主题4 第10章 第2节 二项式定理(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题四　概率与统计 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 第2节　二项式定理 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题四 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 高考总复习 数学（BS新教材） ★[课程标准] 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理及相关概念 概念 公式(a＋b)n＝　Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋Ceq \o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N＋)　称为二项式定理 二项式系数 各项系数Ceq \o\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)称为二项式系数 二项 式通项 Ceq \o\al(k,n)an－kbk称为二项展开式中第　k＋1　项，可记作Tk＋1＝Ceq \o\al(k,n)an－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋) 二项 展开式 Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋Ceq \o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N＋) 备注 在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)x＋Ceq \o\al(2,n)x2＋…＋Ceq \o\al(k,n)xk＋…＋Ceq \o\al(n,n)xn(n∈N＋) 2.二项式系数的性质 (1)对称性 与　首末两端“等距离”　的两个二项式系数相等，即Ceq \o\al(0,n)＝Ceq \o\al(n,n)，Ceq \o\al(1,n)＝Ceq \o\al(n－1,n)，…，Ceq \o\al(k,n)＝Ceq \o\al(n－k,n). (2)增减性与最大值：当k<eq \f(n＋1,2) 时，Ceq \o\al(k,n)随k的增加而　增大　；当k>eq \f(n＋1,2) 时，Ceq \o\al(k,n)随k的增加而　减小　. 当n是偶数时，中间一项　　取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 　　与　　相等，且同时取得最大值． (3)二项式系数的和 ①Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝　2n　； ②Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋…＝　2n－1　. 1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ceq \o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)． 4．(1)Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝2n. (2)Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋…＝2n－1. (3)Ceq \o\al(1,n)＋2Ceq \o\al(2,n)＋3Ceq \o\al(3,n)＋…＋nCeq \o\al(n,n)＝n2n－1. (4)Ceq \o\al(r,m)Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(r－1,m)Ceq \o\al(1,n)＋…＋Ceq \o\al(0,m)Ceq \o\al(r,n)＝Ceq \o\al(r,m＋n). (5)(Ceq \o\al(0,n))2＋(Ceq \o\al(1,n))2＋(Ceq \o\al(2,n))2＋…＋(Ceq \o\al(n,n))2＝Ceq \o\al(n,2n). ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)Ceq \o\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项．(　　) (2)通项Ceq \o\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互换．(　　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　) (4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　) (5)Ceq \o\al(1,n)－2Ceq \o\al(2,n)＋3Ceq \o\al(3,n)－…＋(－1)n－1nCeq \o\al(n,n)＝0.(　　) (6)Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋….(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2x)))8的展开式中的中间项为(　　) A.eq \f(35,8)　　　　　　　 B. C．－7 D． 解析：B　[由题意得中间项为Ceq \o\al(4,8)·(eq \r(3,x))4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2x)))4＝.] 2．(BSD选择性必修第一册P171例4改编)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x3＋\f(1,\r(x))))7展开式中的常数项是(　　) A．189　　 B．63 C．42　　 D．21 解析：D　[展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,7)(3x3)7－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))k＝37－k·，令21－eq \f(7,2)k＝0，解得k＝6，所以常数项为3Ceq \o\al(6,7)＝21.] 3．(二项式系数与展开式的系数混淆致误)若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))n展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为(　　) A．－1 B．1 C．27 D．－27 解析：A　[依题意，得二项式系数的和为2n＝8，所以n＝3，故二项式为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))3，令x＝1，可求得系数之和为(1－2)3＝－1.] 4．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析：B　[当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②；①＋②得原式＝41.] 5．在(1＋x)5＋(1－x)6展开式中，含x4的项的系数是__________． 解析：(1＋x)5的展开式中x4的系数为Ceq \o\al(4,5)＝5， (1－x)6的展开式中x4的系数为Ceq \o\al(4,6)＝15， 故在(1＋x)5＋(1－x)6展开式中，含x4的项的系数为20. 答案：20 二项展开式中特定项或系数问题 1．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))6的展开式中，x2的系数为________． 解析：展开式的通项公式 Tk＋1＝Ceq \o\al(k,6)(2x3)6－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k ＝(－1)k×26－k×Ceq \o\al(k,6)×x18－4k， 令18－4k＝2，可得k＝4， 则x2项的系数为(－1)4×26－4×Ceq \o\al(4,6)＝4×15＝60. 答案：60 2．(2024·天津卷)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x3)＋\f(x3,3)))6的展开式中，常数项为________． 解析：因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x3)＋\f(x3,3)))6的展开式的通项为Tr＋1＝C eq \o\al(r,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x3)))6-r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)))r＝36-2rC eq \o\al(r,6)x6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r-3))，r＝0，1，…，6，令6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－3))＝0，可得r＝3， 所以常数项为30C eq \o\al(3,6)＝20. 答案： 20 3．(2025·黑龙江哈尔滨市模拟)求二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))9展开式的第7项及含x9的项的系数． 