主题4 第10章 第3节 随机事件的概率(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题四　概率与统计 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 第3节　随机事件的概率 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） ★[课程标准] 1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算． 2．结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 3．通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则． 4．结合实例，会用频率估计概率． 一、随机现象与随机事件 1．随机现象 (1)确定性现象：在一定条件下　必然出现　的现象． (2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现　不同　的结果，而且每次试验之前都　无法预言　会出现哪一种结果的现象. 2．样本空间 (1)样本空间：一般地，将试验E的所有　可能结果　组成的　集合　称为试验E的样本空间，记作　Ω　. (2)样本点：样本空间Ω的元素，即试验E的　每种可能结果　，称为试验E的样本点，记作　ω　. (3)有限样本空间：如果样本空间Ω的样本点的个数是　有限　的，那么称样本空间Ω为有限样本空间． 3．随机事件 (1)随机事件：一般地，把试验E的样本空间Ω的　子集　称为E的随机事件，简称　事件　，常用A，B，C等表示． (2)必然事件：样本空间Ω是其自身的　子集　，因此Ω也是一个 　事件　；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都　必然发生　，因此称Ω为必然事件． (3)不可能事件：空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个　事件　；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都　不会发生　，故称∅为不可能事件． 二、随机事件的运算 事件 内容 图示 交事件 (或积 事件) 一般地，由事件A和事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作　A∩B　(或AB)．事件A∩B是由事件A和事件B所共有的样本点构成的集合. 并事件 (或和 事件) 一般地，由事件A和事件B　至少有一个发生　(即A发生，或B发生或 　A，B都发生　)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作　A∪B　(或A＋B). 事件A与事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的样本点构成的集合. 互斥 事件 一般地，　不能同时　发生的两个事件A与B(A∩B＝∅)称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件. 对立 事件 给定事件A，A不发生也是一个事件，记为B.若A∩B＝　∅　，且A∪B＝　Ω　，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作eq \o(A,\s\up16(－)). 三、互斥事件的概率加法公式 1．如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝ 　P(A)＋P(B)　. 2．若eq \o(A,\s\up16(－))是A的对立事件，则P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝　1－P(A)　. 3．如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝　P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)　. 四、用频率估计概率 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A). 显然，　0　≤P(A)≤　1　，通常用频率估计概率． 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件A的对立事件eq \o(A,\s\up16(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 2．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数． 3．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 4．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 5．当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)“明天会下雨”是随机事件．(　　) (2)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件．(　　) (3)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(　　) (4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　) (5)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　) (6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　) (7)事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× (6)√　(7)× ◆[小题查验] 1．(多选)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝{“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6}；D1＝{“点数不大于2”}，D2＝{“点数大于2”}，D3＝{“点数大于4”}．则下列结论正确的是(　　) A．C1与C2互斥　　　 B．C2，C3为对立事件 C．D2∪D3＝D2 D．D2∩D1＝D3 答案：AC 2．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 下列选项正确的是(　　) A．A∪B＝C　　　　 B．B∪D是必然事件 C．A∩B＝C D．A∩D＝C 解析：AB　[对于A选项，事件A∪B指至少有一件次品，即事件C，故A正确；对于B选项，事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件A∩B＝∅，故C错误；对于D选项，事件A∩D指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．] 3．(混淆对立事件和互斥事件的概念致误)关于事件A，B的以下结论，其中一定正确的为(　　) A．若A，B为对立事件，则A，B可能不是互斥事件 B．若A，B为对立事件，则A，B必为互斥事件 C．若A，B为互斥事件，则A，B必为对立事件 D．若A，B为互斥事件，则A，B不可能为对立事件 解析：B　 [因为对立事件一定是互斥事件，所以B正确，A错误；又因为互斥事件可能是对立事件也可能不是对立事件，所以C，D错误．] 4．(BSD必修第一册P186例2改编)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1，若反面向上则记为0，则这个试验的样本空间中有________个样本点． 解析：这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(0,0,1)，(0,1,0)，(1,0,0)，(0,0,0)}，共8个样本点． 答案：8 5．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，则命中的环数小于9环的概率为________． 解析：命中的环数小于9环的概率为P＝0.1＋0.15＋0.25＝0.5. 答案：0.5 随机事件与样本空间 1．下列事件中不是确定事件的个数是(　　) ①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；②水中捞月；③守株待兔；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量 A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 解析：B　[三角形三条高线一定交于一点，则①是必然事件； ②水中捞月是不可能事件；③守株待兔是随机事件，不是确定事件；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是随机事件，不是确定事件．] 2．(2025·全国模拟)利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色(不考虑指针落在分界线上的情况)．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示A∩B，A∪B. 解：由题可得： 转盘①转出的颜色 红 黄 蓝 转盘②转 出的颜色 蓝 (红，蓝) (黄，蓝) (蓝，蓝) 黄 (红，黄) (黄，黄) (蓝，黄) 红 (红，红) (黄，红) (蓝，红) 绿 (红，绿) (黄，绿) (蓝，绿) 紫 (红，紫) (黄，紫) (蓝，紫) 由表可知，共有15种等可能的结果， 其中A＝{(黄，蓝), (黄， 黄), (黄， 红), (黄， 绿), (黄， 紫)}， B＝{(红，绿), (黄，绿), (蓝，绿)}，所以A∩B＝{(黄，绿)}， A∪B＝{(黄，蓝), (黄， 黄), (黄， 红), (黄， 绿), (黄， 紫), (红，绿), (蓝，绿)}． 1．判断事件类型要看事件的发生是否具有随机性，搞清事件的条件． 2．确定样本空间的方法 (1)必须明确事件发生的条件； (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 　随机事件之间关系的判断 1．