第2章 课时冲关13 方程解的存在性及方程的近似解(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关13　方程解的存在性及方程的近似解 [基础训练组] 1．(2025·安徽安庆市期末)在用二分法求方程3x＋2x－10＝0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)＝3x＋2x－10，依次计算得f(1)＝－5＜0，f(2)＝3＞0，f(1.5)＜0，f(1.75)＞0，f(1.625)＜0，则该近似解所在的区间是(　　) A．(1，1.5)　　　　　　B．(1.5，1.625) C．(1.625，1.75) D．(1.75，2) 解析：C　[根据已知f(1)＝－5＜0，f(1.5)＜0，f(1.625)＜0，f(1.75)＞0，f(2)＝3＞0， 根据二分法可知该近似解所在的区间是(1.625，1.75).] 2．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3　　　　B．2　　　C．1　　　D．0 解析：B　[当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2.] 3．(2025·江西萍乡模拟)已知函数f(x)＝则y＝f(x)－的所有零点之和为(　　) A． B． C．2 D．0 解析：D　[x≥0时，由(x－1)2－＝0，得x＝1±，x＜0时，由|x＋1|－＝0，得x＝－或x＝－，所以四个零点和为1＋＋1－－－＝0.] 4．(2025·广东珠海一模)已知函数f＝在R上没有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．∪ B． C． D． 解析：A　[设 g(x)＝ g(x)的图象如图所示： 问题转化为g(x)与函数 y＝－a 的图象没有交点， 所以－a＝0或－a>1， 解得a＝0或a<－1.故选A.] 5．(2025·玉溪市模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．多于4个 解析：C　[由f(x＋2)＝f(x)可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，故可作出函数f(x)的图象． ∴方程f(x)＝log3|x|的解个数等价于y＝f(x)与y＝log3|x|图象的交点个数，由图象可得它们有4个交点，故方程f(x)＝log3|x|的解的个数为4.] 6．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 解析：D　[法一：令f(x)＝g，即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x， 令F＝ax2＋a－1，G＝cos x， 原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点， 注意到F，G均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得F＝G，即a－1＝1，解得a＝2. 若a＝2，令F＝G，可得2x2＋1－cos x＝0. 因为x∈，则2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点， 所以a＝2符合题意； 综上所述：a＝2. 法二：令h＝f(x)－g＝ax2＋a－1－cos x，x∈， 原题意等价于h有且仅有一个零点， 因为h＝a2＋a－1－cos ＝ax2＋a－1－cos x＝h， 则h为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h的零点只能为0， 即h＝a－2＝0，解得a＝2， 若a＝2，则h＝2x2＋1－cos x，x∈， 又因为2x2≥0，1－cos x≥0当且仅当x＝0时，等号成立， 可得h≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 即h有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．故选D.] 7．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　) A．ln x＝1－x B．ex＝ C．2－x2＝lg |x| D．cos x＝|x|＋1 解析：ABD　[对于A，设f(x)＝ln x＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故ln x＝1－x有唯一解，符合；对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得ex＝有唯一解，符合；对于C，设h(x)＝x2＋lg x－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h(x)＝x2＋lg x－2有唯一零点，又H(x)＝2－x2－lg |x|为偶函数，则2－x2＝lg |x|有两个解，不符合；对于D，因为cos x∈[－1，1]，|x|＋1≥1，当且仅当x＝0时cos x＝|x|＋1，即cos x＝|x|＋1有唯一解，符合．] 8．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________． 解析：由题意知f[f(x)]＝－1，由f[f(x)]＝得函数y＝f[f(x)]＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x)＝的x值， 解f(x)＝－2得x＝－3或x＝； 解f(x)＝得x＝－或x＝， 从而函数y＝f[f(x)]＋1的零点构成的集合为. 