第1章 课时冲关2 常用逻辑用语(Word练习)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

课时冲关2　常用逻辑用语 [基础训练组] 1．(2025·黑龙江哈师大附中月考)设集合M＝{1, 2}，N＝{a2}，则“a＝－1”是“N⊆M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当a＝－1时，N＝{1}，满足N⊆M，故充分性成立；当N⊆M时，N＝{1}或N＝{2}，所以a不一定满足a＝－1，故必要性不成立．] 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解析：B　[对于p而言，取x＝－1，则有＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题， 对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题．故选B.] 3．下列命题正确的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0 B．∃x∈R，－≥0 C．∀x∈N＋，log2x＞0 D．∃x∈R，cos x＜2x－x2－3 解析：B　[对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，故A不正确；对于B，当x＝－1时满足，故B正确；对于C，当x＝1时，log2x＝0，故C不正确，对于D，因为2x－x2－3＝－(x－1)2－2的最大值为－2，又因为－1≤cos x≤1，故D不正确．] 4．(2025·天津模拟)已知p：∃x<0，x＋a－1＝0，若p的否定为真命题，则a的取值范围是(　　) A．a<1　　　　　　　B．a≥－1 C．a>－1 D．a≤1 解析：D　[由题意命题p：∃x>0，x＋a－1＝0的否定为：∀x<0，x＋a－1≠0为真命题， 即∀x<0，x≠1－a，故1－a≥0，即a≤1.故选D.] 5．(2025·新余市模拟)“m＞1”是“函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)无零点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[因为函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)上单调递增且无零点，所以f(1)＝31+m－3＞0，即m＋1＞，解得m＞，故“m＞1”是函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)无零点的充分不必要条件．] 6．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1]　　　　　B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞) 解析：A　[由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)在上为减函数，g(x)在[2，3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)min＝g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.] 7．(多选)若a，b为正实数，则a＞b的充要条件为(　　) A．＞ B．ln a＞ln b C．a ln a＜b ln b D．a－b＜ea－eb 解析：BD　[因为＞⇔b＞a，故A选项错误；因为a，b为正实数，所以ln a＞ln b⇔a＞b，故B选项正确；取a＝e2＞b＝e，则e2ln e2＝2e2，eln e＝e，即a ln a＜b ln b不成立，故C选项错误；因为y′＝(ex－x)′＝ex－1，当x＞0时，y′＞0，所以y＝ex－x在x∈(0，＋∞)上单调递增，即a＞b⇔ea－a＞eb－b⇔a－b＜ea－eb，故D正确．] 8．(多选)下列说法正确的有(　　) A．命题“∀x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定为“∃x∈R，x2＋x＋1≤0” B．对于命题p：“∃x≤1，x2－3x＋2≥0”，则¬p为“∀x＞1，x2－3x＋2＜0” C．“a＜b”是“ac2＜bc2”的必要不充分条件 D．“m＜2”是“sin x＋＞m对x∈恒成立”的充分不必要条件 解析：ACD　[对A，命题∀x∈R，x2＋x＋1＞0的否定为∃x∈R，x2＋x＋1≤0，满足命题的否定形式，故A正确；对B，命题p：∃x≤1，x2－3x＋2≥0，则¬p为：∀x≤1，x2－3x＋2＜0，B错误；对C，a＜b推不出ac2＜bc2，反之成立，所以a＜b是ac2＜bc2的必要不充分条件，故C正确；对D，由m＜2可得sin x＋＞m对x∈恒成立，反之由sin x＋＞m对x∈恒成立，可得m≤2，所以m＜2是sin x＋＞m对x∈恒成立的充分不必要条件，故D正确．] 