解：二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))9展开式的通项为 Tk＋1＝Ceq \o\al(k,9)(x2)9－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2x)))k＝Ceq \o\al(k,9)x18－2keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))kx－k＝Ceq \o\al(k,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))kx18－3k， 所以展开式的第7项为T7＝Ceq \o\al(6,9)(x2)3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2x)))6＝84x6·eq \f(1,64)x－6＝eq \f(21,16)， 令18－3k＝9，所以k＝3，所以含x9的项的系数为Ceq \o\al(3,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))3＝－eq \f(21,2). 求二项展开式中的项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析． (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围． 提醒：二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念．一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负号)，它与a，b的取值有关，而二项式系数与a，b的取值无关． 二项式系数及项的系数问题 ►[命题点1]　二项式系数和与系数和　 [典例1]　 (2025·湖南期中)已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n展开式中的第四项为常数项． (1)求n的值； (2)求展开式中所有项的系数和以及所有项的二项式系数和． [解]　 (1)由题意得：第四项T4＝C eq \o\al(3,n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)))n-3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))3＝－8C eq \o\al(3,n)x eq \f(n-3,2)-3为常数项． ∴ eq \f(n－3,2)－3＝0， ∴n＝9. (2)令x＝1，可得展开式中所有项的系数和为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2))9＝－1. 展开式中所有项的二项式系数和为29＝512. 要注意区分二项式系数和项的系数，二项式系数和利用Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝2n.求解， 展开式中各项系数的和利用赋值x＝1求解． 1．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n(n∈N＋)的展开式中各项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为(　　) A．－70　　 B．70 C．－40　　 D．30 解析：B　[依题意可得2n＝256，所以n＝8， 则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))8展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,8)x8－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝Ceq \o\al(k,8)x8－2k(－1)k， 令8－2k＝0，解得k＝4，所以展开式中常数项为T5＝Ceq \o\al(4,8)x0(－1)4＝70.] ►[命题点2]　二项式系数的最值问题　 [典例2]　 (2024·全国甲卷) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋x))10的展开式中，各项系数中的最大值为________． [解析]　由题展开式通项公式为Tr＋1＝C eq \o\al(r,10) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))10-rxr，0≤r≤10且r∈Z， 设展开式中第r＋1项系数最大， 则r,10) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))10-r≥C eq \o\al(r+1,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9-r，,C eq \o\al(r,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))10-r≥C eq \o\al(r-1,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))11-r，)) 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C eq \o\al(8,10) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝5. 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r≥\f(29,4)，,r≤\f(33,4)，))即 eq \f(29,4)≤r≤ eq \f(33,4)，又r∈Z，故r＝8， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C eq \o\al(8,10) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝5. [答案]　5 1．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋1))项))的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)项与)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(第\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)＋1))项))的二项式系数相等并最大． 2．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解出k来，即得． 2．(2023·上海卷)已知(1＋2 023x)100＋(2 023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a99x99＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若k∈{0,1,2，…，100}且ak＜0时，则k的最大值是________． 解析：ak＝Ceq \o\al(k,100)(2 023 x)k＋(－1)kCeq \o\al(k,100)2 023100－kxk＜0，依题意k为奇数，∴2 023k＜2 023100－k，k＜100－k⇒k＜50⇒kmax＝49. 答案：49 ►[命题点3]　系数最大问题　 [典例3]　(2025·全国模拟)若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为(　　) A．(2,3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) C．[2,3] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) [解析]　由于二项式(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512， 所以2n＝512，n＝9，即(2＋ax)9(a≠0)， 展开式的通项公式为Ceq \o\al(k,9)·29－k·(ax)k＝ak·29－k·Ceq \o\al(k,9)·xk， 依题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a5·29－5·C\o\al(5,9)≥a4·29－4·C\o\al(4,9)，,a5·29－5·C\o\al(5,9)≥a6·29－6·C\o\al(6,9)，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥2，,a2－3a≤0，))解得2≤a≤3. [答案]　C 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，一般需根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式组并求解的方法求得． 3．(2025·江西抚州模拟)已知(1－3x)n的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为________． 解析：令x＝1，则(1－3x)n的展开式各项系数之和为(－2)n＝64＝26，则n＝6； 由(1－3x)n的展开式通项公式Tk＋1＝Ceq \o\al(k,6)(－3)kxk知二项展开式的系数最大项在奇数项， 设二项展开式中第k＋1项的系数最大， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,6)－3k≥C\o\al(k＋2,6)－3k＋2，,C\o\al(k,6)－3k≥C\o\al(k－2,6)－3k－2，)) 化简可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＋2k＋1≥6－k5－k×9，,8－k7－k×9≥kk－1，)) 经验证可得k＝4， 则该展开式中系数最大的项为T5＝Ceq \o\al(4,6)(－3)4x4＝1 215x4. 