第2章 课时冲关14 函数模型及应用(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关14　函数模型及应用 [基础训练组] 1．(2025·江苏常州期末)在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 y －2.0 －1.0 0 1.00 2.0 3.0 在四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A.y＝a＋bx　　　　　B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ 解析：C　[由题，作出散点图如下， 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择y＝a＋logbx反映x，y函数关系．故选C.] 2．(2024·北京卷)生物丰富度指数 d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N 解析：D　[由题意得＝2.1，＝3.15，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N.故选D.] 3．(2025·香坊区模拟)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x＝，lg 2＝0.301 0，则x的值约为(　　) A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 解析：A　[由2x＝，lg 2＝0.301 0，所以x＝log2＝＝＝＝≈1.322，即x的值约为1.322.] 4．(2025·江苏南通模拟)某灭活疫苗的有效保存时间T(单位：小时与储藏的温度t(单位：℃)满足的函数关系为T＝ekt＋b(k，b为常数，其中e＝2.718 28…)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0℃时的有效保存时间是1080 h，在10 ℃时的有效保存时间是120 h，则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为(　　) A．15 h B．30 h C．40 h D．60 h 解析：C　[T＝ekt＋b， 当t＝0时，T＝eb＝1080， 当t＝10时，120＝e10k·eb＝e10k×1080，解得e5k＝， 当t＝15时，T＝e15k·eb＝(e5k)3·eb＝×1080＝40.故选C.] 5．(2025·云南昆明一中期末)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位；人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式：y＝－x＋40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2 025人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是(　　) A．实数m的值为10 050 B．销售单价越低，直播在线购买人数越多 C．当x的值为30时利润最大 D．利润最大值为10 000 解析：D　[ 因为在线购买人数y(单位；人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式：y＝－x＋40，单调递减，所以B正确； 将x＝25，y＝2 025代入y＝－x＋40， 可得2 025＝－25＋40，解得：m＝10 050，所以A正确； 由题意可得所得利润为： f(x)＝(x－20)＝－x2＋60x＋9 200＝－(x－30)2＋10 100， 所以当x＝30，最大利润为10 100元，C正确，D错误．] 6．(多选)(2025·湖北月考)某一池塘里浮萍面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝2t，下列说法中正确的是(　　) A．浮萍每月增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 解析：ABD　[函数关系式y＝2t，∵＝＝1，∴每月的增长率为1，A正确； 当t＝5时，y＝25＝32>30，∴B正确； ∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)， 第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确； ∵2＝2t1，3＝2t2，6＝2t3，∴t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26， ∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正确．] 7．(多选)“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是(　　) A．如果购物总额为78元，则应付款为73元 B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元 C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元 D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元 解析：ABD　[购物总额为78元，则应付款为78－5＝73元，A正确；购物总额为228元，则应付款为228×0.9＝205.2元，B正确；购物总额为368元，则应付款为300×0.9＋68×0.8＝324.4元，C错误；购物时一次性全部付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有172.8元对应购物额度为＝216，因此购物总额为300＋216＝516元，D正确．] 8．(2025·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米． 解析：由题中散点图的走势，知模型①不合适． 曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与图不符，易知拟合最好的是②. 将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(米). 答案：②　 9．(2025·河南月考)某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两 种优惠方案供选择： 方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折．不重复打折； 方案二：按原价计算，总金额每满5 000元减1 000元． 已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为 ______元． 