主题4 第9章 第2节 用样本估计总体(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题四　概率与统计 第九章　统计与成对数据的统计分析 第2节　用样本估计总体 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 第九章　统计与成对数据的统计分析 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题四 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从所加的左边区间的　中点　开始，用线段依次连接各个矩形的　顶端中点　，直到右边所加区间的　中点　，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图，有时也用它来估计总体的分布情况. 5．一般地，样本容量　越大　，用样本的频率分布去估计总体的分布就越　精确　. 随着样本容量的增大，所划分的区间数也随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条　光滑曲线　. 三、其他统计图 1．不同的统计图在表示数据上有不同的特点．如扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的　比例　，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的　频数　和　频率　，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势． 2．不同的统计图适用的数据类型也不同．如条形图适用于描述 　离散型　的数据，直方图适用于描述　连续型　数据． 四、样本的数字特征 1．平均数：一组数据的平均值． 2．中位数：将一组数据按　从小到大　的顺序排列后，“　中间　”的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是　一样　的． 3．众数：是指这组数据中出现次数　最多　的数据． 4．极差：是数据中最大值和最小值的　差　，它计算简单，但没有充分利用其他数据． 5．方差：刻画的是数据偏离平均数的　离散程度　， 方差计算公式：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \o(x,\s\up16(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up16(－)))2＋…＋(xn－eq \o(x,\s\up16(－)))2] 标准差：由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位. 为此，计算方差的算术平方根， 得s＝eq \r(s2)＝，称之为标准差． 五、百分位数 1．百分位数的特点：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈　(0,1)　，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数　小于或等于　它的可能性是　p　. 2．四分位数：25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数，这三个百分位数把总体数据按照从小到大排列后分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是　eq \f(1,4)　，因此称为总体的四分位数． 说明：总体的p分位数通常是未知的，人们用样本的p分位数来估计它，样本容量　越大　，估计越　精确　. 1．频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \o(x,\s\up16(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \o(x,\s\up16(－))＋a. (2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则： ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．(　　) (2)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高．(　　) (3)在频率分布直方图中，样本数据的80%分位数即由小到大分组的累计频率为0.8对应的数据．(　　) (4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(　　) (5)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据．(　　) (6)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√ ◆[小题查验] 1．在样本的频率分布直方图中，一共有n(n≥4，n∈Z)个小矩形，第4个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的eq \f(3,7)，则第4个小矩形对应的频率为(　　) A．0.3　　 B．0.4 C．0.5　　 D．0.7 解析：A　[设第4个小矩形对应的频率为x，则其余(n－1)个小矩形对应的频率为1－x， 所以x＝eq \f(3,7)(1－x)，解得x＝0.3.] 2．(BSD必修第一册P174例7改编)一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，则该组数据的75%分位数为________，86%分位数为________． 解析：因为75%×20＝15， 所以75%分位数为eq \f(14＋15,2)＝14.5. 因为86%×20＝17.2， 所以86%分位数为第18个数据为17. 答案：14.5　17 3．已知一组数据：20,30,40,50,50,60,70,80，记这组数据的第60百分位数为a，众数为b，则a和b的大小关系是________(用“<”“>”或“＝”连接)． 解析：因为8×60%＝4.8， 所以这组数据的第5个数：50为第60百分位数． 观察易知这组数据的众数为50，所以a和b的大小关系是a＝b. 答案：a＝b 4．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示． (1)直方图中x的值为________； (2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________． 答案：(1)0.004 4　(2)70 5．(方差公式记忆不准致误)已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入数据2和6，此时8个数据的方差为________． 解析：设原数据为a1，a2，a3，a4，a5，a6，则ai＝6×4＝24，eq \f(1,6) (ai－4)2＝8， 加入数据2和6，后，所得8个数据的平均数eq \o(x,\s\up16(－))＝＝4， 方差s2＝ ＝eq \f(48＋4＋4,8)＝7. 