第2章 课时冲关6 函数的概念及其表示(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关6　函数的概念及其表示 [基础训练组] 1．函数y＝的定义域为(　　) A．(－1，3]　　　　　B．(－1，0)∪(0，3] C．[－1，3] D．[－1，0)∪(0，3] 解析：B　[要使函数有意义，x需满足 解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3].] 2．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　) A．2　　　B．4　　　C．6　　　D．8 解析：C　[由已知得0<a<1，则f(a)＝，f(a＋1)＝2a， 所以＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)， 所以f ＝f(4)＝2(4－1)＝6.] 3．(2025·江苏徐州调研)已知函数f(x)定义域为，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A． B． C． D． 解析：A　[函数f(x)定义域为，由函数g(x)＝有意义，得解得<x≤3，所以函数g(x)的定义域为.故选A.] 4．(2025·重庆八中模拟)已知函数f(x)＝则f(log212)＝(　　) A． B．－6 C． D．－3 解析：A　[因为log23∈(1，2)，则log212＝2＋log23∈(3，4)， 所以f(log212)＝f(2＋log23)＝f(log23)＝3＝2log23－1＝.] 5．(2025·泉州模拟)已知函数f＝的值域为R，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：D　[由题意知当x≥2时，f(x)＝x＋1≥3， 故要使函数f＝的值域为R， 需满足解得a≥， 故a的取值范围是.故选D.] 6．(多选)已知f(x)＝，则f(x)满足的关系有(　　) A．f(－x)＝－f(x) B．f＝－f(x) C．f＝f(x) D．f＝－f(x) 解析：BD　[因为f(x)＝， 所以f(－x)＝＝＝f(x)，即不满足A选项； f＝＝，f＝－f(x)，即满足B选项，不满足C选项， f＝＝，f＝－f(x)，即满足D选项．] 7．(多选)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[－1，2]，则值域也为[－1，2]的函数是(　　) A．y＝2f(x)＋1 B．y＝f(2x＋1) C．y＝－f(x)＋1 D．y＝|f(x)| 解析：BC　[y＝f(x)，x∈R，f(x)的值域为[－1，2]，对于A，f(x)∈[－1，2]，∴2f(x)＋1∈[－1，5]，故A不满足；对于B，当x∈R时，2x＋1∈R，∴f(2x＋1)∈[－1，2]，故B满足；对于C，∵f(x)∈[－1，2]，∴－f(x)∈[－2，1]，∴－f(x)＋1∈[－1，2]，故C满足；对于D，f(x)∈[－1，2]，∴|f(x)|∈[0，2]，故D不满足．] 8．(2025·浙江温州模拟)已知函数f(x)＝若f[f(a)]＝0，则实数a的值为________． 解析：①当a＞－1，即a＋1＞0时，f(a)＝＞－1，则f＝＝0⇒a＝－1(舍)， ②当a≤－1，即a＋1≤0时，f(a)＝－2a－6， Ⅰ：当－2a－6≤－1，即－≤a≤－1时，有 f(－2a－6)＝－2(－2a－6)－6＝0⇒a＝－； Ⅱ：当－2a－6＞－1时，即a＜－时，有f(－2a－6)＝＝0⇒a无解， 综上，a＝－. 答案：－ 9．设函数f(x)＝则f＝________，方程f(f(x))＝1的解集为________． 解析：∵f＝ln ＜0， ∴f＝f＝eln ＝. ∵x＜0时，0＜ex＜1，x＝0时，ex＝1， ∴当f(x)≤0时， 由方程f(f(x))＝1，可得f(x)＝0， 即ln x＝0，解得x＝1. 当f(x)＞0时，由方程f(f(x))＝1， 可得ln f(x)＝1，f(x)＝e， 即ln x＝e，解得x＝ee. 答案：　{1，ee} 10．已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f(x)，若存在m∈R且m∉Z，使得f(m)＝f([m])，则称函数f(x)是Ω函数． (1)判断函数f(x)＝x2－x，g(x)＝sin πx是否是Ω函数(只需写出结论)； (2)已知f(x)＝x＋，请写出a的一个值，使得f(x)为Ω函数，并给出证明． 