主题2 第4章 热点强化课4 三角函数中有关ω的取值范围问题(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题二 函　数 第四章　三角函数、解三角形 热点强化课4　三角函数中有关ω的取值范围问题 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 课时冲关 01 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 已知含参数ω的函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式，三角函数的部分性质，求ω的取值范围，是近年来常考的一种类型题．由于其有时涉及到三角函数的零点、单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的综合应用，难度较大，学生对这一类问题不得其解，从而心生畏惧心理．现就这一类问题进行归纳总结. 　利用单调性求ω最值范围问题 [例1]　 (2025·四川成都模拟)若函数f(x)＝sin (ωx)(ω>0)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递增，则ω的取值范围为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))　　　　　　B．(0，2) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(0，2] [解析]　函数f(x)＝sin (ωx)(ω>0)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递增， 当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，ωx∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)ω))，则 eq \f(π,4)ω≤ eq \f(π,2)，解得0<ω≤2.故选D. [答案]　 D [例2]　(2025·河南洛阳模拟)已知函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，0))对称，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))上是单调函数，则ω的值不可能是(　　) A.eq \f(4,3) B．4 C.eq \f(20,3) D.eq \f(28,3) [解析]　由已知，cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω·\f(3π,8)))＝0，则ω·eq \f(3π,8)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即ω＝eq \f(4,3)＋eq \f(8,3)k，k∈Z， 又函数在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))上是单调函数，可知eq \f(T,2)≥eq \f(π,8)－0，即eq \f(1,2)·eq \f(2π,ω)≥eq \f(π,8)，解得0＜ω≤8，所以当k＝0时，ω＝eq \f(4,3)，当k＝1时，ω＝4，当k＝2时，ω＝eq \f(20,3)，满足题意， 即ω＝eq \f(4,3)或4或eq \f(20,3). [答案]　D 与三角函数单调性相关的ω取值范围问题，需要利用整体思想，结合集合之间的包含关系，列不等式组求解．通常要考虑三角函数的单调区间，包含关系确定ω的范围． 利用最值求ω的取值范围 [例3]　(2025·江西鹰潭三模)已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝a cos ωx＋sin ωx eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0))，若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝ eq \r(3)且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≥f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，则ω的最小值为(　　) A．11 B．5 C．9 D．7 [解析]　由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≥f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，可知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在x＝ eq \f(π,6)取得最小值，所以函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的一条对称轴为x＝ eq \f(π,6)， 又0＋ eq \f(π,3)＝2× eq \f(π,6)，因此f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝ eq \r(3)，即a＝ eq \r(3)， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝ eq \r(3)cos ωx＋sin ωx＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))， 又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在x＝ eq \f(π,6)取得最小值，可知 eq \f(π,6)ω＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z， 解得ω＝7＋12k，k∈Z， 又ω>0，所以k＝0时，ω＝7＋12k，k∈Z取得最小值为7.故选D. [答案]　 D [例4]　(2025·天津模拟)函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4))) (ω＞0)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(7π,4)))内恰有两个最小值点，则ω的范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,7)，4)) B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,7)，3)) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，3)) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4)) 　 [解析]　 当ωx＋ eq \f(π,4)＝2kπ＋ eq \f(3π,2)(k∈Z)时， 即x＝ eq \f(2kπ＋\f(5π,4),ω)(k∈Z)时，函数有最小值， 令k＝－1，0，1，2时，有x＝－ eq \f(3π,4ω)，x＝ eq \f(5π,4ω)，x＝ eq \f(13π,4ω)，x＝ eq \f(21π,4ω)， 因为函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω＞0)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(7π,4)))内恰有两个最小值点，ω＞0， 所以有 [答案]　 B 利用最值求ω的取值范围，一种思路是利用值域控制相位的范围，解不等式组求解；另一思路根据三角函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据ωx＋φ的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果． 利用零点求ω的取值范围 [例5]　 (2025·陕西模拟)已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sin ωx－ eq \r(3)cos ωx＋1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0))在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π))上有且只有5个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，\f(37,6))) B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,6)，\f(7,2))) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(25,12)，\f(11,4))) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(25,12)，\f(11,2))) [解析]　因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sin ωx－ eq \r(3)cos ωx＋1＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＋1， 令f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＋1＝0， 即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＝－ eq \f(1,2)， 所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＝－ eq \f(1,2)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π))上有且只有5个零点． 