答案：7 频率分布直方图 1．(2025·浙江衢州期末)某中学举行的电脑知识竞赛，满分100分，80分以上为优秀， 现将高一两个班参赛学生的成绩整理后分成五组，绘制频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组频率分别为0.30、0.05、0.10、0.05. 第二小组频数为40，则参赛的人数和成绩优秀的概率分别为(　　) A．100，0.15　　　　　 B．100，0.30 C．80，0.15 D．80，0.30 解析： C　[由图可得第二小组的频率为1－0.30－0.05－0.10－0.05＝0.5， 又第二小组频数为40， 则参赛的人数为 eq \f(40,0.5)＝80， 用频率估计概率则成绩优秀的概率0.10＋0.05＝0.15.故选C.] 2．(2025·全国模拟)山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品，王过酥梨含有多种对人体有益的钙、铁、磷等微量营养元素，食后清火润肺，止咳化痰，能起到祛病养生之效，一致被人们作为逢年过节走亲访友，馈赠待客及日常生活的必备佳品．某水果批发商小李从事酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在[100,200]内的数量x(单位：箱)绘制成下表： 采购数x (单位：箱) [100,120) [120,140) [140,160) [160,180) [180,200] 客户数 5 10 15 15 5 (1)根据表中的数据，补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上(含168箱)的客户数； (2)若去年年底采购在[100,200]内的酥梨数量约占小李去年年底酥梨总销售量的eq \f(4,5)，估算小李去年年底总销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)在(2)的条件下，由于酥梨受到人们的青睐，小李做了一份市场调查以决定今年年底是否在网上出售酥梨，若没有在网上出售酥梨，则按去年的价格出售，每箱利润为14元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售酥梨，则需把每箱售价下调1至5元(网上、网下均下调)，且每下调m元(1≤m≤5，m∈Z)销售量可增加950m箱，试预计小李在今年年底销售酥梨总利润Y(单位：元)的最大值． 解：(1)[100,120)，[120,140)，[140,160)，[160,180)，[180,200]对应的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1，则对应的eq \f(频率,组距)为0.005,0.01，0.015，0.015，0.005，故这些数据的频率分布直方图如图所示： 由直方图可知，采购数在168箱以上(含168箱)的客户数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.005＋0.015×\f(180－168,20)))×20×50＝14(人)． (2)由题意可知，去年年底客户采购酥梨在[100,200]内的数量为 110×5＋130×10＋150×15＋170×15＋190×5＝7 600(箱)， 则小李去年年底总销售量为 7 600×eq \f(5,4)＝9 500(箱)． (3)由题意可得Y＝(9 500＋950m)(14－m) ＝950(－m2＋4m＋140)， 当m＝2时，Ymax＝950(－4＋8＋140)＝136 800(元)． 1．准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆． 2．在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布． 统计图表 1．(2025·重庆期末)某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为(　　) A．20 B．30 C．40 D．45 解析： A　[由条形图得演讲人数为30，由饼状图得演讲人数占比15%，因此选取的总人数为 eq \f(30,15%)＝200， 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为1－20%－20%－15%＝45%，人数和为200×45%＝90， 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20.故选A.] 2．2022年7月至2023年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则(　　) 备注：同比增长率＝ A．2023年1月全国居民消费价格比2022年1月全国居民消费价格有所下降 B．2023年5月全国居民消费价格比2023年4月全国居民消费价格有所上升 C．2022年7月至2023年7月全国居民消费价格同比增长率的40%分位数为1.0% D．2022年10月至2023年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为0.25% 解析： D　[对A，从图中可以看出2023年1月全国居民消费价格的同比增长率为0.9%＞0，所以2023年1月全国居民消费价格有所上升，故A错误；对B，由图2023年5月全国居民消费价格环比增长率为－0.2%＜0，所以2023年5月全国居民消费价格有所下降，故B错误；对C，将C选项中的数据由小到大排列得，0.7%，0.8%，0.9%，0.9%，1%，1.5%，1.5%，1.5%，2.1%，2.1%，2.3%，2.5%，2.7%，因为13×40%＝5.2，则同比增长率的40%分位数为第6个数1.5%，故C错误；对D，环比增长率的平均数为 ＝0.25%，故D正确．] 3．(多选)(2025·宁德模拟)调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列选项中正确的是(　　) 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980－1989年之间出生，80前指1979年及以前出生. A．互联网行业中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 解析：ABC　[对于A，互联网行业中仅90后从事技术和运营岗位的人数占总数的56%×(39.6%＋17%)＝31.696%>30%，故A正确；对于B，互联网行业中仅90后从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%>20%，故B正确；对于C，互联网行业中90后从事运营岗位的人数占总人数的56%×17%＝9.52%，而80前从事互联网行业的人数占总人数的3%，故C正确；对于D，由于80后中从事技术岗位的人数所占比例不确定，所以无法比较，故D不正确．] 