主题2 第2章 第2节 函数的单调性与最值(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题二 函　数） 第二章　函　数 第2节　函数的单调性与最值 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题二 第二章　函　数 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章　函　数 金榜题名 创新高考总复习 数学（BS新教材） ★[课程标准] 1．借助函数的图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义． 2．掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 设函数y＝f(x)的定义域是D 如果对于　任意　的x1，x2∈D，当　x1＜x2　时，都有　f(x1)＜f(x2)　，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上　单调递增　. 如果对于　任意　的x1，x2∈D，当　x1＜x2　时，都有　f(x1)＞ f(x2)　，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上　单调递减　. 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有　单调性　.此时，区间I为函数y＝f(x)的] 　单调区间　. 2．函数的最值 (1)若　存在　实数M，对所有的x∈D，都有　f(x)≤M　，且 　存在　x0∈D，使得　f(x0)＝M　，则称M为函数y＝f(x)的最大值． (2)若　存在　实数M，对所有的x∈D，都有　f(x)≥M　，且 　存在　x0∈D，使得　f(x0)＝M　，则称M为函数y＝f(x)的最小值． 函数的最大值和最小值统称为　最值　. 1．单调性定义的推广 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)>0(或<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)<0(或>0)⇔f(x)在D上单调递减； ②eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； ③eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．单调性的几个结论 (1)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (2)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反． (3)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． (4)“对勾函数”y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的增区间为(－∞，－eq \r(a))，(eq \r(a)，＋∞)；单调减区间是[－eq \r(a)，0)，(0，eq \r(a)]． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．(　　) (2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　) (5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√ ◆[小题查验] 1．(多选)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　　 B．f(x)＝x＋2 C．f(x)＝eq \f(1,x) D．f(x)＝eq \r(3,x) 解析：BD　[函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝x＋2在R上是增函数；函数f(x)＝eq \f(1,x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数；函数f(x)＝eq \r(3,x)＝是幂函数，指数eq \f(1,3)>0，所以函数f(x)在R上是增函数．] 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：C　[由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]．] 3．函数y＝x2＋x＋2，x∈(－5，5)的单调减区间为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(1,2))) 解析： D　[函数y＝x2＋x＋2对称轴为x＝－ eq \f(1,2) ，开口向上， 所以函数y＝x2＋x＋2，x∈(－5，5)的单调减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(1,2))) .故选D.] 4．(忽视定义域致误)函数f(x)＝log2(x2－4)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　[由x2－4>0，可得x<－2或x>2，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．设t＝x2－4，则t在(2，＋∞)上单调递增，又函数y＝log2t为增函数，∴函数f(x)＝log2(x2－4)在(2，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．] 5．(BSD必修第一册P60例1改编)已知函数f(x)＝eq \f(2,x＋1)，x∈[0,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：因为函数f(x)在[0,2]上单调递减， 所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝eq \f(2,3). 答案：2　eq \f(2,3) 函数单调性的判断或证明 ►[命题点1]　 求具体函数的单调区间　 1．函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2)) x的单调减区间是(　　) A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2)) 　　　　　　B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，0)) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2)) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞)) 解析： A　[f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2)) x＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x<2，)) 画出f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的图象如下： f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的单调减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2)) ，故选A.] 2．