第2章 课时冲关9 幂函数与二次函数(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关9　幂函数与二次函数 [基础训练组] 1．(2025·呼和浩特市模拟)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　) A．定义域内的减函数 　 B．奇函数 C．偶函数 D．定义域内的增函数 解析：B　[∵点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，∴a－1＝1，解得a＝2，∴2b＝，解得b＝－3，∴f(x)＝x－3，∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．] 2．(2025·云南昆明一诊)已知幂函数f＝x，且0<a<b<1，则下列选项中正确的是(　　) A．f<f<f<f B．f<f<f<f C．f<f<f<f D．f<f<f<f 解析：C　[因为>0，所以f在上单调递增， 又因为0<a<b<1， 所以>>1>b2>a2>0， 所以f>f>f>f.故选C.] 3．幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．无法确定 解析：A　[由题意可得＝，＝. 即α＝log，β＝log. 所以αβ＝log·log＝·＝1.] 4．(2025·福州模拟)若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈恒有y≥0成立，则a的最小值是(　　) A．0　　　B．2　　　C．－　　　D．－3 解析：C　[设g(x)＝x2＋ax＋1，x∈，则g(x)≥0在x∈上恒成立，x2＋ax＋1≥0， 即a≥－在x∈上恒成立． 又h(x)＝－在x∈上为单调递增函数，当x＝时，h(x)max＝h，所以a≥－即可，解得a≥－.] 5．(2025·四川联考)若关于x的方程x2－2ax＋a＋2＝0在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　) A． B． C.∪ D．∪ 解析：A　[令g＝x2－2ax＋a＋2，因为方程x2－2ax＋a＋2＝0在区间上有两个不相等的实数解， 所以即 解得－<a<－1， 所以a的取值范围是.故选A.] 6．(多选)有如下命题，其中真命题的标号为(　　) A．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＞ B．函数f(x)＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(1，2) C．函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上单调递减 D．若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2] 解析：BD　[对于A，令f(x)＝xα，则2α＝，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1，∴f(3)＝＜，A错误；对于B，令x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝1＋1＝2， ∴f(x)恒过定点(1，2)，B正确；对于C，∵f(x)为开口方向向上，对称轴为x＝0的二次函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C错误；对于D，令f(x)＝4，解得x＝0或x＝2；又f(x)min＝f(1)＝3，∴实数m的取值范围为[1，2]，D正确．] 7．(多选)(2025·辽宁期中)已知函数f(－3)＝2x－3－9，则下列选项正确的有(　　) A．f＝68 B．函数y＝f有两个不同零点 C．函数y＝f有最小值，无最大值 D．函数y＝f的增区间为 解析：AC　[令t＝－3≥－3，所以x＝2， 所以f＝22－3－9＝2t2＋9t， 所以f＝2x2＋9x. 对于A，f＝2×42＋9×4＝68，故A正确； 对于B，令f＝2x2＋9x＝0，解得x＝0或x＝－， 因为x≥－3，所以函数y＝f有一个不同零点，故B不正确； 对于C，f＝2x2＋9x＝22－， 当x＝－时，y＝f有最小值－，无最大值，故C正确； 对于D，f＝2x2＋9x＝22－， 所以y＝f的单调增区间为：，故D不正确．故选AC.] 8. 如图是幂函数y＝xαi(αi＞0，i＝1，2，3，4，5)在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，α4＝，α5＝，已知它们具有性质： ①都经过点(0，0)和(1，1)；②在第一象限都是增函数． 请你根据图象写出它们在(1，＋∞)上的另外一个共同性质：________． 解析：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方． 答案：α越大函数增长越快 9．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________． 解析：由函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1， 当x∈[－1，2]时，f(x)min＝f(1)＝－1， f(x)max＝f(－1)＝3，即函数f(x)的值域为[－1，3]，当x∈[－1，2]时，函数g(x)min＝g(－1)＝－a＋2，g(x)max＝g(2)＝2a＋2，若满足题意，则解得a≥3. 答案：[3，＋∞) 10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围． 解：(1)由题意知 解得所以f(x)＝x2＋2x＋1， 由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]. (2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立， 令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]， 由g(x)＝＋，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，即k的取值范围是(－∞，1). [能力提升组] 11．(多选)函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4，若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a可能的取值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：ABC　[由题意可知问题转化为f(x)max≤g(x)max， g(x)＝x＋4在(－∞，－1]上单调递增， ∴g(x)max＝g(－1)＝3， f(x)＝－x2＋ax－6＝－＋－6， ①当对称轴x＝≤0，即a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)＝－6， ∴3≥－6，符合题意，∴a≤0； ②当对称轴x＝＞0，即a＞0时，f(x)max＝ f＝－6， ∴－6≤3，解得－6≤a≤6，∴0＜a≤6， 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，6].] 12．(2025·安徽江淮十校联考)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　) A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx) C．f(bx)＞f(cx) D．与x有关，不确定 解析：A　[由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，则bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x).∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx).] 13．M是幂函数f(x)＝xα图象上的点，将f(x)的图象向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若点Tn(n，m)(n∈N*，且n≥2)在g(x)的图象上，则|MT2|＋|MT3|＋…＋|MT9|＝________． 解析：由＝，得α＝，f(x)＝x， ∴g(x)＝(x－2)＋. 因为点(n，m)在函数g(x)的图象上，所以m－＝(n－2)，即＝n－2. 所以|MTn|＝ ＝ ＝＝ ＝n－(n≥2)， 所以|MT2|＋|MT3|＋…＋|MT9| ＝＋＋…＋ ＝(2＋3＋…＋9)－×8＝－14＝30. 答案：30 14．已知函数f(x)＝x－m2＋2m＋2(m∈Z)为偶函数，且f(3)＞f(2). (1)求m的值，并确定f(x)的解析式； (2)若g(x)＝loga[f(x)－ax＋5](a＞0，且a≠1)，是否存在实数a，使得g(x)在区间[1，2]上为减函数． 解：(1)因为f(3)＞f(2)， 则－m2＋2m＋2＞0，解不等式可得1－＜m＜1＋， 因为m∈Z，则m＝0或m＝1或m＝2， 又因为函数f(x)为偶函数，所以－m2＋2m＋2为偶数， 当m＝0时，－m2＋2m＋2＝2 ，符合题意； 当m＝1时，－m2＋2m＋2＝3，不符合题意，舍去； 当m＝2时，－m2＋2m＋2＝2，符合题意， 综上可知，m＝0或m＝2，此时f(x)＝x2. (2)存在．理由如下： 由(1)可得f(x)＝x2，则g(x)＝loga(x2－ax＋5)(a＞0，且a≠1)， 当0＜a＜1时，根据对数函数的性质可知y＝loga h(x)为减函数．根据复合函数单调性判断方法可知，h(x)＝x2－ax＋5在[1，2]上为增函数且满足h(x)＞0在[1，2]上恒成立， 即 解不等式组得0＜a＜1. 当a＞1时，根据对数函数的性质可知对数部分为增函数．根据复合函数单调性判断方法可知， h(x)＝x2－ax＋5在[1，2]上为减函数且满足h(x)＞0在[1，2]上恒成立， 即 解不等式组得4≤a＜. 综上可知，当0＜a＜1或4≤a＜时，g(x)在[1，2]上为减函数， 所以存在实数a∈(0，1)∪，满足g(x)在[1，2]上为减函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$