主题2 第2章 第9节 函数模型及应用(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题二 函　数 第二章　函　数 第9节　函数模型及应用 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题二 第二章　函　数 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） ★[课程标准] 1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 1．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 　　　　函数 性质　　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的 增减性 　单调递增　 　单调递增　 　单调递增　 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与　y轴　平行 随x的增大逐渐表现为与　x轴　平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 1．对勾函数y＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)在(－∞，－eq \r(a) ]和[eq \r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a) ]上单调递减．当x＞0，x＝eq \r(a)时取最小值2eq \r(a)；当x＜0时，x＝－eq \r(a)时取最大值－2eq \r(a). 2．当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型． 3．当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型． 4．幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(　　) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　) (4)幂函数增长比直线增长更快．(　　) (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．(　　) 答案：(1)×　(2) √　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　) 解析：C　[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快．] 3．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq \f(1,3)，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6　　　 B．9 C．8　　　 D．7 解析：BC　[设经过n次过滤，产品达到市场要求， 则eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,1 000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20)， 由nlg eq \f(2,3)≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4.] 4．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只． 解析：由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100， ∴y＝100log3(x＋1)，∴当x＝8时，y＝100log39＝200. 答案：200 5．(忽视整体代入致误)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，那么t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足等式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k为常数．现有62 ℃的物体放到22 ℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42 ℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到　________　. 解析：依题意42＝22＋(62－22)·e－2k，e－2k＝eq \f(1,2)，故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到22＋(42－22)·e－4k＝22＋20·(e－2k)2＝22＋20×eq \f(1,4)＝27 ℃. 答案：27 ℃ 用函数图象刻画实际问题 中两变量的变化过程 1．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg p的关系，其中T表示温度，单位是K；p表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，p＝1 026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，p＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，p＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，p＝729时，二氧化碳处于超临界状态 解析：D　[A选项：lg p＝lg 1 026>3，T＝220，由图易知处于固态；B选项：lg p＝lg 128>2，T＝270，由图易知处于液态；C选项：lg p＝lg 9 987≈3.999，T＝300，由图易知处于固态；D选项：lg p＝lg 729>2，T＝360，由图易知处于超临界状态．] 