(2025·湖北模拟)函数y＝log eq \s\do9(\f(1,3)) (－x2＋4x＋12)单调递减区间是(　　) A．(－∞，2)　　　　　　B．(2，＋∞) C．(－2，2) D．(－2，6) 解析： C　[令y＝log eq \s\do9(\f(1,3)) u，u＝－x2＋4x＋12.由u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6. 因为函数y＝log eq \s\do9(\f(1,3)) u是关于u的递减函数，且x∈(－2，2)时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，所以y＝log eq \s\do9(\f(1,3)) (－x2＋4x＋12)为减函数， 所以函数y＝log eq \s\do9(\f(1,3)) (－x2＋4x＋12)的单调减区间是(－2，2).] 判断函数单调性常用以下几种方法 (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间． (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断； ②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断． ►[命题点2]　确定含参函数的单调性　 [典例]　判断并证明函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性． [证明]　法一(定义法)：第一步，取值、作差、变形：设－1<x1<x2<1， f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))， 则f(x1)－f(x2)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1))) ＝eq \f(ax2－x1,x1－1x2－1). 第二步，判号、定论：由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 法二(导数法)：第一步，求导、变形： f′(x)＝eq \f(ax′x－1－axx－1′,x－12) ＝eq \f(ax－1－ax,x－12)＝－eq \f(a,x－12). 第二步，判号、定论：当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 1．判断或证明含有参数的函数的单调性，除了利用增(减)函数的定义外，导数法也是一种非常有效的方法，注意分类讨论思想的应用． 2．可导函数也可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断． 已知函数f(x)＝eq \f(1,x)＋lgeq \f(4－x,x)，判断并证明函数f(x)的单调性． 解：由题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠0，,\f(4－x,x)＞0，))解得0＜x＜4， 故f(x)的定义域为(0,4)， 令u＝eq \f(4－x,x)＝eq \f(4,x)－1，y＝lg u，由于u＝eq \f(4,x)－1在(0,4)上单调递减，y＝lg u在(0，＋∞)上单调递增，因此y＝lg eq \f(4－x,x)在(0,4)上单调递减，又y＝eq \f(1,x)在(0,4)上单调递减，故f(x)＝eq \f(1,x)＋lg eq \f(4－x,x)在(0,4)上单调递减，证明如下： 设0＜x1＜x2＜4，则 f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x1)＋lgeq \f(4－x1,x1)－eq \f(1,x2)－lgeq \f(4－x2,x2) ＝eq \f(x2－x1,x1x2)＋lgeq \f(4－x1x2,4－x2x1)， ∵0＜x1＜x2＜4， ∴x2－x1＞0，x1x2＞0,4－x1＞4－x2＞0，eq \f(4－x1,4－x2)＞1，eq \f(x2,x1)＞1， ∴eq \f(x2－x1,x1x2)＞0，eq \f(4－x1x2,4－x2x1)＞1，lgeq \f(4－x1x2,4－x2x1)＞0， ∴f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在(0,4)上单调递减． 确定函数的最值(值域) [典例]　(1)(2025·深圳期末)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤1，,\f(1,x)－x＋1，x＞1，))则f(x)的最大值为______． [解析]　x∈(－∞，1]时，f(x)＝ex－1单调递增，f(x)≤f(1)＝e1－1＝1； x∈(1，＋∞)时，f(x)＝eq \f(1,x)－x＋1单调递减， f(x)＜eq \f(1,1)－1＋1＝1. 所以f(x)的最大值为1. [答案]　1 (2)函数f(x)＝eq \f(x2＋8,x－1)(x>1)的最小值为________． [解析]　法一：基本不等式法：f(x)＝eq \f(x2＋8,x－1)＝eq \f(x－12＋2x－1＋9,x－1)＝(x－1)＋eq \f(9,x－1)＋2≥2eq \r(x－1·\f(9,x－1))＋2＝8，当且仅当x－1＝eq \f(9,x－1)，即x＝4时，f(x)min＝8. 法二：导数法：f′(x)＝eq \f(x－4x＋2,x－12)， 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)． 当1<x<4时，f′(x)<0，f(x)在(1,4)上单调递减； 当x>4时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝4处达到最小值， 即f(x)min＝f(4)＝8. [答案]　8 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 提醒：(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域． (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值． [口诀助读] 单调性，左边看，上坡递增下坡减； 函数值，若有界，上界下界值域外． 1．(2025·吉林白城期末)y＝ eq \f(x－1,x－2) 在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，4)) 上的最大值为(　　) A．2 B． eq \f(3,2) C． eq \f(5,2) D．4 解析： A　[y＝ eq \f(x－1,x－2) ＝ eq \f(x－2＋1,x－2) ＝1＋ eq \f(1,x－2) ， 因为y＝1＋ eq \f(1,x－2) 在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，4)) 上单调递减， 所以当x＝3时，y取得最大值，最大值为1＋ eq \f(1,3－2) ＝2.