主题3 第8章 第5节 椭圆(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题三　几何与代数 第八章　平面解析几何 第5节　椭　圆 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题三 第八章　平面解析几何 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章　平面解析几何 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） ★[课程标准] 1．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 3．了解椭圆的简单应用． 4．理解数形结合思想． 1．椭圆的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的　距离之和等于常数　(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆 焦点 两个　定点　F1，F2叫作椭圆的焦点 焦距 两焦点间的　距离　|F1F2|叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 集合语言 P＝{M|　|MF1|＋|MF2|＝2a　，2a＞|F1F2|} 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 性 质 范围 　－a　≤x≤　a　 　－b　≤y≤　b　 　－b　≤x≤　b　 　－a　≤y≤　a　 对称性 对称轴：　坐标轴　 对称中心：　原点　 顶点 A1　(－a,0)　，A2　(a,0)　 B1　(0，－b)　，B2　(0，b)　 A1　(0，－a)　，A2　(0，a)　 B1　(－b,0)　，B2　(b,0)　 性 质 轴 长轴A1A2的长为　2a　 短轴B1B2的长为　2b　 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝eq \f(c,a)∈　(0,1)　 a，b，c的关系 a2＝　b2＋c2　 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a). 4．AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0). ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (5)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　) (6)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(BSD选择性必修第一册P51练习T4改编)如果椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是(　　) A．6　　 B．12 C．14　　 D．26 解析：C　[∵eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1, ∴a＝10；∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，∴|PF2|＝20－|PF1|＝20－6＝14.] 2．(忽视焦点的位置致误)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m)＝1的焦距为2eq \r(7)，则m的值为(　　) A．9 B．23 C．9或23 D．16－eq \r(7)或16＋eq \r(7) 解析：C　[椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m)＝1的焦距为2eq \r(7)，可得2eq \r(16－m)＝2eq \r(7)，或2eq \r(m－16)＝2eq \r(7)， 解得m＝9或23.] 3．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝λ(λ＞0)，则该椭圆的离心率e＝(　　) A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(5),2) 解析：C　[因为椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝λ(λ＞0)，即eq \f(x2,4λ)＋eq \f(y2,λ)＝1，故c2＝4λ－λ＝3λ， 又e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(3λ,4λ)＝eq \f(3,4)，故e＝eq \f(\r(3),2).] 4．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \o(BA1,\s\up16(→))·eq \o(BA2,\s\up16(→))＝－1，则C的方程为(　　) A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋y2＝1 解析：B　[由题意，A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以eq \o(BA1,\s\up16(→))＝(－a，－b)，eq \o(BA2,\s\up16(→))＝(a，－b)，eq \o(BA1,\s\up16(→))·eq \o(BA2,\s\up16(→))＝－a2＋b2＝－1①.又1－eq \f(b2,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，即b2＝eq \f(8,9)a2，代入①式解得a2＝9，b2＝8，所以C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.] 5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________． 解析：如图，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又△ABF2的周长为16，所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16， 即4a＝16，a＝4，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)， 则c＝2eq \r(2)，b＝eq \r(a2－c2)＝2eq \r(2)， 故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1. 答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1 椭圆的定义及其应用 1．(2025·上海嘉定期末)方程 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋y2)＋ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))2＋y2)＝12，化简的结果是(　　) A． eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,4)＝1　　　　B． eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,32)＝1 C． eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,16)＝1 D． eq \f(y2,36)＋ eq \f(x2,16)＝1 解析： B　[由 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋y2)＋ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))2＋y2)＝12，可得点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))到定点F1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))，F2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0))的距离之和等于12， 即 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝12> eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝4， 所以动点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，设其方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 则2a＝12，c＝2， 所以a＝6，b＝4 eq \r(2)， 故方程为 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,32)＝1.故选B.] 2．(2023·全国甲卷)已知椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,6)＝1，F1、F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝ eq \f(3,5)，则|OP|＝(　　) A． eq \f(2,5)　　　B． eq \f(\r(30),2)　　　C． eq \f(3,5)　　　D． eq \f(\r(35),2) 解析： B　[设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜ eq \f(π,2)，所以S△PF2F1＝b2tan eq \f(∠F1PF2,2)＝b2tan θ， 由cos ∠F1PF2＝cos 2θ＝ eq \f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ) ＝ eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝ eq \f(3,5)，解得tanθ＝ eq \f(1,2)， 由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3， 所以，S△PF1F2＝ eq \f(1,2)×|F1F2|×|yP|＝ eq \f(1,2)×2 eq \r(3)×|yP|＝6× eq \f(1,2)，解得y eq \o\al(2,P)＝3， 即x eq \o\al(2,P)＝9× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,6)))＝ eq \f(9,2)，因此|OP|＝2,P) eq \r(x＋y eq \o\al(2,P)) ＝ eq \r(3＋\f(9,2))＝ eq \f(\r(30),2).] 