第2章 课时冲关10 指数与指数函数(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关10　指数与指数函数 [基础训练组] 1．设x＞0，且1＜bx＜ax，则(　　) A．0＜b＜a＜1　　　　B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b 解析：C　[因为1＜bx，所以b0＜bx， 因为x＞0，所以b＞1，因为bx＜ax，所以＞1， 因为x＞0，所以＞1，所以a＞b，所以1＜b＜a.] 2．函数y＝(0<a<1)图象的大致形状是(　　) 解析：D　[函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝当x>0时，函数是一个指数函数，因为0<a<1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；故排除A，C；当x<0时，函数图象与指数函数y＝ax(x<0，0<a<1)的图象关于x轴对称，在(－∞，0)上是增函数．故排除B.] 3．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b　　　　　B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 解析：D　[由y＝1.01x在R上递增， 则a＝1.010.5＜b＝1.010.6， 由y＝x0.5在(0，＋∞)上递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.] 4．(2025·湖南衡阳月考)已知f＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析：D　[由题意，函数f＝是R上的单调递增函数， 则满足解得6≤a<14，即实数a的取值范围为.故选D.] 5．(2025·安徽淮南模拟)1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即F＝c0M，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的(参考数据：≈1.778 3)(　　) A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍 解析：C　[设该哺乳动物原体重为M1、基础代谢率为F1，则F1＝c0M1， 经过一段时间生长，其体重为10M1，基础代谢率为F2，则F2＝c0·(10M1)， 则F2＝c0·(10M1)＝10·c0·M1＝10F1，则＝10≈1.778 33≈5.6.] 6．(多选)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝18 C．a＋a－＝± D．a＋＝2 解析：ABD　[在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝5，且a＞0，所以a＋a－＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a＞0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．] 7．(多选)(2024·山东济南模拟)下列不等关系中一定成立的是(　　) A．3> B．＜ C．(1＋n)＜1＋，n∈N＋ D．2n＞n2，n∈N＋ 解析：ABC　[A项，因为3＞1，所以3>，故正确；B项，因为y＝x在(0，＋∞)上递增，则＜，因为y＝在(0，＋∞)上递减，则＜，所以＜，故正确；C项，因为[(1＋n)]2－＝－＜0，所以(1＋n)＜1＋，n∈N＋，故正确；D项，当n＝2时，2n＝n2，故错误．] 8．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝____________． 解析：∵f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4. 所以f(x)＝ 当f(x－2)>0时， 有或 解得x>4或x<0. 所以{x|f(x－2)>0}＝{x|x<0或x>4}． 答案： {x|x<0或x>4} 9．(2025·全国模拟)已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋6，若方程f(－x)＋f(x)＝0有解，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意得：9x＋9－x－m(3x＋3－x)＋2m＋12＝0有解， 令3x＋3－x＝t(t≥2)，则9x＋9－x＝t2－2， ∴t2－mt＋2m＋10＝0有解，即m(t－2)＝t2＋10有解，显然t＝2无意义， ∴t＞2，令t－2＝y(y＞0)， ∴m＝＝y＋＋4≥2＋4，当且仅当y＝，即y＝时取等， ∴m∈[2＋4，＋∞). 答案：[2＋4，＋∞) 10．(2025·安徽滁州月考)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0, b∈R)在区间[2, 4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝. (1)求a，b的值； (2)若不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围． 