故选A.] 2．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg （x2＋1），x<1，)) 则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________． 解析： ∵f(－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f[f(－3)]＝f(1)＝0， 当x≥1时，f(x)＝x＋ eq \f(2,x) －3≥2 eq \r(2) －3，当且仅当x＝ eq \r(2) 时，取等号， 此时f(x)min＝2 eq \r(2) －3<0； 当x<1时，f(x)＝lg (x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0. ∴f(x)的最小值为2 eq \r(2) －3. 答案： 0　2 eq \r(2) －3 函数单调性的应用 ►[命题点1]　比较两个函数值或两个自变量的大小　 1．(2024·重庆模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x＋2－xx＞0，,－x3x≤0，))若a＝ln 2，b＝30.2，c＝log0.32，则(　　) A．f(a)＞f(b)＞f(c) B．f(b)＞f(a)＞f(c) C．f(a)＞f(c)＞f(b) D．f(c)＞f(a)＞f(b) 解析：D　[因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x＋2－xx＞0，,－x3x≤0，))又y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，则g(x)＝－2x＋2－x在(0，＋∞)上单调递减且g(0)＝－20＋20＝0，又h(x)＝－x3在(－∞，0)上单调递减且h(0)＝－03＝0，所以f(x)在R上单调递减，又因为30.2＞30＝1，即b＞1,0＝ln 1＜ln 2＜ln e＝1，即0＜a＜1，log0.32＜log0.31＝0，即c＜0，所以b＞a＞c，所以f(b)＜f(a)＜f(c)．] ►[命题点2]　解函数不等式　 2．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x≤1，,x－12＋1，x＞1，))则不等式f(1－|x|)＋f(2)＞0的解集为________． 解析：由函数解析式知f(x)在R上单调递增， 且－f(2)＝－2＝f(－2)， 则f(1－|x|)＋f(2)＞0⇒f(1－|x|)＞－f(2)＝f(－2)， 由单调性知1－|x|＞－2，解得x∈(－3,3)． 答案：(－3,3) ►[命题点3]　利用单调性求参数的取值范围或值　 (2025·浙江杭州期中)已知函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 在定义域 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1)) 上是减函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－1)) <f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a)) ，则实数a的取值范围是________． 解析：因为函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 在定义域 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1)) 上是减函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－1)) <f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a)) ， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<2a－1<1，,－1<1－a<1，,2a－1>1－a，)) 解得a∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) . 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解含“f”的不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有eq \f(x2fx1－x1fx2,x1－x2)＞0，记a＝f(1)，b＝eq \f(f－2,2)，c＝eq \f(f3,3)，则(　　) A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 解析：B　[依题意，∀x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，eq \f(x2fx1－x1fx2,x1－x2)＞0⇔eq \f(\f(fx1,x1)－\f(fx2,x2),x1－x2)＞0， 于是得函数eq \f(fx,x)在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)是R上的偶函数，即b＝eq \f(f－2,2)＝eq \f(f2,2)， 显然有eq \f(f1,1)＜eq \f(f2,2)＜eq \f(f3,3)，因此得a＜b＜c， 所以a＜b＜c.] 2．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) [考题解读]　本题考查指数型复合函数的单调性问题，考查理性思维与综合应用，函数问题一直是高考的重点考察对象，如函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性，函数零点问题等；函数问题的解决，定义域是隐藏的坑，数形结合是解题的金钥匙，有利于数学抽象和数学运算核心素养的培养． 解析：D　[由题意易得，eq \f(a,2)≥1，所以a的取值范围是[2，＋∞)．] 3．如果函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－ax＋1，x<1，,ax，x≥1，))满足对任意x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，那么实数a的取值范围是________． 解析：因为对任意x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0， 所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a>1，,2－a×1＋1≤a，))解得eq \f(3,2)≤a<2. 故实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)). 答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) $$