3．(2025·深圳模拟)已知椭圆C： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F.P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为(　　) A．1 B．－1 C． eq \r(17) D．－ eq \r(17) 解析：A　[设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，可得|PF|＝4－|PF′|， 所以|PA|－|PF| ＝|PA|＋|PF′|－4， 如图所示，当且仅当P，A，F′三点共线(点P在线段AF′上)时， 此时|PA|＋|PF′|取得最小值， 又由椭圆C： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1，可得F′(－1，0)且A(2，4)，所以|AF′|＝ eq \r((2＋1)2＋16)＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1.] 1．求椭圆的标准方程有以下五种方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)． ③直接法：若已知中有明显的等量关系，常列出关系，化简可得椭圆方程． ④参数法：若已知x，y都与某个参数有关，列出x，y与其关系消去参数可得椭圆方程． ⑤相关点法(代入法)：若动点与某个参动点有关，常用动点坐标表示参动点坐标，然后代入参动点满足关系即可得方程． 2．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． 3．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，可求焦点三角形的周长和面积． 提醒：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m2≠n2)的形式． 椭圆的标椎方程 [典例]　(2025·广州模拟)已知F1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，F2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且AB＝3，则椭圆C的标准方程为(　　) A． eq \f(y2,4)＋ eq \f(x2,3)＝1 B． eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1 C． eq \f(y2,4)＋x2＝1 D． eq \f(x2,4)＋y2＝1 [解析]　由对称性 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝ eq \f(3,2)，又 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))＝ eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))2)＝ eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝ eq \f(5,2)， 故2a＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝4，a＝2，又c＝1，则b＝ eq \r(a2－c2)＝ eq \r(3)， 故椭圆标准方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1.故选B. [答案]　 B (1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． (2)椭圆的标准方程的两个应用 ①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0)有相同的离心率． ②与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． (2025·全国模拟)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________． 解析：所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2＝25－9＝16， 设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，于是得a2－b2＝16， 又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在所求椭圆上，即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1， 联立两个方程得eq \f(5,b2＋16)＋eq \f(3,b2)＝1，即(b2)2＋8b2－48＝0，解得b2＝4，则a2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1. 答案：eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 　椭圆的几何性质 ►[命题点1]　椭圆的离心率　 [母题]　设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点M在y轴上，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　 B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(1,3)　　 D.eq \f(1,6) [解析]　如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|＝eq \r(|PF1|2－|PF2|2) ＝eq \r(3)|PF2|， 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝eq \f(3|PF2|,2)，2c＝|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|⇒c＝eq \f(\r(3)|PF2|,2)， 则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3)|PF2|,2)·eq \f(2,3|PF2|)＝eq \f(\r(3),3). [答案]　A [子题1]　母题条件变为“若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cos α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)”，则椭圆的离心率为________． 解析： ∵cos α＝eq \f(\r(5),5)⇒sin α＝eq \f(2\r(5),5). sin(α＋β)＝eq \f(3,5)⇒cos(α＋β)＝－eq \f(4,5). ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝eq \f(11\r(5),25). 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2. 由正弦定理得eq \f(r1,\f(11\r(5),25))＝eq \f(r2,\f(2\r(5),5))＝eq \f(\f(2c,3),5) ∴eq \f(r1＋r2,\f(21\r(5),25))＝又r1＋r2＝2a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),7). 答案：eq \f(\r(5),7) [子题2]　母题条件变为“P到两焦点的距离之比为2∶1”，则离心率范围为________． 解析：设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥eq \f(1,3).又∵0<e<1，∴eq \f(1,3)≤e<1. 答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) ►[命题点2]　与椭圆有关的最值(或范围)问题　 [典例]　已知焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,8)＝1，且a,2，c成等差数列，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \o(PF,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))的最大值为(　　) A．8 B．10 C．12 D．16 [解析]　焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,8)＝1. 