解：(1)f(x)＝x2－x是Ω函数， g(x)＝sin πx不是Ω函数． (2)法一：取a＝∈(1，2)，则令[m]＝1，m＝＝，此时f＝f＝f(1)， 所以f(x)是Ω函数． 证明如下：设k∈N＋，取a∈(k2，k2＋k)，令[m]＝k，m＝，则一定有m－[m]＝－k＝∈(0，1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数． 法二：取a＝∈(0，1)，则令[m]＝－1，m＝－，此时f＝f＝f(－1)， 所以f(x)是Ω函数． 证明如下：设k∈N＋，取a∈(k2－k，k2)，令[m]＝－k，m＝－，则一定有m－[m]＝－－(－k)＝∈(0，1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数． [能力提升组] 11．(2025·天津市模拟)已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(－|a|)，则实数a的取值范围是(　　) A．∪ B．(－2，－1)∪(1，2) C．(－2，0)∪(0，2) D．(－1，0)∪(0，1) 解析：A　[作出函数f(x)＝的图象如图： 因为－|a|≤0，若2－a2≤0，由f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(2－a2)＞f(－|a|)， 则2－a2＞－|a|，解得≤|a|＜2； 若2－a2＞0，则－(2－a2)＞－2|a|－a2，解得＜|a|＜； 综上，＜|a|＜2， 解得－2＜a＜－或＜a＜2. 所以实数a的取值范围是 ∪.] 12．设f(x)＝则f(f(1))＝________，不等式f(x)>2的解集为______． 解析：f(f(1))＝f(2)＝log3(4－1)＝1. 若f(x)>2，则2ex－1>2(x<2)或log3(x2－1)>2(x≥2)， 即ex－1>1＝e0，或x2－1>9，解得1<x<2或x>. 答案：1　(1，2)∪(，＋∞) 13．(2025·浙江模拟)已知函数f(x)＝则f(f(x))＝________，的最大值是________． 解析：因为f(x)＝ 当x＞－1时，f(x)＝－1， 则f(f(x))＝f(－1)＝－2， 当x≤－1时，f(x)＝－2， 则f(f(x))＝f(－2)＝－2， 综上，f(f(x))＝－2； 当x≥0时，＝＝－x≤0, 当－1＜x＜0时，＝＝x＜0， 当x≤－1时，＝＝≤－， 综上，的最大值是0. 答案：－2　0 14．已知函数f(x)＝ (1)若对于任意的x∈R，都有f(x)≥f(0)成立，求实数a的取值范围； (2)记函数f(x)的最小值为M(a)，解关于实数a的不等式M(a－2)＜M(a). 解：(1)当x≤0时，f(x)＝(x－a)2＋1， 因为f(x)≥f(0)，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以a≥0， 当x＞0时，f′(x)＝2x－， 令2x－＝0，得x＝1， 所以当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时， f′(x)＞0， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以fmin(x)＝f(1)＝3－a， 因为f(x)≥f(0)＝a2＋1， 所以3－a≥a2＋1，解得－2≤a≤1. 又a≥0，所以a的取值范围是[0，1]. (2)由(1)可知当a≥0时，f(x)在(－∞，0]上的最小值为f(0)＝a2＋1， 当a＜0时，f(x)在(－∞，0]上的最小值为f(a)＝1， f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f(1)＝3－a， 解不等式组得0≤a≤1， 解不等式组得a＜0， 所以M(a)＝ 所以M(a)在(－∞，0)上为常数函数，在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， 作出M(a)的函数图象如图所示： 令3－a＝1，得a＝2，因为M(a－2)＜M(a)，所以0＜a＜2 学科网（北京）股份有限公司 $$