答案： 9．(2025·遂宁市模拟)已知f(x)是以2e为周期的R上的奇函数，当x∈(0，e)时，f(x)＝ln x，若在区间[－e，3e]上关于x的方程f(x)＝kx恰好有4个不同的解，则实数k的取值范围是________． 解析：由f(x)是以2e为周期的R上的奇函数， 可得f(0)＝0，f(－e)＝f(2e－e)＝f(e)＝－f(e)， 所以f(e)＝0，f(3e)＝0， 当x∈(0，e)时，f(x)＝ln x， 可得x∈(－e，0)时，f(x)＝－ln (－x)， 作出函数f(x)在[－e，3e]上的图象， 由已知在区间[－e，3e]上关于x的方程f(x)＝kx，可得f(0)＝0，当直线y＝kx过(e，－1)，可得k＝－； 当直线y＝kx过(3e，1)，可得k＝； 由图象和在区间[－e，3e]上关于x的方程f(x)＝kx恰好有4个不同的解，可得实数k的取值范围是. 答案： 10．设函数f(x)＝(x>0). (1)作出函数f(x)的图象； (2)当0<a<b且f(a)＝f(b)时，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围． 解：(1)函数f(x)的图象如图所示． (2)∵f(x)＝ ＝ 故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b且－1＝1－，∴＋＝2. (3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根，即实数m的取值范围为(0，1). [能力提升组] 11．(2025·江西高三模考)已知函数f(x)＝则f(x)在(0，10)上的零点个数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：B　[由题意，当0＜x≤3时，作出函数y＝|ln x|与y＝sin x的图象． 由图可知，函数y＝|ln x|与y＝sin x在(0，1)和[1，3]内各有一个交点， 所以f(x)在(0，3]上有2个零点． 由当x＞3时，f(x)＝f(x－3)，由函数周期性的性质可得 当3＜x≤6时，f(x)上有2个零点，当6＜x≤9时，f(x)上有2个零点， 当9＜x＜10时，f(x)上有1个零点， 所以f(x)在(0，10)上有7零点个数．] 12．(多选)(2025·辽宁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的单调函数，且f(f(x)－2x－2x)＝10.若函数g(x)＝有3个零点，则a的取值可能为(　　) A．2 B． C．3 D． 解析：BC　[因为f(x)为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的t∈R，使得f(t)＝10， 则f(x)－2x－2x＝t，f(t)－2t－2t＝t， 即f(t)＝2t＋3t＝10， 因为函数y＝2t＋3t为增函数，且22＋3×2＝10，所以t＝2，f(x)＝2x＋2x＋2. 当x≤0时，由g(x)＝0，得a＝2x＋2；当x＞0时，由g(x)＝0，得a＝|log2x|－1. 结合函数的图象可知，若g(x)有3个零点，则a∈(2，3].] 13．(2025·浙江宁海中学月考)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x)f(1－x)＝1，则f＝________．若m，n∈R且mn＝－1，记函数g(x)＝f(x)－1，则g(x)在[m, n]上最少存在________个零点． 解析：由已知，令x＝，则ff＝1，因f(x)＞0，所以f＝1，又f(x)f(1－x)＝1⇒f(－x)f(1＋x)＝1，因f(x)为偶函数，所以f(x)f(1＋x)＝1，故f(x)＝＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，故f＝f＝f＝1； 由题意知，mn＝－1，m＜0，n＞0，且n－m＝n＋≥2①，当n＝1时，等号成立，①式说明区间长度大于等于2，而g(x)＝f(x)－1，易知x＝k＋，k∈Z是g(x)的零点，而相邻零点的距离为1，故g(x)在[m, n]上至少存在2个零点． 答案：1　2 14．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数． (1)求k的值； (2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx， 即(2k＋1)x＝0，∴k＝－. (2)依题意有log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)， 即 令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0(*)， 只需其有一正根即可满足题意． ①当a＝1时，t＝－1，不合题意． ②(*)式有一正一负根t1，t2， 即 得a>1，经验证正根满足at－a>0，∴a>1. ③(*)式有相等两根，即Δ＝0⇒a＝±2－2， 此时t＝， 若a＝2(－1)，则有t＝<0，此时方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，故a＝2(－1)舍去； 若a＝－2(＋1)，则有t＝>0， 因此a＝－2(＋1). 综上所述，a>1或a＝－2－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$