答案：1 215x4 ►[命题点4]　各项的系数和问题　 [典例4]　(2025·广东南海中学模拟)已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024(x∈R)，求解： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a2 024； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a2 023； (3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|； (4)a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024. [解]　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝(－1)2 024＝1①. (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＋a2 024＝32 024②.由①－②得2(a1＋a3＋a5…＋a2 023)＝1－32 024，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝eq \f(1－32 024,2). (3)相当于求展开式(1＋2x)2 024的系数和，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝32 024. (4)(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024(x∈R)两边分别求导得：－4 048(1－2x)2 023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023(x∈R)，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＝4 048. 赋值法研究二项式的系数和问题 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2). 4．(2022·浙江卷)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________. 解析：由题a2＝1×Ceq \o\al(3,4)(－1)3＋2×Ceq \o\al(2,4)·(－1)2＝8， 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0， 又a0＝2，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 答案：8　－2 多项式展开式中的特定项或系数问题 ►[命题点1]　几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题　 [典例1]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(2,x)))4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))8的展开式中的常数项为(　　) A．32 B．34 C．36 D．38 [解析]　　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(2,x)))4的展开式的通项为Tm＋1＝ Ceq \o\al(m,4)(x3)4－m·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))m＝Ceq \o\al(m,4)(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))8的展开式的通项为Tn＋1＝Ceq \o\al(n,8)x8－neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))n＝Ceq \o\al(n,8)x8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常数项为Ceq \o\al(3,4)(－2)3＋Ceq \o\al(4,8)＝38. [答案]　D 对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可． 1．(2025·台州市模拟)在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项的系数为________． 解析：在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项为Ceq \o\al(0,2)(2x)2－Ceq \o\al(1,3)(2x)2＋Ceq \o\al(2,4)(2x)2－Ceq \o\al(3,5)(2x)2＋Ceq \o\al(4,6)(2x)2－Ceq \o\al(5,7)(2x)2＋Ceq \o\al(6,8)(2x)2， 则含x2项的系数为4(1－3＋6－10＋15－21＋28)＝64. 答案：64 ►[命题点2]　几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题　 [典例2]　(2022·新高考Ⅰ卷)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． [解析]　因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8＝(x＋y)8－eq \f(y,x)(x＋y)8， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Ceq \o\al(6,8)x2y6－eq \f(y,x)Ceq \o\al(5,8)x3y5＝－28x2y6， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28. [答案]　－28 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，把每一个因式用二项展开式展开，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 2．(2025·深圳富源学校期中)(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))6的展开式中所有项的系数和与常数项分别为(　　) A．3,260 B．－3,260 C．3，－260 D．－3，－260 解析：C　[令x＝1，则(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))6＝3×1＝3， 所以(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))6的展开式中所有项的系数和为3； 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))6的展开式中含eq \f(1,x2)的项为Ceq \o\al(4,6)·(2x)2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))4＝eq \f(60,x2)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))6的展开式中常数项为Ceq \o\al(3,6)·(2x)3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))3＝－160， 所以(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))6的展开式中常数项为60＋2×(－160)＝－260， 所以(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))6的展开式中所有项的系数和与常数项分别为3；－260.] ►[命题点3]　三项展开式中特定项(系数)问题　 [典例3]　 (2025·河南模拟) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2x)－2y))7的展开式中x2y3的系数为________． [解析]　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2x)－2y))7的通项公式为Tr＋1＝C eq \o\al(r,7)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2x)))7-r· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2y))r， 当r＝3时，T3＋1＝C eq \o\al(3,7)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2x)))4·y3， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2x)))4中，含x2项的系数为C eq \o\al(1,4)·x3· eq \f(1,2x)＝2x2， 所以展开式中x2y3的系数为C eq \o\al(3,7)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))3·2＝－560. [答案]　-560 对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，把其中两项看作整体展开，再把这两项继续展开，要注意各参数的取值范围，适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 3．(2025·江苏模拟) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋x－y))5的展开式中x6y2的系数为________．(用数字作答) 解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋x－y))5可看作5个(2x2＋x－y)相乘，有2个括号提供－y，还有3个括号都是2x2， 则C eq \o\al(2,5)(－y)2·C eq \o\al(3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2))3＝80x6y2，系数为80. 答案： 80 $$