常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图等． 1．通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系． 2．折线图、条形图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势． 百分位数及应用 1．(2025·河南郑州模拟)已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩(单位：分)为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是(　　) A．86 B．87 C．88 D．90 解析： B　[将数据从小到大排序得72，78，80，81，83，86，88，90， 因为8×75%＝6， 所以第75百分位数是 eq \f(86＋88,2)＝87.故选B.] 2．(2025·四川眉山模拟)某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如下图所示，若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师选取的学生分数应不低于(　　) A．73 B．75 C．77 D．79 解析：C　[由题意可知，(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋a＋0.005)×10＝1，解得a＝0.030， 化学考试成绩在[80,100]内的频率为(0.025＋0.005)×10＝0.3， 所以第39百分位数的一定位于[70,80)内，设第39百分位数为x，则(80－x)×0.03＋0.3＝0.39，解得x＝77. 所以估计化学老师选取的学生分数应不低于77分．] 3．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量(单位：J)如下：100,120,125,165,430,186,175,234,425,310.这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为________． 解析：10个数据从小到大顺序排列为： 100,120,125,165,175,186,234,310,425,430， 10×eq \f(60,100)＝6，而第6个数据为186，第7个数据为234，eq \f(186＋234,2)＝210. 所以第60百分位数为210. 答案：210 计算第p百分位数的步骤 (1)按从小到大排列原始数据． (2)计算i＝n×p%. (3)若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 提醒：频率分布表和频率分布直方图与原始数据相比，它们损失了一些信息．计算第p百分位数的值，根据累计频率先推算这个值所在的区间，再把区间内的数据看成均匀分布，估计这个值． 样本的数字特征 ►[命题点1]　样本的数字特征　 [典例1]　 (2025·贵州遵义模拟)“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，10))内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是(　　) A．该组数据的中位数为7 B．该组数据的平均数为7.5 C．该组数据的第60百分位数为7.5 D．该组数据的极差为5 [解]　 首先对10位市民的幸福感指数按从小到大的顺序进行排序：4，5，5，6，7，7，8，8, 9, 9， 该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，因此A说法正确； 该组数据的平均数为 eq \f(1,10)(4＋5＋5＋6＋7＋7＋8＋8＋9＋9)＝6.8，因此B说法不正确； 又10×60%＝6，因此该组数据的第60百分位数为 eq \f(7＋8,2)＝7.5，因此C说法正确； 又该组数据最大为9，最小为4，因此极差为9－4＝5，因此D说法正确．故选B. [典例2]　(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社会居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则(　　) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 [解析]　讲座前中位数为eq \f(70%＋75%,2)＞70%，所以A错误；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，所以B正确；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%＞20%，所以D错误． [答案]　B 样本的数字特征与直方图交汇是考试常见内容，时刻牢记，频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系，准确计算． ►[命题点2]　频率分布直方图中的数字特征　 [典例3]　(多选)(2024·黑龙江哈九中模拟)某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于80分的学生有27人，则以下结论中正确的是(　　) A．此次测试众数的估计值为85 B．此次测试分数在[50,60)的学生人数为6人 C．随机抽取的学生测试分数的第55百分位数约为80 D．平均数m在中位数n右侧 [解析]　由直方图可知此次测试众数的估计值为85，故A正确；因为不低于80分的学生的频率为(0.03＋0.015)×10＝0.45，∴该校高中生中随机抽取学生的人数为eq \f(27,0.45)＝60人，所以此次测试分数在[50,60)的学生人数为60×0.01×10＝6人，故B正确；因为(0.005＋0.005＋0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.55，所以随机抽取的学生测试分数的第55百分位数约为80，故C正确；由直方图在左边“拖尾”，可知平均数小于中位数，即平均数m在中位数n左侧，故D错误． [答案]　ABC 频率分布直方图的数字特征 1．众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标． 2．中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． 3．