2．(2024·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果： 则下列可以实现该功能的一种函数图象是(　　) 解析：A　 [根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．] 3．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－eq \f(fb－fa,b－a)的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是________． 解析：－eq \f(fb－fa,b－a)表示区间端点连线斜率的负数， 在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确； 甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3] 这三段时间中，甲企业在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力强，④错误． 答案：①②③ 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 　应用所给函数模型解决实际问题 [典例]　(2024·西城区模拟)星等分为两种：目视星等与绝对星等，但它们之间可用公式M＝m＋5－5lgeq \f(d,3.26)转换，其中M为绝对星等，m为目视星等，d为到地球的距离(单位：光年)．现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5.则距离地球更近的星球和它们到地球的距离之比(较远距离与较近距离之比)分别是(参考数据：100.19≈1.549,100.906≈8.054,100.716≈5.199)(　　) A．牛郎星，约1.5　　 B．织女星，约1.5 C．牛郎星，约2.9 D．织女星，约2.9 [解析]　设牛郎星到地球的距离为d1，织女星到地球的距离为d2， 所以2.19＝0.77＋5－5lgeq \f(d1,3.26)，0.5＝0.03＋5－5 lg eq \f(d2,3.26)， 即lgeq \f(d1,3.26)＝0.716，lgeq \f(d2,3.26)＝0.906， 所以eq \f(d1,3.26)＝100.716≈5.199，eq \f(d2,3.26)＝100.906≈8.054， 所以d2＞d1，所以距离地球更近的星球为牛郎星，且eq \f(d2,d1)＝eq \f(\f(d2,3.26),\f(d1,3.26))＝eq \f(100.906,100.716)＝100.19≈1.549.] [答案]　A 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 解决实际问题时要注意自变量的取值范围． (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq \f(p,p0)，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2　　　　　 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 解析：ACD　[∵L1－L2＝20×lgeq \f(p1,p0)－20×lgeq \f(p2,p0)＝20×lgeq \f(p1,p2)≥0，∴eq \f(p1,p2)≥1，∴p1≥p2，所以A正确； ∵L2－L3＝20×lgeq \f(p2,p3)＞10，∴lgeq \f(p2,p3)＞eq \f(1,2)， ∴eq \f(p2,p3)＞，所以B错误； ∵L3＝20×lgeq \f(p3,p0)＝40，∴eq \f(p3,p0)＝100，所以C正确； ∵L1－L2＝20×lgeq \f(p1,p2)≤90－50＝40，∴lgeq \f(p1,p2)≤2， ∴eq \f(p1,p2)≤100，所以D正确．] 新高考题型—函数新结构、新定义问题 [典例]　(2024·河南·统考模拟预测)离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X＝{1,2，…，p－1}，若u，v∈X，m∈N，记u⊗v为uv除以p的余数，um，⊗为um除以p的余数；设a∈X,1，a，a2，⊗，…，ap－2，⊗，两两不同，若an，⊗＝b(n∈{0,1，…，p－2})，则称n是以a为底b的离散对数，记为n＝log(p)ab. (1)若p＝11，a＝2，求ap－1，⊗； (2)对m1，m2∈{0,1，…，p－2}，记m1⊕m2为m1＋m2除以p－1的余数(当m1＋m2能被p－1整除时，m1⊕m2＝0)．证明：log(p)a(b⊗c)＝ log(p)ab⊕log(p)ac，其中b，c∈X； (3)已知n＝log(p)ab.对x∈X，k∈{1,2，…，p－2}，令y1＝ak，⊗，y2＝x⊗bk，⊗.证明：x＝y2⊗yeq \o\al(np－2，⊗,1). [解]　(1)若p＝11，a＝2，又注意到210＝1 024＝93×11＋1，所以ap－1，⊗＝210，⊗＝1. (2)[法1]：当p＝2时，此时X＝{1}，此时b＝c＝1，b⊗c＝1，故log(p)a(b⊗c)＝0，log(p)ab＝0， log(p)ac＝0， 此时log(p)a(b⊗c)＝log(p)ab⊕log(p)ac. 当p＞2时，因1，a，a2，⊗，…，ap－2，⊗相异，故a≥2， 而a∈X，故a，p互质． 