主题4 第10章 第4节 古典概型与事件的独立性(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题四　概率与统计 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 第4节　古典概型与事件的独立性 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 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　没有影响　，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝　P(A)P(B)　. 3．性质：如果事件A与事件B相互独立，则A与eq \o(B,\s\up16(－))，eq \o(A,\s\up16(－))与B，eq \o(A,\s\up16(－))与eq \o(B,\s\up16(－))也都　相互独立　. 1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键. 2．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　) (3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．(　　) (4)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　　) (5)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同．(　　) (6)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)× ◆[小题查验] 1．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　) A.eq \f(2,5)　　 B.eq \f(4,15) C.eq \f(3,5)　　 D.eq \f(2,3) 解析：A　[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).] 2．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现小于4的点”，B＝“第二枚出现大于3的点”，则A与B的关系为(　　) A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 解析： C　[对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，故A与B相互独立．故选C.] 3．(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A.eq \f(5,6) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3) 解析：A　[甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6＝36(种)， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有30种， 则其概率为eq \f(30,36)＝eq \f(5,6).] 4．(对事件的限制条件理解不正确致误)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是______． 解析：总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个，所以所求概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5). 答案：eq \f(2,5) 5．(BSD必修第一册P214习题7－4A组T4改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________． 解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为Aeq \o(B,\s\up16(－))＋eq \o(A,\s\up16(－))B， 所以P(Aeq \o(B,\s\up16(－))＋eq \o(A,\s\up16(－))B)＝P(Aeq \o(B,\s\up16(－)))＋P(eq \o(A,\s\up16(－))B) ＝P(A)P(eq \o(B,\s\up16(－)))＋P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. 答案：0.38 古典概型 1．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A.eq \f(1,6)　　 B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2)　　 D.eq \f(2,3) 解析：D　[总事件数共Ceq \o\al(2,7)＝eq \f(7×6,2)＝21， 取到的2个数互质的为 第一个数取2时，第二个数可以是3,5,7； 第一个数取3时，第二个数可以是4,5,7,8； 第一个数取4时，第二个数可以是5,7； 第一个数取5时，第二个数可以是6,7,8； 第一个数取6时，第二个数可以是7； 第一个数取7时，第二个数可以是8； 所以P＝eq \f(3＋4＋2＋3＋1＋1,21)＝eq \f(14,21)＝eq \f(2,3).] 2．(2025·长郡中学模拟)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为_____． 解析：由题意，在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠， 再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，共有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,4)＝24种， ①当在个、十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(2,2)＝2种； ②当在百位档中拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有Ceq \o\al(2,2)＝1种； 所以所拨数字大于300的概率为P＝1－eq \f(2＋1,24)＝eq \f(21,24)＝eq \f(7,8). 答案：eq \f(7,8) 3．(2024·全国甲卷)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于 eq \f(1,2)的概率为________． 解析：解析：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A eq \o\al(3,6)＝120种， 设前两个球的号码为a，b，第三个球的号码为c，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3)－\f(a＋b,2)))≤ eq \f(1,2)， 故 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2c－(a＋b)))≤3，故－3≤2c－(a＋b)≤3， 故a＋b－3≤2c≤a＋b＋3. 