平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和． ►[命题点3]　样本的数字特征与优化决策问题　 [典例4]　(1)为了了解某设备生产产品质量的稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量(单位：克)如下： 495,500,503,508,498,500,493,500,503,500，质量落在区间[eq \o(x,\s\up16(－))－s，eq \o(x,\s\up16(－))＋s](eq \o(x,\s\up16(－))表示质量的平均值，s为标准差)内的产品件数为________． [解析]　根据题意 eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(495＋500＋503＋508＋498＋500＋493＋500＋503＋500,10)＝500， 所以s＝ eq \r(\f(495－5002＋500－5002＋…＋503－5002＋500－5002,10))＝4， 所以质量落在区间[496,504]内的产品，其质量为：500,503,498,500,500,503,500. 所以质量落在区间内的产品件数为7个． [答案]　7 (2)为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲、乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲、乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图： (1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数； (2)轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择． [解]　(1)甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数eq \f(1,10)×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195.乙厂提供的10个轮胎宽度的平均数eq \f(1,10)×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194. (2)甲厂提供的10个轮胎的宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为 eq \f(195＋194＋196＋194＋196＋195,6)＝195，方差为eq \f(1,6)×(0＋1＋1＋1＋1＋0)＝eq \f(2,3)，乙厂提供的10个轮胎的宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195，共6个， 标准轮胎宽度的平均数为eq \f(195＋196＋195＋194＋195＋195,6)＝195.方差为eq \f(1,6)×(0＋1＋0＋1＋0＋0)＝eq \f(1,3)，由于甲、乙两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎会被选择． 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．在实际决策中，方差越小，波动越小，成绩越稳定． 1．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 解析：BD　[因为eq \f(x2＋x3＋x4＋x5,4)－eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6,6) ＝eq \f(x2＋x3＋x4＋x5－2x1＋x6,12)≠0， 所以A错误；因为x1是最小值，x6是最大值，所以x2，x3，x4，x5的中位数的位置与x1，x2，…，x6的中位数的位置相同，所以B正确；因为x1是最小值，x6是最大值，距离数据x1，x2，…，x6的平均值较远，即波动性大，所以标准差大，所以C错误；假设x2，x3，x4，x5的最小值为x2，最大值为x5，则x1≤x2，x5≤x6，所以x6－x1≥x5－x2，所以D正确．] 2．(2025·全国模拟)随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下： 用户 编号 评分 用户 编号 评分 用户 编号 评分 用户 编号 评分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 78 73 81 92 95 85 79 84 63 86 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 88 86 95 76 97 78 88 82 76 89 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 79 83 72 74 91 66 80 83 74 82 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 93 78 75 81 84 77 81 76 85 89 (1)请你估计该地区所有用户评分的25%,95%分位数； (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，且抽到的10个用户的评分分别为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89，试计算这10个数据的平均数eq \o(x,\s\up16(－))和方差s2； (3)在(2)的条件下，若用户的满意度评分在(eq \o(x,\s\up16(－))－s，eq \o(x,\s\up16(－))＋s)内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比． (参考数据：eq \r(30)≈5.48，eq \r(33)≈5.74，eq \r(35)≈5.92) 解：(1)这40个用户评分按从小到大排列如下： 63,66,72,73,74,74,75,76,76,76,77,78,78,78,79,79,80,81,81,81,82,82,83,83,84,84,85,85,86,86,88,88,89,89,91,92,93,95,95,97，得到eq \f(25,100)×40＝10，eq \f(95,100)×40＝38，可知这40个用户评分的25%,95%分位数分别为第10项和第11项数据的平均数，第38项和第39项数据的平均数，分别为76.5,95，据此估计该地区所有用户评分的25%,95%分位数分别约为76.5,95. (2)eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(1,10)×(92＋84＋86＋78＋89＋74＋83＋78＋77＋89)＝83，s2＝eq \f(1,10)×[(92－83)2＋(84－83)2＋(86－83)2＋(78＋83)2＋(89－83)2＋(74－83)2＋(83－83)2＋(78－83)2＋(77－83)2＋(89－93)2]＝33. (3)由题意知评分在(83－eq \r(33)，83＋eq \r(33))，即(77.26，88.74)内的满意度等级为“A级”，样本中评分在(77.26,88.74)内的有5人，则可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为eq \f(5,10)×100%＝50%. $$