解析：由方案一可知，满10人可打9折，则单人票价为270人， 由方案二可知，满5 000减1 000元，按原价计算≈16.7，则满5 000元至少凑齐17人， 17×300－ 1 000＝4 100，则单人票价为≈241， 满10 000元时，≈33.3，则需34人，单人票价为241人， 满15 000元时，＝50，人数不足， ∵241＜270，∴用方案二先购买34张票，剩余13人，不满足方案二，但满足方案一， ∴总费用为34×300－2 000＋13×300×0.9＝11 710(元). 答案：11 710 10．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a>b).在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积． 解：设四边形EFGH的面积为S， 由题意得S△AEH＝S△CFG＝x2， S△BEF＝S△DHG＝(a－x)·(b－x). 由此得S＝ab－2 ＝－2x2＋(a＋b)x ＝－2＋. 函数的定义域为{x|0<x≤b}，因为a>b>0， 所以0<b<.若≤b，即a≤3b， x＝时面积S取得最大值； 若>b，即a>3b时，函数S＝－2·＋在(0，b]上是增函数，因此，当x＝b时，面积S取得最大值ab－b2. 综上可知，若a≤3b，当x＝时，四边形EFGH的面积取得最大值；若a>3b，当x＝b时，四边形EFGH的面积取得最大值ab－b2. [能力提升组] 11．(2025·山东师范大学附中模拟)已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则x的取值范围是(　　) A．1＜x＜2 B．1＜x≤2 C．8＜x＜9 D．8≤x＜9 解析：C　[由题意得，x小时后的电量为(3 000－300x)毫安，此时转为B模式， 可得10小时后的电量为(3 000－300x)·，则由题意可得(3 000－300x)·＞3 000×0.05， 化简得(10－x)·＞0.5， 即10－x＞29－x， 令m＝10－x，则m＞2m－1， 由题意得0＜x＜10，则0＜m＜10， 令m分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等， 由函数y＝x和y＝2x－1的图象可知， 该不等式的解集为1＜m＜2， 所以1＜10－x＜2，得8＜x＜9.] 12．(多选)市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a(1≤a≤4，且a∈R)个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝a·m，其中当0≤x≤4时，m＝－1，当4＜x≤10时，m＝5－x.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是(　　) A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度为5克/升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 解析：ABD　[对于A，由题意可得a＝4，当0≤x≤4时，y＝－4，当4＜x≤10时，y＝20－2x，当x＝2时，y＝－4＝，故A正确； 对于B，当0≤x≤4时，－4≥4，解得x≥0，故0≤x≤4， 当4＜x≤10时，20－2x≥4，解得x≤8，故4＜x≤8， 综上所述，0≤x≤8. 若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟，故B正确， 对于C，当6≤x≤10时， y＝2×＋2 ＝14－x＋－6， 当x＝8时，y＝6＋－6＝，故C错误； 对于D，∵4≤14－x≤8， ∴y＝14－x＋－6 ≥2－6＝8－6，当且仅当14－x＝，即x＝14－4时取等号， ∴y有最小值8－6≈5.3＞4，∴接下来的4分钟能够持续有效去污，故D正确．] 13．(2025·东城区模拟)某种物质在时刻t (min)的浓度M (mg/L)与t的函数关系为M(t)＝art＋24(a，r为常数).在t＝0 min和t＝1 min测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L，那么在t＝4 min时，该物质的浓度为________mg/L；若该物质的浓度小于24.001 mg/L，则最小的整数t的值为________(参考数据：lg 2≈0.3010). 解析：根据条件：ar0＋24＝124，ar＋24＝64， ∴a＝100，r＝.∴M(t)＝100＋24， ∴M(4)＝100＋24＝26.56. 由100＋24<24.001，得<(0.1)5， ∴lg <lg (0.1)5，∴t lg <－5， ∴t[lg 2－(1－lg 2)]＜－5. ∴t(2lg 2－1)＜－5，代入lg 2≈0.301， 得－0.398t＜－5，解得t＞12.5.∴最小的整数t的值是13. 答案：26.56　13 14．(2025·云南芗城区校级期末)土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物．云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！” (1)在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的．由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论； (2)小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，但最短3年，最长不超过10年；③投资年数x(x∈N＋)与总回报y的关系，可选择下述三种方案中的一种： 方案一：当x＝3时，y＝6，以后x每增加1时，y增加2； 方案二：y＝x2； 方案三：y＝()x. 请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案． 解：(1)设顾客一次购买x斤土豆，每斤土豆的单价为f(x)元， 由题意知：f(x)＝(1≤x≤5，x∈N＋)， 因为f(x)＝＝1＋，所以y＝f(x)在[1，5]上为单调递减函数． 说明一次购买的斤数越多，单价越低． (2)根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案． 由题意可知方案一对应的解析式为y＝6＋(x－3)×2＝2x. 列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，进而可得出如下结论： 　　　投资 年数x　　 总回　　 报y　　 3 4 5 6 7 8 9 10 方案一 6 8 10 12 14 16 18 20 方案二 3 12 27 方案三 3 3 3 9 3 3 27 3 当投资年数为3～5年时，选择方案一最佳； 当投资年数为6年时，选择方案一或方案二最佳； 当投资年数为7年或8年时，选择方案二最佳； 当投资年数为9年时，选择方案二或方案三最佳； 当投资年数为10年时，选择方案三最佳． 学科网（北京）股份有限公司 $$