若c＝1，则a＋b≤5，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b))为： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))，故有2种， 若c＝2，则1≤a＋b≤7，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b))为： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，4))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，5))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，6))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，1))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，1))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，3))，故有10种， 当c＝3，则3≤a＋b≤9，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b))为： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，4))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，5))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，6))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，5))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，6))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，5))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，1))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，1))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，2))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，2))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，4))， 故有16种， 当c＝4，则5≤a＋b≤11，同理有16种， 当c＝5，则7≤a＋b≤13，同理有10种， 当c＝6，则9≤a＋b≤15，同理有2种， 共m与n的差的绝对值不超过 eq \f(1,2)时不同的抽取方法总数为2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋10＋16))＝56， 故所求概率为 eq \f(56,120)＝ eq \f(7,15). 答案： eq \f(7,15) 求古典概型概率的步骤 (1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意． (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件． (3)利用列举法或排列组合知识求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m. (4)计算事件A的概率P(A)＝eq \f(m,n). 古典概型的交汇问题 ►[命题点1]　古典概型与平面向量相结合　 [典例1]　(2025·兰州市模拟)如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点．在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(OF,\s\up16(→))的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________． [解析]　基本事件的总数是4×4＝16，在eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(OF,\s\up16(→))中，当eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(OQ,\s\up16(→))，eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(ON,\s\up16(→))，eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(ON,\s\up16(→))＋eq \o(OM,\s\up16(→))，eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(OQ,\s\up16(→))时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－eq \f(4,16)＝eq \f(3,4). [答案]　eq \f(3,4) 古典概型与平面向量交汇问题的处理方法 (1)根据平面向量的知识进行坐标运算，得出事件满足的约束条件； (2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合的结果； (3)利用古典概型概率计算公式求解概率． 1．(2025·武汉模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1(1,0)．任取不同的两点Ai，Aj(i≠j，i，j∈{1,2,3，…，8})，点P满足eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(OAi,\s\up16(→))＋eq \o(OAj,\s\up16(→))＝0，则点P落在第一象限的概率是_______． 解析：因Ai，Aj是正八边形A1A2…A8的任意两个顶点，又eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(OAi,\s\up16(→))＋eq \o(OAj,\s\up16(→))＝0，即eq \o(OP,\s\up16(→))＝－(eq \o(OAi,\s\up16(→))＋eq \o(OAj,\s\up16(→)))， 则点P由Ai，Aj唯一确定， 从正八边形A1A2…A8的8个顶点中任取两点Ai，Aj的试验有Ceq \o\al(2,8)个基本事件，它们等可能， 点P落在第一象限的事件M，是取的两点分别为A5与A6，A5与A7，A6与A7，A4与A7，A5与A8确定的点P对应的事件，共5个，于是得P(M)＝eq \f(5,C\o\al(2,8))＝eq \f(5,28)， 所以点P落在第一象限的概率是eq \f(5,28). 答案：eq \f(5,28) ►[命题点2]　古典概型与函数相结合　 [典例2]　已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数的概率是(　　) A.eq \f(9,16) B.eq \f(7,16) C.eq \f(4,16) D.eq \f(3,16) [解析]　记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.当函数f(x)在R上为增函数时，f′(x)≥0在R上恒成立．又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥eq \f(b2,3). 当b＝1时，有a≥eq \f(1,3)，故a可取1,2,3,4，共4个数； 当b＝2时，有a≥eq \f(4,3)，故a可取2,3,4，共3个数； 当b＝3时，有a≥3，故a可取3,4，共2个数； 当b＝4时，有a≥eq \f(16,3)，故a无可取值． 综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9种． 又a，b∈{1,2,3,4}，所以所有的基本事件共有4×4＝16(种)．