第1章 课时冲关4 基本不等式(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关4　基本不等式 [基础训练组] 1．(2025·河北模拟)已知实数a，b满足条件3a＋3b＝()a＋b，则a2＋b2的最小值为(　　) A．8　　　　B．6　　　　C．4　　　　D．2 解析：D　[因为3a＋3b＝()a＋b≥2，当且仅当3a＝3b，即a＝b时取等号， 所以6a＋b≥4·3a＋b，所以2a＋b≥4，a＋b≥2，a2＋b2≥(a＋b)2＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，所以a2＋b2的最小值为2.] 2．已知x，y都是正数，且x≠y，则下列选项不恒成立的是(　　) A．＞ B．＋＞2 C．＜ D．xy＋＞2 解析：D　[x，y都是正数，由基本不等式，≥，＋≥2，≤＝，这三个不等式都是当且仅当x＝y时等号成立，而题中x≠y，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；xy＋≥2中当且仅当xy＝1时取等号，如x＝，y＝2即可取等号，D中不等式不恒成立．] 3．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　) A． B． C．－1 D．0 解析：D　[f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.] 4．(2025·全国模拟)已知a，b为非负数，且满足2a＋b＝6，则(1＋a2)(4＋b2)的最大值为(　　) A．40 B． C．42 D． 解析：D　[(1＋a2)(4＋b2)＝4＋4a2＋b2＋a2b2＝4a2＋b2＋4ab－4ab＋a2b2＋4 ＝(2a＋b)2＋(ab－2)2＝36＋(ab－2)2， 又0≤ab＝·2a·b≤＝，当且仅当a＝，b＝3时取“＝”，则36＋(ab－2)2≤36＋＝， 所以当a＝，b＝3时，(1＋a2)(4＋b2)的最大值为.] 5．函数f(x)＝16x＋＋的最小值为(　　) A．4 B．2 C．3 D．4 解析：A　[因为16x＋≥2＝2×2x，当且仅当16x＝，即x＝0时等号成立， 2×2x＋＝2×2x＋≥2＝4，当且仅当2×2x＝，即x＝0时等号成立， 所以f(x)的最小值为4.] 6．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　) A．16 B．25 C．36 D．49 解析：A　[因为a，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)＝20＋4≥20＋4×2＝36，当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．所以＋≥36－20＝16.] 7．(多选)(2025·江苏泰州模拟)下列函数中最小值为6的是(　　) A．y＝ln x＋ B．y＝6|sin x|＋ C．y＝3x＋32-x D．y＝ 解析：BC　[对于A选项，当x∈(0，1)时，ln x＜0，此时ln x＋＜0，故A不正确；对于B选项，y＝6|sin x|＋≥2＝6，当且仅当6|sin x|＝，即|sin x|＝时取“＝”，故B正确；对于C选项，y＝3x＋32-x≥2＝6，当且仅当3x＝32-x，即x＝1时取“＝”，故C正确；对于D选项，y＝＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即x2＝－7无解，故D不正确．] 8．(多选)(2025·河北石家庄模拟)设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是(　　) A．＋上的最小值为2 B．mn的最大值为1 C．＋的最大值为4 D．m2＋n2的最小值为 解析：AB　[∵m＞0，n＞0，m＋n＝2， ∴＋＝(m＋n) ＝≥＝2， 当且仅当＝，即m＝n＝1时等号成立，故A正确； ∵m＋n＝2≥2，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B正确； ∵(＋)2≤2[()2＋()2]＝4，∴＋≤＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，最大值为2，故C错误； m2＋n2≥＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，故D错误．] 9．若函数f(x)＝(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为________． 解析：由题意得f(x)＝ ＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，等号成立，所以2＋4＝6，即a＝. 答案： 10．函数y＝的最大值为________． 解析：y＝，当x－1＝0时，y＝0，当x－1>0时，y＝≤＝，∴当且仅当＝等号成立，即x＝5时，ymax＝. 答案： [能力提升组] 11．(多选)(2025·云南昆明第十二中学校考)十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a＞0，b＞0，则下面结论正确的是(　　) A．若a＞b，则＜ B．若＋＝4，则a＋b有最小值 C．若ab＋b2＝2，则a＋b≥4 D．若a＋b＝2，则ab有最大值1 解析：ABD　[对于A，a＞b＞0， 则＞，即＜，A正确； 对于B，a＞0，b＞0，＋＝4，则 a＋b＝(a＋b)＝ ≥＝， 当且仅当＝，即b＝2a＝时取等号，B正确； 对于C，a＞0，b＞0，由ab＋b2＝2得：a＝－b＞0，有0＜b＜，则a＋b＝＞，C不正确； 对于D，a＞0，b＞0，a＋b＝2，则ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，D正确．] 12．(2025·天津大港一中模拟)设m＞n＞0，那么的最小值是________． 解析：∵m＞n＞0，所以(m－n)n≤＝，当且仅当m－n＝n，即m＝2n时取等号； 所以≥，所以≥(1＋m4)×＝＋4m2≥2＝8，当且仅当＝4m2，即m＝1时取等号，所以≥8，当且仅当m＝1，n＝时取等号． 答案：8 13．(2025·山东济南模拟)中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中∠AOB＝，OA＝OB＝2千米．现需要在OA，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若DF⊥OA，EF⊥OB，则DE＋EF＋FD的最大值为______千米． 解析：在四边形DOEF中，∠AOB＝，∠FDO＝，∠FEO＝，可知O、D、F、E四点共圆，且圆的直径为OF＝2，故DE＝2sin ＝. 又∠DFE＝，在△DEF中，由余弦定理得DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos ， 即DE2＝DF2＋EF2＋DF·EF，DE2＝(DF＋EF)2－DF·EF， DF·EF＝(DF＋EF)2－DE2≤，当且仅当DF＝EF＝1时取等号，∴(DE＋EF)2≤DE2 即DF＋EF≤DE，DF＋EF＋DE≤DE＋DE＝2＋. 答案：2＋ 14．(2025·杭师大附中模拟)已知对任意正实数x，y，恒有x2＋y2≤a(x2－xy＋y2)，则实数a的最小值是________． 解析：因为x＞0，y＞0，则x2－xy＋y2＝(x－y)2＋xy＞0， 则x2＋y2≤a(x2－xy＋y2)， 即≤a， 又＝， 因为x2＋y2≥2xy，所以1－≥， 所以≤2，即≤2， 当且仅当x＝y时，取等号， 所以＝2，所以a≥2，即实数a的最小值是2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$