解：(1)函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b，(a＞0，b∈R) 则对称轴x＝－＝1，故函数g(x)在[2, 4]上为增函数， 所以当x＝2时，g(x)min＝1， 当x＝4时，g(x)max＝9， ∴解之得 故a的值为1，b的值为0. (2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝＝x＋－2， 因为不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，所以3x＋－2－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解， 设t＝，t∈，所以t2－2t＋1≥k在上有解，即(t2－2t＋1)max≥k. 设h(t)＝t2－2t＋1，t∈，对称轴t＝1，则当t＝3时，h(t)max＝h(3)＝9－6＋1＝4， 所以实数k的取值范围是(－∞，4]. [能力提升组] 11．(2025·陕西榆林市教育科学研究所模拟)甲、乙两人解关于x的方程2x＋b·2－x＋c＝0，甲写错了常数b，得到的根为x＝－2或x＝log2，乙写错了常数c，得到的根为x＝0或x＝1，则原方程的根是(　　) A．x＝－2或x＝log23 B．x＝－1或x＝1 C．x＝0或x＝2 D．x＝－1或x＝2 解析：D　[令t＝2x，则方程2x＋b·2－x＋c＝0可化为t2＋ct＋b＝0，甲写错了常数b， 所以和是方程t2＋ct＋m＝0的两根， 所以c＝－＝－， 乙写错了常数c，所以1和2是方程t2＋nt＋b＝0的两根，所以b＝1×2＝2， 则可得方程t2－t＋2＝0，解得t1＝，t2＝4， 所以原方程的根是x＝－1或x＝2.] 12．(多选)(2025·山东烟台模拟)某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r＞0)，劳累程度T(0＜T＜1)，劳动动机b(1＜b＜5)相关，并建立了数学模型E＝10－10T·b－0.14r.已知甲、乙为该公司的员工，则下列说法正确的有(　　) A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱 C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高 D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高 解析：BCD　[设甲与乙的工人工作效率E1，E2，工作年限r1，r2，劳累程度T1，T2，劳动动机b1，b2， 对于A，r1＝r2，E1＞E2，b1＜b2，0＜＜1， ∴E1－E2＝10(T2·b2－0.14r2－T1·b1－0.14r1)＞0，T2·b2－0.14r2＞T1·b1－0.14r1， ＞＝＞1，所以T2＞T1，即甲比乙劳累程度弱，故A错误； 对于B，b1＝b2，E1＞E2，r1＜r2， ∴E1－E2＝10(T2·b2－0.14r2－T1·b1－0.14r1)＞0，T2·b2－0.14r2＞T1·b1－0.14r1， ∴＞＝(b1)－0.14(r1－r2)＞1，所以T2＞T1，即甲比乙劳累程度弱，故B正确； 对于C，T1＝T2，r1＞r2，b1＞b2，∴1＞b＞b＞0，b2－0.14r2＞b1－0.14r2＞b1－0.14r1， 则E1－E2＝10－10T1·b1－0.14r1－(10－10T2·b2－0.14r2)＝10T1(b2－0.14r2－b1－0.14r1)＞0， ∴E1＞E2，即甲比乙工作效率高，故C正确； 对于D，b1＝b2，r1＞r2，T1＜T2，1＜b＜5，0＜b＜1，∴b2－0.14r2＞b1－0.14r1，T2＞T1＞0， 则E1－E2＝10－10T1·b1－0.14r1－(10－10T2·b2－0.14r2)＝10(T2·b2－0.14r2－T1·b1－0.14r1)＞0， ∴E1＞E2，即甲比乙工作效率高，故D正确．] 13．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根，则a的取值范围为________． 解析：由题意得[f(x)＋a－1][f(x)＋a]＝0，即f(x)＝1－a或f(x)＝－a， f(x)的图象如图所示： 关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根， 则或 解得－1＜a≤1. 答案：(－1，1] 14．(2025·北京模拟)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知f(x)＝4x＋a·2x－2. (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ (2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3, 令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞)， 令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)＞－3，可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)， 故函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意有，当x∈(－∞，0)时，－2≤4x＋a·2x－2≤2 可化为0≤4x＋a·2x≤4，必有a＋2x≥0且a≤－2x， 令2x＝k，由x∈(－∞，0)，可得k∈(0，1)， 由a＋2x≥0恒成立，可得a≥0, 令h(t)＝－t(0＜t＜1)，可知函数h(t)为减函数，有h(t)＞4－1＝3， 由a≤－2x恒成立，可得a≤3， 故若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数， 则实数a的取值范围为[0，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$