第1章 课时冲关5 一元二次函数与一元二次不等式(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关5　一元二次函数与一元二次不等式 [基础训练组] 1．(2025·安徽联考)不等式x2－x－2<0的解集是(　　) A．{x|－1<x<2}　　　 B．{x|x<－1或x>2} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－2<x<1} 解析：A　[x2－x－2<0⇔<0，解得－1<x<2， 故不等式的解集为{x|－1<x<2}．故选A.] 2．不等式|x|(1－2x)>0的解集为(　　) A．(－∞，0)∪ B． C． D． 解析：A　[当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以0<x<；当x<0时，原不等式即为－x(1－2x)>0，所以x<0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪.] 3．(2025·全国模拟)若不等式x2－2x－m＜0在x∈上有解，则实数m的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C． D．(0，＋∞) 解析：B　[因为不等式x2－2x－m＜0在x∈上有解，所以不等式m＞x2－2x在x∈上有解， 令t＝x2－2x＝(x－1)2－1，则tmin＝－1，所以m＞－1，所以实数m的取值范围是(－1，＋∞).] 4．(2025·合肥质检)若关于x的不等式x2－x－2a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值集合是(　　) A．{a∣5<a≤6} B．{a∣－6≤a<－5} C．{a∣－2<a≤－1或5≤a<6} D．{a∣－6≤a<－5或1<a≤2} 解析：D　[x2－x－2a<0⇒<0. 当a>－2时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为1，0，－1，故－2≤－a<－1，解得1<a≤2， 当a<－2时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为3，4，5，故5<－a≤6，解得－6≤a<－5， 当a＝－2时，不等式解集为∅，不符合要求， 故实数a的取值集合为{a∣－6≤a<－5或1<a≤2}．故选D.] 5．已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4＜0的解集为，其中m＜0，则＋的最小值为(　　) A．－2　　B．1　　　C．2　　　D．8 解析：C　[ax2＋2bx＋4＜0的解集为，则ax2＋2bx＋4＝0的两根为m，， ∴m·＝，∴a＝1，m＋＝－2b， 则2b＝－m＋≥4，即b≥2， ＋＝＋≥2，当且仅当b＝4时取“＝”．] 6．(2025·重庆巴蜀中学模拟)若关于x的不等式＞0的解集是(－1, 2)，则a·b＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 解析：B　[∵sin x－2＜0恒成立，故x2＋ax＋b＜0的解集为(－1, 2)，即方程x2＋ax＋b＝0的两根为－1和2，由韦达定理可知－1＋2＝－a，－1×2＝b，所以a＝－1，b＝－2，故a·b＝2.] 7．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　　) A．a＞0 B．不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6} C．a＋b＋c＞0 D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为∪ 解析：ABD　[关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a＞0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a＜0，C选项错误； 不等式bx＋c＞0，即为－ax－6a＞0，解得x＜－6，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a＜0，即为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，D选项正确．] 8．若关于x的不等式－x2＋(a＋2)x－2a＞0恰有1个正整数解，则a的取值范围是____________． 解析：不等式－x2＋(a＋2)x－2a＞0等价于x2－(a＋2)x＋2a＜0.令x2－(a＋2)x＋2a＝0，解得x＝2或x＝a. 当a＞2时，不等式x2－(a＋2)x＋2a＜0的解集为(2，a)，要想恰有1个正整数解，则3＜a≤4； 当a＝2时，不等式x2－(a＋2)x＋2a＜0无解，所以a＝2不符合题意； 当a＜2时，不等式x2－(a＋2)x＋2a＜0的解集为(a，2)，则a＜1. 综上，a的取值范围是(－∞，1)∪(3，4]. 答案：(－∞，1)∪(3，4] 9．(2025·济南模拟)若不等式ax2＋5x＋1≤0的解集为，则不等式＜0的解集为________． 解析：由不等式ax2＋5x＋1≤0的解集为， 可知方程ax2＋5x＋1＝0有两根x1＝－，x2＝－，故a＝6， 则不等式＜0，即＜0等价于3(x－2)·(x－3)＜0， 不等式3(x－2)(x－3)＜0的解集为{x|2＜x＜3}， 则不等式＜0的解集为{x|2＜x＜3}． 答案：{x|2＜x＜3} 10．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题． (1)要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ 解：依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝ (1)要使工厂有赢利，即解不等式f(x)＞0， 当0≤x≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8＞0， 即x2－8x＋7＜0，得1＜x＜7，∴1＜x≤5. 当x＞5时，解不等式8.2－x，得x＜8.2， ∴5＜x＜8.2， 综上所述，要使工厂赢利，x应满足1＜x＜8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内． (2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 故当x＝4时，f(x)有最大值3.6； 而当x＞5时，f(x)＜8.2－5＝3.2， 因为3.6＞3.2所以当工厂生产400台产品时，赢利最多． [能力提升组] 11．(2025·泰安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－y)＝f(x)－f(y)，且当x＜0时，f(x)＞0，则关于x的不等式f(mx2)＋f(2m)＞f(m2x)＋f(2x)(其中0＜m＜)的解集为(　　) A． B． C． D． 解析：A　[任取x1＜x2，由已知得f(x1－x2)＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，所以函数f(x)单调递减．由f(mx2)＋f(2m)＞f(m2x)＋f(2x)，可得f(mx2)－f(2x)＞f(m2x)－f(2m)， 即f(mx2－2x)＞f(m2x－2m)，所以mx2－2x＜m2x－2m，即mx2－(m2＋2)x＋2m＜0， 即(mx－2)(x－m)＜0， 又因为0＜m＜，所以＞m，此时原不等式的解集为.] 12．(多选)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　) A．a2－b2≤4 B．a2＋≥4 C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 解析：ABD　[因为f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0. 对于A，a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，显然(b－2)2≥0，故A正确；对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝>0，即b＝时，等号成立，故B正确；对于C，因为不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，故x1x2＝－b<0，故C错误；对于D，因为不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则方程x2＋ax＋b－c＝0的两根为x1，x2，故可得＝＝＝2＝4，故可得c＝4.故D正确．] 13．(2025·青岛模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)＜f(x2＋2x)的解集是________． 解析：函数f(x)＝可得x≥0，f(x)递增； 当x＜0时，f(x)递增；且x＝0时函数连续，所以f(x)在R上递增， 不等式f(x＋2)＜f(x2＋2x)， 可化为x＋2＜x2＋2x，即x2＋x－2＞0，解得x＞1或x＜－2， 则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞). 答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞) 14．(2025·全国模拟)已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R. (1)当k变化时，试求不等式的解集A； (2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集).试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 解：(1)当k＝0时，A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时，A＝； 当k＝2时，A＝{x|x≠4}；当k<0时， A＝. (2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集． 因为k＋＝－≤－4，当且仅当k＝－2时取等号， 所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少， 此时A＝{x|－4<x<4}，故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}． 学科网（北京）股份有限公司 $$