9．(2025·湖北襄阳模拟)集合A＝，B＝{x||x－b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是________． 解析：A＝(－1，1)，当a＝1时，B＝(b－1，b＋1)， 因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－2＜b＜2.故实数b的取值范围是(－2，2). 答案：(－2，2) 10．设m，a∈R，f(x)＝x2＋(a－1)x＋1，g(x)＝mx2＋2ax＋，若“对于一切实数x，f(x)＞0”是“对于一切实数x，g(x)＞0”的充分条件，则实数m的取值范围是________． 解析：f(x)＞0在R上恒成立，则Δ＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a＜3，g(x)＞0在R上恒成立，首先m≤0都不可能恒成立，因此解得－＜a＜， ∵“对于一切实数x，f(x)＞0”是“对于一切实数x，g(x)＞0”的充分条件，∴ 解得m≥6. 答案：[6，＋∞) [能力提升组] 11．(2025·江苏省天一中学模拟)已知函数f(x)＝lg ，若对任意的x∈[－1，1]使得f(x)≤1成立，则实数m的取值范围为(　　) A．　　　　　B． C． D． 解析：D　[若对任意的x∈[－1，1]使得f(x)≤1成立，即lg ≤1，得0＜4x－－m≤10，∴ 由于函数y1＝4x在[－1，1]上为增函数，函数y2＝在[－1，1]上为减函数， 所以，函数y＝4x－在[－1，1]上为增函数，∴ymin＝－3＝－，ymax＝4－＝， ∴－10≤m＜－，即－≤m＜－， 因此，实数m的取值范围是.] 12．(2025·全国模拟)已知下列四个命题：正确的是(　　) p1：∃x＞0，使得ln x＞x－1； p2：∀x∈R，都有x2－x＋1＞0； p3：∃x＞0，使得ln ＞－x＋1； p4：∀x∈(0，＋∞)，使得＞logx. A．p2，p4 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p1，p3 解析：C　[对于p1，设f(x)＝ln x－x＋1， 则f′(x)＝－1＝， 由f′(x)＞0，可得0＜x＜1；由f′(x)＜0，可得x＞1， 所以f(x)＝ln x－x＋1在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0，所以f(x)＝ln x－x＋1≤0恒成立， 所以∀x＞0，ln x≤x－1，故p1错误； 对于p2，∀x∈R，都有x2－x＋1＝＋＞0，故p2正确； 对于p3：当x＝e时，ln ＝ln ＝－1，－x＋1＝1－e, 此时满足ln ＞－x＋1， 故p3正确； 对于p4，当x＝时，＝＝， log＝1，不满足＞logx成立，故p4错误；故正确的是p2，p3.] 13．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________． 解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在上是增函数，在上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0，2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，但f(x)在[0，2]上不一直都是增函数． 答案：f(x)＝sin x(答案不唯一) 14．(2025·全国模拟)已知定义在R上的函数h(x)满足2h(x)＋h′(x)＞0且h(1)＝，其中h(x)＞的解集为A.函数f(x)＝，g(x)＝ax(a＞1)，若∀x1∈A，∃x2∈A使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________． 解析：构造函数H(x)＝h(x)·e2x， 所以H′(x)＝h′(x)·e2x＋2h(x)·e2x ＝e2x[h′(x)＋2h(x)]， 因为定义在R上的函数h(x)满足2h(x)＋h′(x)＞0， 所以H′(x)＞0，所以H(x)在R上单调递增，且H(1)＝h(1)e2＝1， 所以不等式h(x)＞可化为h(x)·e2x＞1， 即H(x)＞H(1)， 所以x＞1，所以h(x)＞的解集A＝(1，＋∞)， 函数f(x)＝＝＝ x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，x＝0或x＝2时等号成立，在A上仅当x＝2时等号成立， 所以f(x)在A上的值域为[3，＋∞)， g(x)＝ax(a＞1)为增函数，所以g(x)在A上的值域为(a，＋∞)， 若∀x1∈A，∃x2∈A使得f(x1)＝g(x2)， 则[3，＋∞)⊆(a，＋∞)， 所以a＜3，又因为a＞1，即实数a的取值范围是(1，3). 答案：(1，3) 学科网（北京）股份有限公司 $$