(2025·浙江省桐庐中学模拟)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A＝“向上的点数为3”，B＝“向上的点数为6”，C＝“向上的点数为3或6”，则有(　　) A．A⊆B B．C⊆B C．A∩B＝C D．A∪B＝C 解析：D　[对于A，事件A＝“向上的点数为3”发生，事件B＝“向上的点数为6”一定不发生，故选项A不正确；对于B，事件C＝“向上的点数为3或6”发生，事件B＝“向上的点数为6”不一定发生，但事件B＝“向上的点数为6”发生，事件C＝“向上的点数为3或6” 一定发生，所以B⊆C，故选项B不正确；对于C，事件A和事件B不能同时发生，A∩B＝∅，故选项C不正确；对于D，事件A＝“向上的点数为3”或事件B＝“向上的点数为6”发生，则事件C＝“向上的点数为3或6”发生，故选项D正确．] 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则P(B)＝0 B．若事件A，B，C两两互斥，则事件A与B∪C互斥 C．若事件A与B对立，则P(A∪B)＝1 D．若事件A与B互斥，则它们的对立事件也互斥 解析：ABC　[若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则A为必然事件，故B为不可能事件，则P(B)＝0，故A正确；若事件A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不能同时发生，则事件A与B∪C也不可能同时发生，则事件A与B∪C互斥，故B正确；若事件A与B对立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，故C正确；若事件A，B互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误．] 事件间关系的判断方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系． 提醒：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 随机事件的频率与概率 [典例]　某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表： 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表： 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 ①分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； ②分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？ [解析]　 ①由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 eq \f(40,100)＝0.4； 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 eq \f(28,100)＝0.28. ②由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为： 利润 65 25 －5 －75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为： 利润 70 30 0 －70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务． 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”． (2025·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2023年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下： 电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下： 购物金额分组 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9] 发放金额 50 100 150 200 (1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数； (2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率． 解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表： x 0.3≤x<0.5 0.5≤x<0.6 0.6≤x<0.8 0.8≤x≤0.9 y 50 100 150 200 频率 0.4 0.3 0.28 0.02 这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为eq \f(1,1 000)×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96. (2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知 P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3. 互斥事件与对立事件的概率 [典例]　经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)至少3人排队等候的概率． [解]　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥． (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56，故至多2人排队等候的概率为0.56. (2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. (方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 故所求概率为0.44. 求复杂互斥事件概率的两种方法 (1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算． (2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up16(－)))求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便． 1．(2025·河南商丘模拟)已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A，取出黑球为事件B，随机事件C与B对立．若P(A＋B)＝0.5，则P(C)＝(　　) A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8 解析：C　[由题意可知，P(A)＝eq \f(2,10)＝0.2. 因为A与B互斥且P(A＋B)＝0.5，故P(B)＝0.3. 又因为随机事件C与B对立，所以P(C)＝1－0.3＝0.7.] 2．(2025·郑州模拟)某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%. (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak＝“一年内需要维修k次”，k＝0，1，2，3，请填写下表： 事件 A0 A1 A2 A3 概率 事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥？ (2)求下列事件的概率： ①A＝“在1年内需要维修”； ②B＝“在1年内不需要维修”； ③C＝“在1年内维修不超过1次” . 解： (1)因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， 则有P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1))＝0.15，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2))＝0.06，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3))＝0.04， 显然事件A0，A1，A2，A3中，任意两个不可能同时发生，因此事件A0，A1，A2，A3两两互斥， 于是得P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A0))＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.15＋0.06＋0.04))＝0.75， 填表如下： 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 所以事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥． (2)①由(1)知，“在1年内需要维修”的事件，即事件A1，A2，A3至少有一个发生，而它们两两互斥， 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝0.25. ②“在1年内不需要维修”的事件，即事件A0发生，所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B))＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A0))＝0.75. ③“在1年内维修不超过1次”的事件，即事件A0，A1至少发生一个， 所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C))＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A0∪A1))＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A0))＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1))＝0.9. $$