第2章 课时冲关11 对数与对数函数(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关11　对数与对数函数 [基础训练组] 1．(2025·天津模拟)已知2x＝3，log2＝y，则2x＋y＝(　　) A．3　　　B．5　　　C．2log23　　　D．23 解析：A　[2x＝3⇔x＝log23，y＝log2， ∴2x＋y＝2log23＋log2＝log2 ＝log28＝3.] 2．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 解析：C　[将log83＝b转化为指数，得到8b＝3.再结合指数的运算性质，8b＝(23)b＝23b＝3，因此2a－3b＝＝，所以4a－3b＝.] 3．函数y＝ln cos x的大致图象是(　　) 解析：A　[在上，t＝cos x是减函数，则y＝ln cos x是减函数，且函数值y＜0，故排除B，C；在上，t＝cos x是增函数，则y＝lncos x是增函数，且函数值y＜0，故排除D.] 4．(2024·北京卷)已知，是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) A．log2< B．log2> C．log2<x1＋x2 D．log2>x1＋x2 解析：B　[由题意不妨设x1<x2，因为函数y＝2x是增函数，所以0<2x1<2x2，即0<y1<y2， 对于选项AB：可得>＝2，即>2>0， 根据函数y＝log2x是增函数，所以log2>log22＝，故B正确，A错误； 对于选项D：例如x1＝0，x2＝1，则y1＝1，y2＝2， 可得log2＝log2∈，即log2<1＝x1＋x2，故D错误； 对于选项C：例如x1＝－1，x2＝－2，则y1＝，y2＝， 可得log2＝log2＝log23－3∈，即log2>－3＝x1＋x2，故C错误．故选B.] 5．(2025·河北唐山月考)饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚．检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL，小于80 mg/100 mL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80 mg/100 mL的驾驶行为．”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%. 某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100 mg/100 mL，若经过n(n∈N*)小时，该人血液中的酒精含量小于20 mg/100 mL，则n的最小值为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：B　[经过n(n∈N*)小时，该人血液中的酒精含量为100×0.8n mg/100 mL，由题意得，100×0.8n＜20，即0.8n＜0.2， 解得n＞log0.80.2＝＝＝≈≈7.2，所以n的最小值为8.] 6．(2025·泰安一模)若函数f＝(其中a>0，且a≠1)的最小值是3，则a的取值范围是(　　) A．<a<1 B．≤a<1 C．1<a<3 D．1<a≤3 解析：D　[由函数f＝ (其中a>0，且a≠1)的最小值是3， 当x≤4时，函数f＝－x＋7为单调递减函数，所以fmin＝f＝3， 则当x>4时，函数f＝2＋loga(x－1)应为单调递增函数，则a>1， 且满足f>f＝2＋loga3≥3，即loga3≥1，解得1<a≤3， 综上可得，实数a的取值范围为.故选D.] 7．(多选)已知函数f(x)＝ln (x－2)＋ln (6－x)，则(　　) A．f(x)在(2，6)上单调递增 B．f(x)在(2，6)上的最大值为2 ln 2 C．f(x)在(2，6)上单调递减 D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称 解析：BD　[f(x)＝ln (x－2)＋ln (6－x)＝ln [(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6).令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2，6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln (4－2)＋ln (6－4)＝2ln 2.] 8．(2025·辽宁东北育才学校模拟)若函数f(x)满足：①∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，都有＜0；②f＝f(x1)－f(x2)，则f(x)＝________(写出满足这些条件的一个函数即可). 解析：对于条件①，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0， ∵＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0， ∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)为(0，＋∞)上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数． 答案：logx[logax，(0<a<1)都对] 9．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)＞1在[1，2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)＞1，解得1＜a＜， 当0＜a＜1时，f(x)在[1，2]上是增函数， 由f(x)＞1在[1，2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)＞1，且8－2a＞0，故不存在实数a满足题意． 综上可知，实数a的取值范围是. 答案： 10．(2025·广东深圳期末)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在上的最大值为3. (1)求a的值； (2)当x∈时，2－f(x)－f(x)＋t≥0，求实数t的取值范围． 解：(1)当a>1时，函数f(x)＝logax在上单调递增， 则fmax＝f＝loga8＝3，解得a＝2； 当0<a<1时，函数f(x)＝logax在上单调递减， 则fmax＝f＝loga1＝0≠3，舍去． 综上可知，a＝2. (2)由(1)得，f(x)＝log2x， 当x∈时，2－f(x)－f(x)＋t≥0， 即2－log2x－log2x＋t≥0，化简得t≥max，x∈. 构造g＝log2x－，x∈， ∵ y＝log2x和y＝－分别在上单调递增， ∴g在上单调递增，gmax＝g＝log28－＝. 故实数t的取值范围是. [能力提升组] 11．(2025·全国模拟)若ea＝4，eb＝25，则(　　) A．a＋b＝100 B．b－a＝e C．ab＜8ln22 D．b－a＞ln 6 解析：D　[对于A，由ea＝4，eb＝25，得a＝ln 4，b＝ln 25，所以a＋b＝ln 4＋ln 25＝ln 100，故A错误；对于B，b－a＝ln 25－ln 4＝ln ，故B错误；对于C，ab＝ln 4×ln 25＞2ln 2×ln 16＝8ln22，故C错误；对于D，b－a＝ln 25－ln 4＝ln ＞ln 6，故D正确．] 12．(多选)(2025·重庆模拟)已知2a＝5b＝10，则(　　) A．＋＞1 B．a＞2b C．ab＞4 D．a＋b＞4 解析：BCD　[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510， 对于A，＋＝＋＝log102＋ log105＝log102×5＝log1010＝1，故A不正确； 对于B，∵a＝log210，2b＝2log510＝log5102＝log5100， 23＝8，24＝16，52＝25，53＝125 log28＜log210＜log216⇒3＜a＜4； log525＜log5100＜log5125⇒2＜2b＜3， a＞2b，故B正确； 对于C，ab＝log210·log510＝· ＝· ＝(1＋log25)(1＋log52) ＝1＋log25＋log52＋log25·log52 ＝2＋log25＋log52 ∵log25＞log24＝2，log52＞log51＝0，∴ab＞2＋2＋0＝4，故C正确； 对于D，由B知，3＜a＜4，2＜2b＜3， ∴1＜b＜，∴4＜a＋b＜，故D正确．] 13．(2025·浙江模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝log2x＋a，若存在x1∈[3，4]，任意x2∈[4，8]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________． 解析：若f(x)在[3，4]上的最大值f(x)max，g(x)在[4，8]上的最大值g(x)max， 由题设，只需f(x)max≥g(x)max即可． 在[3，4]上，f(x)＝＋x≥2＝6当且仅当x＝3时等号成立， 由对勾函数的性质：f(x)在[3，4]上递增，故f(x)max＝. 在[4，8]上，g(x)单调递增，则g(x)max＝3＋a， 所以≥3＋a，可得a≤. 答案： 14．已知函数f(x)＝ln . (1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性； (2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln ＞ln 恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由>0，解得x<－1或x>1， ∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－f(x)， ∴f(x)＝ln 是奇函数． (2)由x∈[2，6]时，f(x)＝ln ＞ln 恒成立． ∴＞＞0，∵x∈[2，6]， ∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上成立． 令g(x)＝(x＋1)(7－x) ＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]， 由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减， x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7. 学科网（北京）股份有限公司 $$