故所求事件A的概率为P(A)＝eq \f(9,16). [答案]　A 古典概型与函数交汇问题的处理方法 (1)首先根据函数的相关性质，确定相关系数应满足的条件； (2)再根据系数满足的条件进行分类考虑，求出所有符合条件的基本事件个数； (3)最后利用古典概型的概率计算公式求解概率． 2．设a∈{2,4}，b∈{1,3}，则函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2＋bx＋1.在区间(－∞，－1]上是减函数的概率为________；从满足条件的所有函数f(x)中随机抽取两个，则它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率为________． 解析：函数f(x)共有4种可能，即(a，b)为(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3) . 由题意，f′(x)＝ax＋b, f′(－1)≤0，即b≤a时有3种：(2,1)，(4,1)，(4,3)， 所以函数f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率为eq \f(3,4). 而从满足条件的所有函数f(x)中随机抽取两个，共有Ceq \o\al(2,4)＝6种抽法． ∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b， ∴两个函数在(1，f(1))处的切线互相平行，即a与b之和应该相等， 此时只有(2,3)，(4,1)这两种，∴所求概率为eq \f(1,3). 答案：eq \f(3,4)　eq \f(1,3) ►[命题点3]　古典概型与统计相结合　 [典例3]　 (2025·广西柳州质检)某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩(满分为100分)，按分数分为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求m的值，并求这100名学生成绩的中位数(保留一位小数)； (2)若认定评分在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(80，90))内的学生为“运动爱好者”，评分在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(90，100))内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率． [解]　 (1)依题意，(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋m＋0.005)×10＝1，解得m＝0.025. 前三组的频率为(0.005＋0.015＋0.020)×10＝0.4， 所以中位数为70＋ eq \f(0.5－0.4,0.3)×10≈73.3分． (2) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(80，90))的频率为0.25， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(90，100))的频率为0.05，两者的比例是5∶1， 所以抽取的6名学生中， eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(80，90))中的有5人，记为1，2，3，4，5； 在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(90，100))中的有1人，记为6； 从中抽取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是：16，26，36，46，56，共5种，故所求概率为 eq \f(5,15)＝ eq \f(1,3). 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算． 3．(2025·全国模拟)某市于2024年举行第一届高中数学竞赛，竞赛结束后，为了了解该次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)请补全频率分布直方图并估计这1 000名学生的平均成绩； (2)采用分层随机抽样的方法从这1 000名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率． 解：(1)成绩落在[60,70)的频率为1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40，补全的频率分布直方图如图：这1 000名学生的平均成绩约为55×0.30＋65×0.40＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67(分)． (2)抽取的40名学生中，成绩在[80,90)内的有1 000×0.1×eq \f(40,1 000)＝4(人)，分别记为a1，a2，a3，a4，成绩在[90,100]内的有1 000×0.05×eq \f(40,1 000)＝2(人)，分别记为b1，b2，从这6人中随机抽取2人的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)}．共有15个样本点，记事件A＝“至少有1名学生成绩不低于90分”，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)}，共有9个样本点．故所求概率为P(A)＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5). 　相互独立事件的判定 [典例]　(1)如果A、B是独立事件，eq \o(A,\s\up16(－))、eq \o(B,\s\up16(－))分别是A、B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是(　　) A．P(A∩B)＝P(A)P(B) B．P(eq \o(A,\s\up16(－))∩B)＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(B) C．P(A∪B)＝P(A)＋P(B) D．P(eq \o(A,\s\up16(－))∩eq \o(B,\s\up16(－)))＝(1－P(A))(1－P(B)) [解析]　因为A、B是独立事件，eq \o(A,\s\up16(－))、eq \o(B,\s\up16(－))分别是A、B的对立事件，所以P(A∩B)＝P(A)P(B)，P(eq \o(A,\s\up16(－))∩B)＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(B)，P(eq \o(A,\s\up16(－))∩eq \o(B,\s\up16(－)))＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(eq \o(B,\s\up16(－)))＝(1－P(A))(1－P(B))，即ABD一定成立． P(A∪B)＝P(AB)＋P(Aeq \o(B,\s\up16(－)))＋P(eq \o(A,\s\up16(－))B)＝P(A)P(B)＋P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不一定成立． [答案]　C (2)设M，N为两个随机事件，给出以下命题：①若M，N为互斥事件，且P(M)＝eq \f(1,5)，P(N)＝eq \f(1,4)，则P(M∪N)＝eq \f(9,20)；②若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(M∩N)＝eq \f(1,6)，则M，N为相互独立事件；③若P(eq \o(M,\s\up16(－)))＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(M∩N)＝eq \f(1,6)，则M，N为相互独立事件；④若P(M)＝eq \f(1,2)，P(eq \o(N,\s\up16(－)))＝eq \f(1,3)，P(M∩N)＝eq \f(1,6)，则M，N为相互独立事件；⑤若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(eq \x\to(M∩N))＝eq \f(5,6)，则M，N为相互独立事件．