所以a2＝8＋c2， 又a,2，c，成等差数列，所以4＝a＋c，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－c2＝8，,a＋c＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,c＝1，))所以椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1，左焦点F(－1,0)，右顶点A(3,0)， 设P(x0，y0)，则eq \f(x\o\al(2,0),9)＋eq \f(y\o\al(2,0),8)＝1，所以yeq \o\al(2,0)＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),9)))， eq \o(PF,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))＝(x0＋1，y0)·(x0－3，y0)＝xeq \o\al(2,0)－2x0－3＋yeq \o\al(2,0)＝xeq \o\al(2,0)－2x0－3＋8－eq \f(8,9)xeq \o\al(2,0)＝eq \f(1,9)xeq \o\al(2,0)－2x0＋5，x0∈[－3,3]， eq \o(PF,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \f(1,9)(x0－9)2－4，x0∈[－3,3]，x0＝－3时，(eq \o(PF,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→)))max＝12. [答案]　C 1．求椭圆离心率或其范围的方法 (1)求a，b，c的值，由e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2直接求． (2)列出含有a，b，c的方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解． 2．椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系． 1．(2025·四川成都外国语学校模拟)已知两定点A(－3,0)和B(3,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝－x＋5上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为(　　) A．2eq \r(2) B．4eq \r(2) C.eq \r(26) D．2eq \r(26) 解析：B　[根据题意，设点A(－3,0)关于直线l：y＝－x＋5的对称点A′(x0，y0)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y0－0,x0＋3)＝1，,\f(y0＋0,2)＝－\f(x0－3,2)＋5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝5，,y0＝8，))即A′(5,8)． 根据椭圆的定义可知，2a＝|AP|＋|BP|＝|A′P|＋|BP|≥|A′B|＝eq \r(5－32＋82)＝2eq \r(17)， 当A′、P、B三点共线时，长轴长取最小值2eq \r(17)，即amin＝eq \r(17)， 由a2＝b2＋c2且c＝3，得b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(a2－9)≥eq \r(17－9)＝2eq \r(2)， 因此椭圆C的短轴的最小值为4eq \r(2).] 2．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝eq \r(3)e1，则a＝(　　) A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.eq \r(6) 解析：A　[由题意易得，e1＝eq \f(\r(a2－1),a)，e2＝eq \f(\r(3),2)，得eq \f(\r(a2－1),a)＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(2\r(3),3).] 椭圆的综合问题 [典例]　 (2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0，3)和P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))为椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． [解]　 (1)由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝3，,\f(9,a2)＋\f(\f(9,4),b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b2＝9，,a2＝12，)) 所以e＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝ eq \r(1－\f(9,12))＝ eq \f(1,2). (2)由kAP＝ eq \f(3－\f(3,2),0－3)＝－ eq \f(1,2)，则直线AP的方程为y＝－ eq \f(1,2)x＋3，即x＋2y－6＝0， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AP))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－3))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,2)))2)＝ eq \f(3\r(5),2).由(1)知C： eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,9)＝1， 设点B到直线AP的距离为d，则d＝ eq \f(2×9,\f(3\r(5),2))＝ eq \f(12\r(5),5)， 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移 eq \f(12\r(5),5)单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B， 设该平行线的方程为：x＋2y＋C＝0， 则 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C＋6)),\r(5))＝ eq \f(12\r(5),5)，解得C＝6或C＝－18， 当C＝6时，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,12)＋\f(y2,9)＝1，,x＋2y＋6＝0，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－\f(3,2)，))即B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－3))或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))， 当B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－3))时，此时kl＝ eq \f(3,2)，直线l的方程为y＝ eq \f(3,2)x－3，即3x－2y－6＝0， 当B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))时，此时kl＝ eq \f(1,2)，直线l的方程为y＝ eq \f(1,2)x，即x－2y＝0， 当C＝－18时，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,12)＋\f(y2,9)＝1，,x＋2y－18＝0，))得2y2－27y＋117＝0， Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点． 综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率)． 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A、B两点，满足|AF2|＝eq \f(\r(3),6)c. (1)椭圆C的离心率； (2)M、N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP、NP分别和x轴相交于R、Q两点，O为坐标原点，若|OR|·|OQ|＝4，求椭圆C的方程． 解：(1)法一：A点横坐标为c，代入椭圆得eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，解得|y|＝eq \f(b2,a)＝|AF2|，∴eq \f(b2,a)＝eq \f(\r(3),6)c.即a2－c2＝eq \f(\r(3),6)ac，设eq \f(c,a)＝e，∴e2＋eq \f(\r(3),6)e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(3),2). 法二：直角△AF1F2中，|F1F2|＝2c，|AF2|＝eq \f(\r(3),6)c，∴由勾股定理得|AF1|2＝eq \f(1,12)c2＋4c2， 即|AF1|＝eq \f(7\r(3),6)c， ∴2a＝eq \f(7\r(3),6)c＋eq \f(\r(3),6)c＝eq \f(4\r(3),3)c，∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，即e＝eq \f(\r(3),2). (2)设M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)， 则MP方程为y＝eq \f(y0－b,x0)x＋b，令y＝0得到R点横坐标为eq \f(bx0,b－y0)；NP方程为y＝eq \f(y0＋b,x0)x－b，令y＝0得到Q点横坐标为eq \f(bx0,b＋y0)； ∴|OR|·|OQ|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b2x\o\al(2,0),b2－y\o\al(2,0)))) ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2－y\o\al(2,0),b2))),b2－y\o\al(2,0))))＝a2＝4， ∴c2＝3，b2＝1，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. $$