因为x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π))，所以ωx－ eq \f(π,3)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，2πω－\f(π,3)))， 如图，由正弦函数图象，要使sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＝－ eq \f(1,2)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π))上有且只有5个零点， 则 eq \f(23π,6)<2πω－ eq \f(π,3)≤ eq \f(31π,6)，即 eq \f(25,12)<ω≤ eq \f(11,4)， 所以实数ω的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(25,12)，\f(11,4))).故选C. [答案]　C [例6]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． [解析]　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3. [答案]　[2,3) 三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，根据零点个数，确定ω的范围．三角函数两个零点之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)， 根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值. 对称性有关的ω最值范围问题 [例7]　将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是(　　) A.eq \f(1,3) B．2 C.eq \f(5,3) D.eq \f(2,3) [解析]　将函数f(x)＝sin ωx的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度， 得y＝sin ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,4)))， ∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,4)))的图象关于直线x＝π对称， ∴ωπ－eq \f(ωπ,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴ω＝eq \f(2,3)＋eq \f(4,3)k，k∈Z， ∵ω＞0，∴ω的最小值为eq \f(2,3). [答案]　D [例8]　(2025·安徽蒙城模拟)已知函数f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))(ω＞0)在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(17,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(13,4))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(13,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(17,4))) [解析]　f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))(ω＞0)， 令ωx－eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，则x＝eq \f(1＋4kπ,4ω)，k∈Z， 函数f(x)在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴， 即0≤eq \f(1＋4kπ,4ω)≤π有3个整数k符合， 0≤eq \f(1＋4kπ,4ω)≤π，得0≤eq \f(1＋4k,4ω)≤1⇒0≤1＋4k≤4ω，则k＝0,1,2， 即1＋4×2≤4ω＜1＋4×3，∴eq \f(9,4)≤ω＜eq \f(13,4). [答案]　C 根据三角函数图象的对称性或对称轴(对称中心)的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据ωx＋φ的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果． 综合性质有关的ω最值范围问题 [例9]　(多选)(2025·湖南周南中学模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－eq \r(3)cos ωx，ω＞0，则下列结论中正确的是(　　) A．若ω＝2，则将f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得到的图象关于原点对称 B．若|f(x1)－f(x2)|＝4，且|x1－x2|的最小值为eq \f(π,2)，则ω＝2 C．若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，则ω的取值范围为(0,3] D．若f(x)在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(10,3))) [解析]　函数f(x)＝sin ωx－eq \r(3)cos ωx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3))). 选项A，若ω＝2，f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，将f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得函数y＝sin 2x的图象，所以A正确；选项B，若|f(x1)－f(x2)|＝4，则x1，x2是函数f(x)的最大值点或最小值点，若|x1－x2|的最小值为eq \f(π,2)，则最小正周期是π，所以ω＝2，B正确；选项C，若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，则ωπ－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)，所以0＜ω≤eq \f(5,2)，C错误；选项D，设t＝ωx－eq \f(π,3)，当[0，π]时，t＝ωx－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，ωπ－\f(π,3)))， 若f(x)在[0，π]仅有3个零点，即y＝2sin t在t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，ωπ－\f(π,3)))仅有3个零点， 则2π≤ωπ－eq \f(π,3)＜3π，所以eq \f(7,3)≤ω＜eq \f(10,3)，D正确． [答案]　ABD [例10]　已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上恰有两个零点，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,24)))上单调递增，则ω的取值范围是________． [解析]　由题意，令ωx＋eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z， 得x＝eq \f(3kπ－π,3ω)，k∈Z， ∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为eq \f(5π,3ω)，eq \f(8π,3ω)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(5π,3ω)≤\f(2π,3)，,\f(8π,3ω)＞\f(2π,3)，))解得eq \f(5,2)≤ω＜4， 令－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z， ∴－eq \f(5π,6ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(π,6ω)＋eq \f(2kπ,ω)，k∈Z， 令k＝0，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6ω)，\f(π,6ω)))上单调递增， ∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,24)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6ω)，\f(π,6ω)))， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6ω)≤－\f(π,4)，,\f(π,6ω)≥\f(π,24)，,ω＞0，))解得0＜ω≤eq \f(10,3)， 综上，ω的取值范围是eq \f(5,2)≤ω≤eq \f(10,3). [答案]　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3))) 利用三角函数的综合性质求ω的范围．问题，应结合三角函数的图象，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据三角函数的性质以及题中条件，找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可． $$