0＜t＜，所以0＜t＜1.] 7．(多选)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中为真命题的是(　　) A．f(x)的图象关于y轴对称 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)的最小值为2 解析：BC　[∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故A错误，B正确； ∵f＝cos x＋， f＝cos x＋， ∴f＝f，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确； 当x∈时，f(x)<0，故D错误．] 8．(多选)已知奇函数f(x)是定义在R上的减函数，且f(2)＝－1，若g(x)＝f(x－1)，则下列结论一定成立的是(　　) A．g(1)＝0 B．g(2)＝－ C．g(－x)＋g(x)＞0 D．g(－x＋1)＋g(x＋1)＜0 解析：AC　[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，因为g(x)＝f(x－1)， 所以g(1)＝f(0)＝0，故A正确； 因为f(x)为定义在R上的减函数，且f(2)＝－1，f(2)＜f(1)＜f(0)， 即－1＜f(1)＜0. 所以－1＜g(2)＜0，故B不一定成立； 因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)， 所以g(－x)＋g(x)＝－f(x＋1)＋f(x＋1)，因为f(x)是定义在R上的减函数， 所以f(x－1)＞f(x＋1)，所以f(x－1)－f(x＋1)＞0，即g(－x)＋g(x)＞0，故C正确； 因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，g(x＋1)＝f(x)， 所以g(－x＋1)＋g(x＋1)＝－f(x)＋f(x)＝0，选项D错误．] 9．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－log(－x)，则方程f(x)－＝0在(0，6)内的所有根之和为________． 解析：因为奇函数y＝f(x)在－1≤x＜0时有－x∈(0，1]，即f(－x)＝－logx＝－f(x)⇒f(x)＝logx， 又图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(2＋x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是以4位周期的周期函数，作出图象如下， 显然f(x)－＝0在(0，6)内共有4个根，且x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12. 答案：12 10．函数f＝＋，若f最大值为M，最小值为N，a∈，则M＋N的取值范围是________． 解析：f＝＋＝a＋＋. 令g＝，则g定义域为R关于原点对称， ∴g＝＝＝－＝－g， ∴g为奇函数，∴gmax＋gmin＝0， ∴fmax＋fmin＝M＋N＝2， ∵a∈，由对勾函数的单调性可知h＝a＋在上单调递减，在上单调递增， ∴hmin＝h＝4，h＝5，h＝，hmax＝h＝5， ∴h∈， ∴M＋N＝2∈. 答案： [能力提升组] 11．(2025·辽宁省丹东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析：B　[因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；当a2＜x＜2a2时，f(x)＝(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2. 综上，函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝ 因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如图所示， 观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.] 12．(多选)(2024·辽宁锦州模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝－x2＋1，则下列结论正确的是(　　) A．f＝－ B．f(x)在(6，8)上为减函数 C．点(3，0)是函数f(x)的一个对称中心 D．方程f(x)＋lg x＝0仅有6个实数解 解析：CD　[∵f(x－1)为奇函数，∴f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)， ∴f(x)关于点(－1，0)对称； ∵f(x＋1)为偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(－x)＝f(x＋2)， ∴f(x)关于x＝1对称； 由f(－x)＝－f(x－2)，f(－x)＝f(x＋2)， 得f(x＋2)＝－f(x－2)， ∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为8的周期函数． 对于A，f＝f＝f ＝－＋1＝，A错误； 对于C，∵f(x＋6)＝－f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋6)＋f(－x)＝0， ∴f(x)关于点(3，0)成中心对称，C正确； 对于BD，由周期性和对称性可得f(x)图象如图所示， 由图象可知：f(x)在(6，8)上单调递增，B错误； 方程f(x)＋lg x＝0的解的个数，等价于f(x)与y＝－lg x的交点个数， ∵f(12)＝f(4)＝－f(0)＝－1， －lg 12＜－lg 10＝－1， ∴结合图象可知：f(x)与y＝－lg x共有6个交点，即f(x)＋lg x＝0有6个实数解，D正确．] 13．(2025·全国模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，下列结论正确的是________．(填序号) ①f(x)的图象关于直线x＝2对称； ②f(x)的图象关于点(2，0)对称； ③f(x)的最小正周期为4； ④y＝f(x＋4)为偶函数． 解析：因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误； 因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(－x)＝f(x＋4)， 又f(－x)＝f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)， 所以T＝4，故③正确； 因为T＝4且f(x)为偶函数，所以y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确． 答案：①③④ 14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有 ①2是函数f(x)的周期； ②函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； ④f(x)的图象关于x＝1对称． 其中所有正确命题的序号是________． 解析：在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)， 因此2是函数f(x)的周期，故①正确； 当x∈[0，1]时，f(x)＝2x单调递增， 根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上单调递减，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增，故②正确； 由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数， ∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误； f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又T＝2， ∴f(x)＝f(x＋2)，∴f(－x)＝f(x＋2)， 故f(x)的图象关于x＝1对称，故④正确． 答案：①②④ 学科网（北京）股份有限公司 $$