记n＝log(p)a(b⊗c)，n1＝log(p)ab， n2＝log(p)ac， 则∃m1，m2∈N，使得an1＝pm1＋b，an2＝pm2＋c， 故＝(pm1＋b)(pm2＋c)， 故≡bc(mod p)， 设n1＋n2＝t(p－1)＋s,0≤s≤p－2，则n1⊕n2＝s， 因为1,2,3，…，p－1除以p的余数两两相异， 且a,2a,3a，…，(p－1)a除以p的余数两两相异， 故(p－1)！≡[a×2a×3a，…×(p－1)a](mod p)，故ap－1≡1(mod p)， 故≡as≡bc(mod p)，而an≡b⊗c(mod p)＝bc(mod p)，其中0≤n≤p－2， 故s＝n即log(p)a(b⊗c)＝log(p)ab⊕log(p)ac. 法2：记＝an，⊗＋m1p，an2＝，⊗＋m2p， 因为1，a，a2，⊗，…，ap－2，⊗两两不同， 所以存在i∈{0,1，…，p－2}，使得ap－1，⊗＝di，⊗， 即ap－1－ai＝ai(ap－1－i－1)可以被p整除，于是ap－1－i－1可以被p整除，即ap－1－i，⊗＝1. 若i≠0，则p－1－i∈{1,2，…，p－2}，ap－1－i，⊗≠1，因此i＝0，ap－1，⊗＝1. 记n＝log(p)ab，m＝log(p)ac， n＋m＝n⊕m＋l(p－1)，其中l是整数， 则b⊗c＝an，⊗⊗am，⊗＝an·m，⊗＝an⊕m＋l(p－1)，⊗＝an⊕m，⊗⊗al(p－1)，⊗＝an⊕m，⊗， 即log(p)a(b⊗c)＝log(p)ab⊕log(p)ac. (3)[法1]：当b≥2时，由(2)可得bp－1≡1(mod p)，若b＝1，则bp－1≡1(mod p)也成立． 因为n＝log(p)ab，所以an≡b(mod p)． 另一方面，y2⊗yeq \o\al(np－2，⊗,1)≡y2yeq \o\al(np－2，⊗,1)≡(x⊗bk，⊗)(ak，⊗)n(p－2) ≡(xbk)akn(p－2)≡(xbk)bk(p－2)≡x(bp－1)k－1≡x(1)k－1(mod p)≡x(mod p)． 由于x∈X，所以x＝y2⊗yeq \o\al(np－2，⊗,1). 法2：由题设和(2)的法2的证明知： 由(2)法2的证明知ap－1，⊗＝1，所以y2⊗yeq \o\al(np－2，⊗,1)＝x. 本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解． (2024·浙江宁波效实中学校考期中)黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，R(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,q)，x＝\f(p,q)p，q∈N＋，\f(p,q)为既约真分数,0，x＝0或1或0，1内的无理数)). (1)请用描述法写出满足方程R(x)＝x(x≠0)的解集；(直接写出答案即可) (2)解不等式R(x)＞eq \f(1,5)x＋eq \f(1,5)； (3)探究是否存在非零实数k，b，使得y＝R(kx＋b)为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由． 解：(1)依题意，x≠0， 当x＝1时，R(x)＝0，则方程R(x)＝x无解， 当x为(0,1)内的无理数时，R(x)＝0，则方程 R(x)＝x无解， 当x＝eq \f(p,q)(p，q∈N＋，eq \f(p,q)为既约真分数)时，则R(x)＝eq \f(1,q)，q为大于1的正整数， 则由方程R(x)＝x，解得x＝eq \f(1,q)，q为大于1的正整数， 综上，方程R(x)＝x(x≠0)的解集为{x|x＝eq \f(1,q)，q为大于1的正整数}． (2)若x＝0或x＝1或x为(0,1)内无理数时， R(x)＝0，而eq \f(1,5)x＋eq \f(1,5)＞0，此时R(x)＜eq \f(1,5)x＋eq \f(1,5)， 若x＝eq \f(p,q)(p，q∈N＋，eq \f(p,q)为既约真分数)，则R(x)＝eq \f(1,q)，q为大于1的正整数，由R(x)＞eq \f(1,5)x＋eq \f(1,5)，得eq \f(1,q)＞eq \f(1,5)×eq \f(p,q)＋eq \f(1,5)，解得p＋q＜5，又因为x＝eq \f(p,q)(p，q∈N＋，eq \f(p,q)为既约真分数)，所以x＝eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，综上，不等式R(x)＞eq \f(1,5)x＋eq \f(1,5)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3))). (3)存在非零实数k＝1，b＝eq \f(1,2)，使得y＝R(kx＋b)为偶函数，即y＝Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))为偶函数，证明如下： 当x＝0或x＝1时，有R(0)＝R(1)＝0成立，满足R(x)＝R(1－x)， 当x为(0,1)内的无理数时，1－x也为(0,1)内的无理数，所以R(x)＝R(1－x)＝0，满足R(x)＝R(1－x)，当x＝eq \f(p,q)(p，q∈N＋，eq \f(p,q)为既约真分数)，则1－x＝1－eq \f(p,q)＝eq \f(q－p,q)为既约真分数，所以R(x)＝R(1－x)＝eq \f(1,q)，满足R(x)＝R(1－x)， 综上，对任意x∈[0,1]，都有R(x)＝R(1－x)， 所以R(x)关于x＝eq \f(1,2)对称，即Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，则Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))为偶函数，所以，存在非零实数k＝1，b＝eq \f(1,2)，使得y＝R(kx＋b)为偶函数． $$