第2章 课时冲关8 函数的奇偶性与周期性(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关8　函数的奇偶性与周期性 [基础训练组] 1．(2025·广东惠州模拟)下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是(　　) A．y＝　　　　B．y＝x3－x C．y＝－ D．y＝ 解析：D　[对于A，y＝为偶函数，故A错误； 对于B，设f＝x3－x＝x，所以f＝f＝0， 故y＝x3－x在定义域上不是单调递增，故B错误； 对于C，y＝－，故函数的单调增区间为和，所以y＝－在定义域上不是单调递增，故C错误； 对于D，y＝＝x，由幂函数的性质可知，函数y＝为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确．故选D.] 2．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2　　　B．－1　　　C．1　　　D．2 解析：D　[因为f(x)＝为偶函数，则 f(x)－f(－x)＝－ ＝＝0，又因为x不恒为0， 可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x， 则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.] 3．(2025·广东惠州模拟)函数f(x)＝ex－1－e1－x＋5，若有f(m)＝2，则f(2－m)＝(　　) A．8 B．5 C．0 D．4 解析：A　[由函数g＝ex－e－x，可得g＝e－x－ex＝－g， 所以g为奇函数，其图象关于原点对称， 根据函数的图象变换，可得函数f(x)＝ex－1－e1－x＋5的图象关于对称， 因为＝1，所以＝5.又f(m)＝2，解得f(2－m)＝8.故选A.] 4．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，对∀x1，x2∈[0，3]且x1≠x2 ，都有＞0，则有(　　) A．f(49)＜f(64)＜f(81) B．f(49)＜f(81)＜f(64) C．f(64)＜f(49)＜f(81) D．f(64)＜f(81)＜f(49) 解析：A　[根据题意，函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)， 有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，则函数f(x)是周期为6的函数， f(49)＝f(1＋6×8)＝f(1)， f(81)＝f(－3＋6×14)＝f(－3)， f(64)＝f(－2＋6×11)＝f(－2)， 又由函数为偶函数，则f(49)＝f(1＋6×8)＝f(1)， f(81)＝f(－3)＝f(3)， f(64)＝f(－2)＝f(2)， 又由对∀x1，x2∈[0，3]且x1≠x2，都有＞0， 则函数f(x)在区间[0，3]上为增函数， 进而有f(1)＜f(2)＜f(3)， 即f(49)＜f(64)＜f(81).] 5．(2025·安庆市模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x＋1)＝f(x－1)，且当－1＜x＜0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)等于(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：D　[∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴函数f(x)是周期为2的周期函数， 又∵log232＞log220＞log216，∴4＜log220＜5， ∴f(log220)＝f(log220－4)＝f ＝－f. 又∵x∈(－1，0)时，f(x)＝2x－1， ∴f＝f＝－1＝－， f(log220)＝.] 6．(多选)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(　　) A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6) C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6) 解析：BCD　[∵y＝f(x＋4)为偶函数， ∴f(－x＋4)＝f(x＋4)， ∴y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5). 又y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6).] 7．(多选)(2025·长春市第二中学校考期末)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　) A．函数f(x)的周期T＝2 B．f(2 023)＝f(2 024)＝0 C．点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心 D．f(x)在[－2，2]上有4个零点 解析：ABC　[由定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为T＝2，所以A正确； 由f(－1＋2)＝f(－1)，即f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝f(－1)＝0，且f(0)＝0， 又由f(2 023)＝f(1)＝0, f(2 024)＝f(0)＝0， 所以f(2 023)＝f(2 024)＝0，所以B正确； 由f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，可得点(1，0)是y＝f(x)图象的一个对称中心，所以C正确； 由f(x)在[－2，2]上有f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，所以函数f(x)在[－2，2]上有5个零点，所以D错误．] 8．(2025·湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)＝x3(a·2x＋2－x)是奇函数，则a＝________． 解析：设g(x)＝a·2x＋2－x，因为f(x)＝x3·g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－x3·g(－x)＝－f(x)＝－x3·g(x)，即g(－x)＝g(x)⇒a·2－x＋2x＝a·2x＋2－x， 整理得到(a－1)(2x－2－x)＝0，故a＝1. 答案：1 9．已知f(x)是定义在R上的函数，若对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且函数f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，f(1)＝3，则f(2 025)＝________． 解析：因为函数f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，则有f(x)＝f(－x)； 因为对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)， 令x＝－4，得f(－4＋8)＝f(－4)＋f(4)⇒f(－4)＝f(4)＝0， 所以对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8， 则f(2 025)＝f(253×8＋1)＝f(1)＝3. 答案：3 10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称． (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数； (2)若f(x)＝ (0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式． 解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)， 即有f(－x)＝f(x＋2). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 故有f(－x)＝－f(x). 故f(x＋2)＝－f(x). 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数． (2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0. x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－. 故x∈[－1，0]时，f(x)＝－. x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]， f(x)＝f(x＋4)＝－. 从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－. [能力提升组] 11．(2025·安徽滁州月考)设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，在区间[－1, 0)上是增函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则有(　　) A．f＜f＜f(1) B．f(1)＜f＜f C．f(1)＜f＜f D．f＜f(1)＜f 解析：A　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f＝－f，f(1)＝－f(－1)，f＝f＝－f，又－1＜－＜－＜0，且函数在区间[－1，0)上是增函数， ∴f(－1)＜f＜f＜0，∴－f(－1)＞－f＞－f，∴f(1)＞f＞f.] 12．(多选)(2025·重庆巴蜀中学月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2, 0]上是增函数，下面关于f(x)的判断正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点P(1，0)对称 B．f(0)是函数f(x)的最大值 C．f(x)在[2, 3]上是减函数 D．f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z 解析：ABD　[∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，∵偶函数f(x)在[－2, 0]上是增函数，∴f(x)在[0, 2]上是减函数，f(x)在[－2, 2]上的最大值为f(0)，∵f(x)是以4为周期的周期的函数，∴f(0)是函数的最大值，故B正确； ∵f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋2)＋f(－x)＝0，∴f(x)图象关于点(1, 0)对称，故A正确； ∵f(x)在[－2, 0]上是增函数，∴ f(x)在[2, 4]上是增函数，故C错误； 因为T＝4，所以f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z，故D正确．] 13．(2025·广东佛山模拟)已知函数f(x)＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称，若f(2x－1)＞，则x的取值范围为________． 解析：因为函数f(x)＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称且定义域为R， 则f(0)＝20＋a·20＝0，解得a＝－1，经检验符合题意， y＝2x、y＝－2－x均为R上的增函数，则f(x)＝2x－2－x为R上的增函数， 又f(1)＝21－2－1＝， 则不等式f(2x－1)＞等价于2x－1＞1，解得x＞1. 答案：x＞1 14．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).　 (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围． 解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， 所以f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数．证明如下： f(x)的定义域关于原点对称， 令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知f(x)是偶函数， 所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)<f(16). 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以0<|x－1|<16， 解得－15<x<17且x≠1， 所以x的取值范围是(－15，1)∪(1，17). 学科网（北京）股份有限公司 $$