其中正确命题的个数为______． [解析]　若M，N为互斥事件，且P(M)＝eq \f(1,5)，P(N)＝eq \f(1,4)， 则P(M∪N)＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,20)，故①正确； 若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(M∩N)＝eq \f(1,6)， 则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故②正确； 若P(eq \o(M,\s\up16(－)))＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(M∩N)＝eq \f(1,6)，则P(M)＝1－P(eq \o(M,\s\up16(－)))＝eq \f(1,2)，P(M∩N)＝P(M)·P(N)， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故③正确； 若P(M)＝eq \f(1,2)，P(eq \o(N,\s\up16(－)))＝eq \f(1,3)，P(M∩N)＝eq \f(1,6)，当M，N为相互独立事件时，P(N)＝1－P(eq \o(N,\s\up16(－)))＝eq \f(2,3)，P(M∩N)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，故④错误； 若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(eq \x\to(M∩N))＝eq \f(5,6)，则P(M∩N)＝P(M)·P(N)＝eq \f(1,6)，P(eq \x\to(M∩N))＝1－P(M∩N)， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故⑤正确． [答案]　4 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． (2025·江苏常州市第一中学模拟)袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1,2,3,4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出(　　) A．B与D相互独立 B．A与D相互独立 C．B与C相互独立 D．C与D相互独立 解析：C　[由题意可得：P(A)＝eq \f(1,4)，P(B)＝eq \f(1,4)， 有放回的随机取两次，每次取1个球，两次取出的球上数字之和是5的情况有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)共4种，所以P(C)＝eq \f(4,4×4)＝eq \f(1,4)；两次取出的球上数字之和是6的情况有(2,4)，(4,2)，(3,3)共3种，故P(D)＝eq \f(3,4×4)＝eq \f(3,16)，对于A，P(BD)＝eq \f(1,4×4)＝eq \f(1,16)，P(B)P(D)＝eq \f(1,4)×eq \f(3,16)＝eq \f(3,64) ，则P(BD)≠P(B)P(D)，故B与D不是相互独立事件，故A错误； 对于B，P(AD)＝0，P(A)P(D)＝eq \f(1,4)×eq \f(3,16)＝eq \f(3,64)，则P(AD)≠P(A)P(D)，故A与D不是相互独立事件，故B错误；对于C，P(BC)＝eq \f(1,4×4)＝eq \f(1,16)， P(B)P(C)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，则P(BC)＝P(B)P(C)，故B与C是相互独立事件，故C正确；对于D，P(CD)＝0，P(C)P(D)＝eq \f(1,4)×eq \f(3,16)＝eq \f(3,64) ，则P(CD)≠P(C)P(D)，故C与D不是相互独立事件，故D错误．] 相互独立事件的概率的计算 [典例]　 (2025·河北邢台期中)某档知识竞赛节目的规则如下：甲、乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜．已知甲、乙两人每次抢到题的概率都为 eq \f(1,2)，甲、乙两人每道题答对的概率分别为 eq \f(1,2)， eq \f(5,6)，并且每道题两人答对与否相互独立． (1)求第一题结束时甲获得1分的概率； (2)求甲获得胜利的概率． [解析]　(1)第一题结束时甲获得1分的概率为 eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))＝ eq \f(1,3). (2)由(1)知，在每道题的抢答中甲、乙获得1分的概率分别为 eq \f(1,3)， eq \f(2,3)， 两人共抢答了3道题，比赛结束且甲获胜的概率P1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝ eq \f(1,27)， 两人共抢答了4道题，比赛结束且甲获胜的概率P2＝C eq \o\al(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3× eq \f(2,3)＝ eq \f(2,27)， 两人共抢答了5道题，比赛结束且甲获胜的概率P3＝C eq \o\al(2,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝ eq \f(8,81)， 故甲获得胜利的概率P＝P1＋P2＋P3＝ eq \f(17,81). 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立．选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加． (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为eq \f(4,5)，eq \f(3,4)，eq \f(2,3).求他得分不低于10分的概率； (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为eq \f(1,4)，做对每道填空题的概率均为eq \f(3,10). 现有两种方案 方案一：依次做一道选择题两道填空题； 方案二：做三道填空题． 请你推荐一种合理的方式给小红． 解：(1)记“他得分不低于10分”为事件A，则P(A)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,15)＋eq \f(1,10)＋eq \f(2,5)＝eq \f(25,30)＝eq \f(5,6)； (2)记“方案一通过决赛”为事件B, 则P(B)＝eq \f(1,4)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,4)×eq \f(7,10)×eq \f(3,10)＋eq \f(3,4)×eq \f(3,10)×eq \f(3,10)＝eq \f(3,40)＋eq \f(21,400)＋eq \f(27,400)＝eq \f(78,400)＝eq \f(39,200)，记“方案二通过决赛”为事件C，则P(C)＝eq \f(3,10)×eq \f(3,10)＋eq \f(3,10)×eq \f(7,10)×eq \f(3,10)＋eq \f(7,10)×eq \f(3,10)×eq \f(3,10)＝eq \f(9,100)＋eq \f(63,1 000)＋eq \f(63,1 000)＝eq \f(216,1 000)＝eq \f(27,125)，因为P(C)＞P(B)，所以推荐方案二给小红． $$